Akademik

Abbildung,

 

1) Kartographie: Kartennetzentwürfe.

 

 2) Mathematik: die eindeutige Zuordnung eines jeden Elements x (Original- oder Urbildpunkt) einer nichtleeren Menge X in genau ein Element f (x ) (Bildpunkt) einer nichtleeren Menge Y. Man sagt, es sei eine Abbildung oder Funktion f von X in Y (in Zeichen f : X → Y oder X → Y) definiert. X heißt der Originalbereich, Urbildbereichoder Definitionsbereich, Y der Bildbereich oder Wertebereich von f und f (x ) das Bild von x bezüglich f (f-Bild). Dabei können verschiedene x dasselbe f (x ) liefern, und nicht alle y aus Y brauchen in der Form y = f (x ) aufzutreten (der Bildbereich ist Teilmenge einer größeren Zielmenge). Liefern verschiedene x stets verschiedene f (x ), so nennt man die Abbildung f injektiv oder eine Injektion. Tritt jedes y aus Y als f-Bild eines x aus X auf, so nennt man f eine Abbildung auf Y oder surjektiv oder eine Surjektion. Ist f injektiv und surjektiv, so nennt man f bijektiv, umkehrbar eindeutig, eineindeutig oder eine Bijektion. Beispiel: die abendländische Eheform (Monogamie) realisiert sich als Bijektion zwischen der Menge der verheirateten Frauen und jener der verheirateten Männer. - Besonders einfach ist die identische Abbildung oder Identität id_X : X → X ; hier ist Y = X und jedes x aus X wird sich selbst zugeordnet: id_X (x ) = x. Es ist also id_X bijektiv. - Sind f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen, so ist durch h (x ) = g (f (x )) (x aus X ) eine Abbildung h : X → Z definiert, die man auch mit h = g ° f (»erst f, dann g«) bezeichnet und die Hintereinanderausführung oder Komposition von f und g nennt. - Ist f : X → Y bijektiv, so ist die inverse Abbildung (Umkehrabbildung, Inversion) f^-1 : Y → X durch f^-1 (y ) = x genau dann definiert, wenn f (x ) = y ist; sie ist wieder bijektiv und erfüllt f^-1 ° f = id_X und f ° f^-1 = id_Y. - Ist f : X → Y und M eine Teilmenge von Y, so bilden die x mit f (x ) aus M das inverse Bild (Urbild) f^-1M von M. Die Umkehrrelation f^-1 einer Abbildung f : X → Y ist im Allgemeinen keine Abbildung, da sie nicht eindeutig zu sein braucht. f^-1 ist genau dann eine Abbildung (nämlich die inverse Abbildung), wenn f bijektiv ist.

 

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie v. a. auch in den folgenden Artikeln:

 

Affinität · Bewegung · Erlanger Programm · Homomorphismus · konforme Abbildung · Transformation

 

 3) Optik: die Erzeugung eines Bildes von einem Gegenstand durch wirkliche oder scheinbare Vereinigung der von den Punkten des Gegenstandes (Gegenstandspunkte, Dingpunkte oder Objektpunkte) ausgehenden Strahlen durch ein optisches System von Linsen, Spiegeln u. Ä. in entsprechenden Bildpunkten. Bei einem auf einem Schirm auffangbaren reellen Bild vereinigen sich die Strahlen wirklich, bei einem virtuellen Bild in ihrer gedachten rückwärtigen Verlängerung. Das Bild kann vergrößert oder verkleinert sein, wobei das Verhältnis Bild- zu Gegenstandsgröße linearer Abbildungsmaßstab (Lateralvergrößerung) heißt. - Scharf lässt sich nur eine Dingebene in einer Bildebene abbilden; praktisch ist aber die Abbildung innerhalb einer bestimmten Raumtiefe (Schärfentiefe) noch genau genug (Abbildungsfehler). - Grundlage der geometrischen Optik ist die Theorie der Abbildung, mit deren Hilfe der Strahlenverlauf abbildender Systeme berechnet wird. Dies geschieht unter Heranziehung von Kenngrößen und ausgezeichneten Punkten der Systeme, die auch in die für paraxiale (achsennahe) Strahlen, bei denen sich die Abbildungsfehler noch nicht bemerkbar machen, gültigen Abbildungsgesetze und Abbildungsgleichungen eingehen:

 

Aus den Abbildungsgleichungen folgt, dass Gegenstand und Bild bezüglich des Strahlengangs vertauschbar sind (Reziprozität optischer Bilder).

 

Lichtstrahlen lassen sich durch Brechung in Linsen oder Reflexion an gekrümmten Spiegeln wieder vereinigen, Elektronen- und Ionenstrahlen (Elektronenoptik, Ionenoptik) durch elektrische und magnetische Linsen.

 

 4) Strafrecht: Das StGB bedroht mit Freiheitsstrafe bis zu einem Jahr oder Geldstrafe das Verbreiten und das entgeltliche Überlassen von pornographischen Abbildungen an Jugendliche unter 18 Jahren (§ 184 StGB) sowie allgemein bestimmte Arten des Anbietens solcher Abbildungen (Pornographie). Freiheitsstrafe von drei Monaten bis zu fünf Jahren ist für das Herstellen und Verbreiten von pornographischen Abbildungen, die sexuellen Missbrauch von Kindern zum Gegenstand haben, vorgesehen (§ 184 Absatz 3 StGB, Kinderpornographie). - Ferner wird bestraft, wer sicherheitsgefährdende Abbildungen von militärischen Einrichtungen herstellt oder verbreitet (§ 109 g StGB).

 

 5) Urheberrecht: Darstellung.