Akademik

Funktion

 

[lat. functio, »Ausführung«, »Durchführung«] Mathematik: eine Abbildung einer Menge X in eine zweite Menge Y, bei der jedem Element von X höchstens ein Element von Y zugeordnet wird. Die Abbildung ist also eindeutig. Die Menge der Elemente von X, denen tatsächlich ein Element von Y zugeordnet ist, bezeichnet man als Definitionsmenge, für die restlichen Elemente aus X (denen keine Elemente aus Y zugeordnet sind) sagt man, dass die Funktion für sie nicht definiert ist. Die tatsächlich zugeordneten Elemente aus der Menge Y heißen Funktionswerte, die Menge der Funktionswerte wird Wertebereich genannt.

 

Meist spricht man von einer Funktion statt von einer eindeutigen Abbildung, wenn die Zuordnung zwischen Zahlenmengen erfolgt. Zur Darstellung einer Funktion, bei der die Zahlenmengen X und Y identisch sind, wird meist der funktionale Zusammenhang zwischen den Elementen x der Menge X und Elementen y der Menge Y gewählt (z. B. y = 2x, y ist doppelt so groß wie x). Man bezeichnet x als unabhängige Variable, für die alle Elemente aus dem Definitionsbereich eingesetzt werden können, y als abhängige Variable.

 

Funktionen sind also die mathematische Beschreibung von eindeutigen kausalen Beziehungen zwischen veränderlichen Größen, die durch Zahlen ausgedrückt werden können. Sie bilden die Grundlage der Weiterverarbeitung dieser veränderlichen Größen.

Funktion,

 Programmierung: ein in sich geschlossener Teil eines Computerprogramms, an den ein Eingabewert übergeben wird und der einen Ergebniswert zurückgibt, also etwa den Sinus eines eingegebenen Winkels oder den ersten Buchstaben einer Zeichenfolge. Im Unterschied zu einer Funktion liefert eine Prozedur i. A. kein Ergebnis, das einer Variablen zugewiesen werden könnte, sondern ist in ihrer Wirkung eher mit einer Anweisung vergleichbar. Wie Prozeduren werden auch Funktionen oft in Bibliotheken zusammengefasst (Funktionsbibliothek). Die genaue Definition der beiden Begriffe variiert geringfügig zwischen den einzelnen Programmiersprachen, früher wurde auch noch von Unterprogrammen (Subroutinen) gesprochen. Außer den zum Lieferumfang einer Sprache zählenden Funktionen kann man auch eigene Funktionen definieren.

 

Funktionen spielen auch in verschiedenen Anwendungsprogrammen, v. a. bei Tabellenkalkulation und Datenbanken eine große Rolle. Wichtige Funktionstypen sind boolesche Funktionen, mathematische Funktionen, statistische Funktionen, trigonometrische Funktionen, finanzmathematische Funktionen und Textfunktionen.

Funktion

 

[lateinisch »Verrichtung«, »Geltung«; zu fungi »verrichten«, »verwalten«] die, -/-en,  

 1) allgemein: Aufgabe, Tätigkeit, Stellung (innerhalb eines größeren Ganzen).

 

 2) Logik: Wahrheitsfunktion.

 

 3) Mathematik: gleichbedeutender Begriff zu Abbildung. Meist verwendet man den Begriff »Funktion« für eine Abbildung f : X → Y, wenn die Ausgangsmenge X und die Zielmenge Y Zahlmengen sind. X und Y werden dann auch als Definitionsbereich beziehungsweise Wertebereich, die Elemente x aus X als Argumente, y aus Y als Funktionswerte der Funktion f bezeichnet.

 

Als Schreibweise ist in der Analysis die funktionale Schreibweise f : x → y oder y = f (x) am gebräuchlichsten, wobei die letztere Darstellung auch Funktionsgleichung von f und f (x) der Funktionsterm genannt wird. Weitere (seltenere) Schreibweisen sind die mengentheoretische Schreibweise (x, y) ∈ f, die Operationsschreibweise y = xf und y = fx (besonders in der Algebra und Geometrie), die Indexschreibweise y = f_x (besonders bei Folgen) und die Exponentialschreibweise y = x^f. Man bezeichnet x auch als Veränderliche oder als unabhängige Variable, für die Elemente aus dem Definitionsbereich eingesetzt werden können, y als abhängige Variable, die entsprechende Werte aus dem Wertebereich annimmt. Sind der Wertebereich und der Definitionsbereich eine Teilmenge der reellen Zahlen, so nennt man die Funktion reelle Funktion; bei dem Sonderfall, dass der Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist, liegt eine Folge vor. Sind der Wertebereich und der Definitionsbereich eine Teilmenge der komplexen Zahlen, so spricht man von einer komplexen Funktion. Diese Funktionen werden in der Funktionentheorie untersucht. Neben Funktionen einer Veränderlichen, z. B. f (x) = x² + 3 x, betrachtet man auch Funktionen zweier oder mehrerer Veränderlicher, z. B. f (x, y) = x² + 2 xy. Die Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem (Koordinaten) bezeichnet man als Schaubild oder ihren Graphen; so können z. B. Funktionen einer Veränderlichen durch Kurven, Funktionen zweier Veränderlicher durch Flächen dargestellt werden.

 

Ist die Funktion f : X → Y eindeutig umkehrbar, so existiert eine Funktion f^-1 : Y → X, die als die Umkehrfunktion oder inverse Funktion von f bezeichnet wird. Sind X und Y Teilmengen der reellen Zahlen, so erhält man den Graphen der Umkehrfunktion f^-1 aus der ursprünglichen Funktion f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (y = x). Die Funktionsgleichung von f^-1 kann man in einfachen Fällen durch (formales) Vertauschen der Variablen in y = f (x) und Auflösen nach y gewinnen; z. B. folgt aus der Funktion f (x) = y = 5x + 3 durch Vertauschen der Variablen die Gleichung x = 5y + 3, aus der man durch Auflösen nach y die Umkehrfunktion f^-1 (x) =¹/₅ x —³/₅ erhält.

 

Funktionen kann man auf verschiedene Weise miteinander verknüpfen. Für die Summe f + g, das Produkt f · g und die Verkettung f ° g gelten folgende Definitionen:

 

 

Man unterscheidet u. a. folgende Funktionstypen: Als Polynomfunktion (Polynom) bezeichnet man eine Funktion f der Form

 

 

mit n ∈ ℕ (Menge der natürlichenZahlen)und a₀, a₁, a₂,.. . ∈ ℝ (Menge der rellen Zahlen). Für n = 0 erhält man eine konstante Funktion, für n = 1 eine affine Funktion und im Fall a₀ = 0 eine lineare Funktion (häufig werden die Begriffe affine Funktion und lineare Funktion auch synonym gebraucht), für n = 2 erhält man eine quadratische Funktion usw. Ist f (x) = xⁿ, handelt es sich um eine Potenzfunktion.

 

Eine Funktion f mit, wobei g und h zweiPolynomesind, nennt man rationale Funktion, während Funktionen der Form (n ∈ ℕ, x > 0) Wurzelfunktionen sind. Eine Funktion f mit f (x) = b^x (b > 0) ist eine Exponentialfunktion. Ihre Umkehr-F ist eine Logarithmusfunktion. Die Funktionen mit den Termen sin x, cos x, tan x, cot x sind die Winkelfunktionen (trigonometrische F.); ihre Umkehrfunktionen sind die Arkusfunktionen. Mithilfe der natürlichen Exponentialfunktion f (x) = e^x definiert man die Hyperbelfunktionen; deren Umkehrfunktionen sind die Areafunktionen. Die Polynomfunktionen, die rationalen Funktionen und die Wurzelfunktionen gehören zu den algebraischen Funktionen, die mit den transzendenten Funktionen (hierzu zählen alle darauf folgenden Beispiele) die analytischen Funktionen bilden.

 

Als elementare Funktionen bezeichnet man gewöhnlich alle diejenigen Funktionen, die sich durch rationale und algebraische Operationen und Bildung von Umkehrfunktionen aus x und e ^λx erzeugen lassen; hierzu zählen alle bisher genannten Beispiele. Nichtelementare oder höhere Funktionen sind z. B. die Bessel-Funktionen und die elliptischen Funktionen.

 

Große Bedeutung besitzen auch die stetigen (Stetigkeit) und die differenzierbaren Funktionen (Differenzialrechnung).

 

Geschichte:

 

Der Funktionsbegriff findet sich erstmals in den Manuskripten von G. W. Leibniz. Eine erste begriffliche Bestimmung im Sinne der Abhängigkeit zweier Variablen voneinander nahm Johann Bernoulli vor (1696). Großen Einfluss gewann L. Eulers Definition in der »Introductio in analysin infinitorum« (1748): Eine Funktion ist ein analytischer Ausdruck. In diesem Werk machte Euler die Funktion zum zentralen Begriff der Analysis. Die 2. Hälfte des 18. Jahrhunderts wurde beherrscht von der Diskussion, ob eine willkürliche Funktion (im Sinne einer beliebigen Abhängigkeit) immer durch einen analytischen Ausdruck darstellbar sei. Hierauf gaben die Arbeiten J.-B. Fouriers eine erste Antwort, die im 19. Jahrhundert weiter präzisiert wurde (J. P. G. Dirichlet, B. Riemann). Erst Dirichlet stellte 1837 den Zuordnungsbegriff in den Vordergrund: Ist jedem Wert von x ein endliches, eindeutig bestimmtes y zugeordnet, so nennt man y Funktion von x. Damit wurde der Funktionsbegriff lokalisiert: Wie die Funktion an einer Stelle aussieht, besagt nichts darüber, wie sie in deren unmittelbarer Nachbarschaft aussieht. Das machte Dirichlet an dem Beispiel f (x) = c, falls x ∈ ℚ, f (x) = d sonst c ≠ d klar. Die von ihm geforderte Eindeutigkeit setzte sich erst im Lauf der Zeit durch. Parallel dazu verschwanden mehrdeutige Funktionen, die vor Dirichlet durchaus üblich waren, weitgehend. Riemann entdeckte, wie man mehrdeutige komplexe Funktionen durch die nach ihm benannten Flächen eindeutig machen kann. Die Beschreibung einer Funktion durch Paare kam Ende des 19. Jahrhunderts auf (E. Schröder, 1890), während sich die konsequente Anwendung der Mengensprechweise erst bei F. Hausdorff (1914) findet. Die heute allgemein übliche Pfeilschreibweise wurde von W. Hurewicz (1940) im Rahmen topologischer Untersuchungen eingeführt.

 

 

Literatur:

 

R. Courant: Vorlesungen über Differential- u. Integralrechnung, 2 Bde. (⁴1971-72);

 H. Behnke u. F. Sommer: Theorie der analyt. F. einer komplexen Veränderlichen (³1976);

 K. Niederdrenk u. H. Yserentant: F. einer Veränderlichen (1987);

 K. Volkert: Gesch. der Analysis (1988).

 

 4) Medizin: normale (funktionelle) Tätigkeit eines Organs oder Gewebes innerhalb des Gesamtorganismus. funktionelle Störungen sind Krankheitssymptome, die als organische Beschwerden in Erscheinung treten, jedoch nicht auf organische Strukturveränderungen, sondern auf psychosomatische Einflüsse zurückzuführen sind (z. B. psychovegetatives Syndrom).

 

 5) Philosophie: Als Ausdruck gesetzmäßiger Abhängigkeit spielt die Funktion eine wichtige Rolle als Analyseinstrument, z. B. in Naturphilosophie und Wissenschaftstheorie (Funktionalismus).

 

 6) Soziologie: die Wirkung (Leistung, Konsequenz) eines sozialen Elements oder Phänomens auf den Aufbau, die Erhaltung oder die Veränderung (Umwandlung, Zerstörung) eines sozialen Systems. Unterschieden werden zweckbewusste (manifeste) und latente sowie positive und negative (dysfunktionale) Funktionen. Bei im Einzelnen unterschiedlicher Definition und Betrachtungsweise wurde das Wort seit H. Spencer und É. Durkheim zu einem der zentralen Begriffe der neueren Soziologie (Funktionalismus).

 

Literatur:

 

F. u. Struktur, hg. v. W. L. Bühl (1975).

 

 7) Sprachwissenschaft: Leistung eines sprachlichen Elements in einem bestimmten Zusammenhang, z. B. die bedeutungsunterscheidende Funktion der Phoneme, die semantische, grammatische und syntaktische Funktion der Wörter und die kommunikative Funktion von Sprache überhaupt. In der generativen Grammatik wird als Funktion das Verhältnis von Kategorien in der syntaktischen Tiefenstruktur bezeichnet (z. B. »Subjekt von.. .«, »Objekt von.. .«); in der Glossematik wird die Bezeichnung Funktion für die Formen von Abhängigkeit zwischen sprachlichen Elementen verwendet (Determination, Konstellation).