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Logik,

 

die Wissenschaft vom exakten (korrekten, rationalen) Denken und Schließen. Gegenstand der Logik sind Aussagen, denen das Attribut »wahr« oder »falsch« zugeordnet werden kann, und deren Beziehungen zueinander, soweit diese für Wahrheit und Falschheit relevant sind. Die Aussagen können miteinander verknüpft werden und so neue Aussagen liefern. Dabei müssen sich beim logischen Schließen aus wahren Voraussetzungen wahre Folgerungen ergeben. Aus falschen Voraussetzungen kann man hingegen sowohl wahre als auch falsche Aussagen ableiten.

 

Die Logik wird in der Mathematik und der Anwendung auf das Computerwesen sehr formal gehandhabt (boolesche Algebra). Zwei Aussagen A und B können hier ähnlich wie mit »und« oder »oder« im normalen Sprachgebrauch, aber im Detail durchaus abweichend, durch ein logisches »und« oder logisches »oder« zu einer neuen Aussage verknüpft werden (man spricht von logischen Operatoren); darüber hinaus kann durch ein logisches »nicht« eine wahre Aussage zu einer falschen gemacht werden und umgekehrt, Kombinationen der Operatoren (z. B. »A und nicht B«) sind ebenfalls möglich. Die Logik weist nun etwa der Aussage »A und B« nur dann den Wahrheitswert »wahr« zu, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Zum Aufstellen von Aussagen werden symbolische Sprachen, sog. Kalküle, bei denen die logischen Operatoren zur Konstruktion von Aussagen dienen, verwendet, in der Mathematik spricht man auch vom Prädikatenkalkül (Prädikatenlogik). Solche logischen Modelle werden in Programmiersprachen nachempfunden. Beispielsweise ist Prolog geeignet zum Aufstellen von logischen Aussagen. Logische Verknüpfungen von Aussagen mit logischen Operatoren spielen außerdem in fast allen Programmiersprachen zur Formulierung von Bedingungen bei Verzweigungen (if...then...else) eine Rolle. Der Wahrheitsgehalt eines Verknüpfungsgebildes von Aussagen kann aus den Wahrheitsgehalten der einzelnen Aussagen berechnet werden. In der Praxis benutzt man sog. Wahrheitstafeln oder -tabellen, die für alle möglichen Wahrheitsgehalte der Einzelaussagen den Wahrheitsgehalt der gewählten Verknüpfung aufführen.

 

Eine noch speziellere Logik, die sog. Schaltungslogik, wird beim Aufbau von elektronischen Schaltungen verwendet, die logische Operationen bzw. Rechnungen durchführen sollen. Die integrierten Schaltungen auf Chips gehorchen dieser Logik. Zwei Aussagen A und B werden hier durch zwei Leitungen A und B repräsentiert. Wenn eine genügend hohe Spannung (weniger als 1 V) an einer Leitung anliegt, interpretiert man das als den Wahrheitsgehalt »wahr« und bezeichnet diesen mit »1«, niedrigere Spannung entspricht »falsch« bzw. einer »0«. Die Leitungen A und B können nun so zusammengeschaltet werden, dass die Ergebnisleitung C eine von den Ausgangsspannungen abhängige Ergebnisspannung liefert, gerade wie es einer logischen Verknüpfung der zugeordneten Wahrheitsgehalte entspricht. Wie die Verknüpfungen im Einzelnen ausgeführt sein müssen, ist Gegenstand der Schaltalgebra bzw. der booleschen Algebra. Die verschiedenen logischen Verknüpfungen (hier nach englischem Sprachgebrauch And, Or, Not) werden durch jeweils eigene, spezielle Schaltungen, sog. Gatter, realisiert.

Logik

 

[von griechisch logike̅́ »Kunst des Denkens« zu lógos »Rede«, »Wort«, »Vernunft«] die, -, im weitesten Sinne die Lehre vom schlüssigen und folgerichtigen Denken und Argumentieren, insbesondere vom richtigen Schließen (»Lehre vom Schluss«), das dadurch gekennzeichnet ist, dass es zu wahren Prämissen immer eine wahre Konklusion liefert. Gegenstand der Logik sind demnach Aussagen und deren Beziehungen zueinander, soweit diese für Wahrheit und Falschheit relevant sind. Neben der »Lehre vom Schluss« kannte die traditionelle Logik noch die »Lehre vom Begriff« (Klassifikation von Begriffen) und die »Lehre vom Urteil« (Struktur und Klassifikation der Aussagen), die heute meist der logischen Propädeutik oder der logischen Methodologie zugerechnet werden. Für die Charakterisierung von Begriffen verwendete die traditionelle, intensional orientierte Logik neben der heute noch üblichen Definition auch die Determination und die Distinktion.

 

Mit Logik werden darüber hinaus die einen Gegenstandsbereich oder eine wissenschaftliche Disziplin beherrschenden Gesetzmäßigkeiten und Regeln bezeichnet, z. B. »Logik des Marktes«, »Logik der Forschung« (K. R. Popper).

 

Heute wird Logik fast ausschließlich als formale Logik betrieben. Das bedeutet, dass sich die Logik nur mit denjenigen Schlüssen beschäftigt, die allein aufgrund ihrer Form, das heißt ihres Aufbaus durch die logischen Partikel, gelten - unabhängig von den sachlichen Inhalten. Man nennt die zugrunde liegenden Aussageformen logisch wahr oder Tautologien. Tautologien sind wahr, unabhängig davon, ob die in ihnen auftretenden, durch Aussagevariablen vertretenen Aussagen wahr oder falsch sind. Eine zentrale Rolle spielen in der modernen Logik die Junktoren und die Quantoren, mit deren Hilfe komplexe Aussagen aus einfachen aufgebaut werden können. Werden nur Junktoren zugelassen, so spricht man von Aussagen- oder Junktorenlogik, werden auch Quantoren in Betracht gezogen, spricht man von Prädikaten- oder Quantorenlogik. Da sich die formale Logik weitgehender Symbolisierungen bedient, wird sie gelegentlich auch als symbolische Logik bezeichnet.

 

Im Bereich der formalen Logik unterscheidet man die klassische oder mathematische Logik und verschiedene Arten der nichtklassischen oder philosophischen Logik. Die mathematische Logik behandelt v. a. die für die Mathematik wichtigen Bereiche (wie etwa Relationen, Klassen, formalisierte Theorien) und basiert auf zwei Grundprinzipien: dem Extensionalitätsprinzip, das besagt, dass das Wahr- oder Falschsein einer zusammengesetzten Aussage nur vom Wahr- oder Falschsein ihrer Konstituenten (und z. B. nicht von irgendeinem Sinnzusammenhang zwischen ihnen) abhängt, und dem Zweiwertigkeitsprinzip, das besagt, dass jede Aussage wahr oder falsch ist (»Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten«), aber nie zugleich wahr oder falsch sein kann (»Prinzip vom verbotenen Widerspruch«). Die philosophische Logik befasst sich mit anderen Gebieten wie etwa der Logik zeitlicher, modaler oder deontischer Aussagen, in denen im Allgemeinen wenigstens eines der Grundprinzipien der klassischen Logik verletzt ist.

 

Die Aussagenlogik untersucht die Verknüpfung von Aussagen mithilfe der Junktoren »nicht« (Symbol ¬ oder ∼), »und« (Symbol ∧ oder &), »oder« (Symbol ∨), »wenn. .. dann. ..« (Symbol → oder ) sowie »genau dann. .. wenn. ..« (Symbol ↔ oder ≡). Da »nicht« immer nur auf eine Aussage bezogen werden kann, wird dieser Junktor einstellig genannt, alle anderen aufgeführten Junktoren sind zweistellig, da sie immer zwei Aussagen zu einer neuen zusammenfügen. Die durch diese Junktoren bedingten Verknüpfungen werden als Negation, Konjunktion, Adjunktion, Subjunktion und Äquivalenz bezeichnet. Drei- und höherstellige Junktoren (wie »falls. .. dann. .. sonst. ..«) spielen in der Aussagenlogik keine Rolle, wohl aber in deren Anwendungen, z. B. im Rahmen der Informatik. Die Bedeutung der Junktoren kann in Anlehnung an die Umgangssprache, keinesfalls aber in strenger Analogie zu dieser, mithilfe von Wahrheitstafeln folgendermaßen festgelegt werden (dabei sind A und B Variable für Aussagen, w bedeutet wahr, f falsch):

 

| ITLC1AITLC2        | ¬ITLC1AITLC2        |                                                        |

| w                         | f                            |                                                        |

| f                          | w                           |                                                        |

| ITLC1AITLC2        | ITLC1BITLC2          | ITLC1AITLC2  ITLC1BITLC2            |

| w                         | w                           | w                                                     |

| w                         | f                            | f                                                      |

| f                          | w                           | f                                                      |

| f                          | f                            | f                                                      |

| ITLC1AITLC2        | ITLC1BITLC2          | ITLC1AITLC2  ITLC1BITLC2            |

| w                         | w                           | w                                                     |

| w                         | f                            | w                                                     |

| f                          | w                           | w                                                     |

| f                          | f                            | f                                                      |

| ITLC1AITLC2        | ITLC1BITLC2          | ITLC1AITLC2ITLC1BITLC2              |

| w                         | w                           | w                                                     |

| w                         | f                            | f                                                      |

| f                          | w                           | w                                                     |

| f                          | f                            | w                                                     |

| ITLC1AITLC2        | ITLC1BITLC2          | ITLC1AITLC2ITLC1BITLC2              |

| w                         | w                           | w                                                     |

| w                         | f                            | f                                                      |

| f                          | w                           | f                                                      |

| f                          | f                            | w                                                     |

 

Im Prinzip lässt sich mit Wahrheitstafeln immer ausrechnen, wie die Wahrheitswerte einer zusammengesetzten Aussage aussehen. Die Aussagenlogik ist also entscheidbar. In der Praxis sind derartige Berechnungen allerdings bei komplexen Aussagen äußerst aufwendig, weshalb man sich v. a. für die maschinelle Logikverarbeitung anderer Verfahren bedient (Resolutionsverfahren). - Die Aussagenlogik untersucht zudem die logisch gültigen Schlüsse im Bereich der so zusammengesetzten Aussagen und identifiziert dabei die logische Gültigkeit eines Schlusses von Prämissen A₁,. .. A_n auf eine Konklusion B mit der logischen Wahrheit des Ausdrucks (A₁ ∧. .. ∧ A_n) → B.

 

Es stellt sich heraus, dass man nicht alle der oben genannten Junktoren zum Aufbau der Aussagenlogik benötigt, weil man z. B. mithilfe von Negation und Subjunktion (oder auch Konjunktion oder Adjunktion) alle anderen Junktoren definieren kann. Bekannte Äquivalenzen sind u. a.:

 

 

Einegewisse Überraschung löste die Erkenntnis von Henry Maurice Sheffer (* 1883, ✝ 1964) aus, dass man mithilfe des zweistelligen Junktors | (shefferscher Strich oder auch Negatkonjunktion genannt und »weder. .. noch. ..« gelesen), der durch die Wahrheitstafel definiert ist, alle anderen Junktoren erhalten kann.

 

Der geschilderte Zugang zur Aussagenlogik ist semantisch, weil in ihm ein die Zeichenebene verlassender Wahrheitsbegriff eingeführt wird. Syntaktische Zugänge erzeugen dagegen alle aussagenlogische Tautologien auf der Basis vorausgesetzter Axiome mithilfe von Ableitungsregeln (Kalkülisierung). Einer der bekanntesten Ansätze in dieser Richtung geht auf G. Frege zurück. Dieser verwendet nur die Negation und die Subjunktion. Die Axiome lauten:

 

 

Die einzigezugelassene Ableitungsregel ist die Abtrennregel (Modus ponens): Von A und A → B darf man zu B übergehen (»Wenn A wahr ist und A → B gilt, dann ist auch B wahr«). Man kann nun beweisen, dass sich auf diese Weise alle aussagenlogische Tautologien erzeugen lassen: Der Frege-Kalkül ist somit »vollständig«. Umgekehrt stellt jede in ihm ableitbare Formel eine Tautologie dar; der Frege-Kalkül ist damit auch »korrekt«. Aus beiden Feststellungen zusammen folgt, so kann man sagen, dass der Frege-Kalkül eine adäquate Charakterisierung der Tautologien liefert; man ist somit berechtigt, die Begriffe »tautologisch« und »ableitbar im Frege-Kalkül« zu identifizieren.

 

Die Prädikatenlogik beschäftigt sich mit solchen Aussagen, in denen Gegenständen Eigenschaften zu- oder abgesprochen werden, sowie mit der Zusammensetzung derartiger Aussagen durch Junktoren. Somit ist die Prädikatenlogik eine Verfeinerung der Aussagenlogik, da sie es zulässt, bestimmte Aussagen bezüglich ihrer Binnenstruktur weiter zu analysieren, aber auch eine Erweiterung der Aussagenlogik, weil deren Junktoren übernommen werden. — Kennzeichnend für die Prädikatenlogik sind die Quantoren »für alle« (Symbol oder ∀) und »es gibt« (Symbol oder ), die als All- und als Existenzquantor bezeichnet werden, sowie die Verwendung von Variablen (meist x, y, z,. ..) für Gegenstände aus einem vorher festzulegenden Bereich G (dem Grundbereich) und von ein- oder mehrstelligen Prädikatsvariablen (meist mit P (..., Q (...),. ..). Darüber hinaus können auch Gegenstands- und Prädikatskonstanten auftreten. Die Aussage

 

 

ist genau dann wahr, wenn allen x aus G das Prädikat P zukommt; die Aussage

 

 

ist genau dann wahr, wenn es (mindestens) ein x aus Ggibt, dem P zukommt. Beispiele:

 

| ∨x∈ G    | (P(x) → Q(x)        | ∧x∈ G    | (P(x) ∧ Q(x)            |

| (lies: Für alle x aus G                                | (lies: Es gibt ein x aus G,                               |

| gilt: Wenn P(x), dann                                 | für das gilt: P(x) und Q(x)       |

| auch Q(x)                                                 |                                                                                             |

 

Nimmt man beispielsweise als Grundbereich G die ganzen Zahlen und interpretiert man die Prädikatsvariablen P (...) und Q (...) als »x ist durch 4 teilbar« beziehungsweise als »x ist durch 2 teilbar«, so lauten die obigen Beispiele: »Für alle ganzen Zahlen gilt: Wenn x durch 4 teilbar ist, dann ist x auch durch 2 teilbar« beziehungsweise »Es gibt eine ganze Zahl x, die durch 4 und durch 2 teilbar ist«. Beide Aussagen sind in diesem Falle wahr. Prädikatenlogisch wahr nennt man Formeln, die für jede Interpretation der in ihnen enthaltenen Prädikats- und Gegenstandsvariablen wahre Aussagen ergeben. Auch die Prädikatenlogik lässt sich syntaktisch charakterisieren.

 

Solange keine Quantifizierung über Prädikate auftritt, spricht man von Prädikatenlogik erster Stufe, andernfalls von Prädikatenlogik höherer Stufe oder auch von Stufenlogik. Eine bemerkenswerte Formel der Prädikatenlogik zweiter Stufe ist das leibnizsche Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren, das sich folgendermaßen formalisieren lässt:

 

 

Mithilfe der Komprehension lässt sich ein Zusammenhang zwischen Prädikatenlogik und Mengenlehre herstellen, der für mathematische Untersuchungen von großer Bedeutung ist. Die Prädikatenlogik erster Stufe ist korrekt und vollständig durch einen Kalkül beschreibbar (K. Gödel, 1930), aber nicht entscheidbar (A. Church, 1936); diejenige zweiter Stufe ist zwar korrekt durch einen Kalkül beschreibbar, aber nicht vollständig (K. Gödel, 1931), und ist ebenfalls nicht entscheidbar. Die Syllogistik der traditionellen Logik lässt sich in der Prädikatenlogik erster Stufe formalisieren.

 

Wichtige Teilgebiete der philosophischen Logik sind die deontische Logik, die epistemische Logik, die Modallogik und die Temporallogik. Alle diese Logiken erweitern die Aussagenlogik (und oft auch die Prädikatenlogik) um zusätzliche logische Partikel wie beispielsweise »notwendig« und »möglich« (Modallogik), »verboten« und »erlaubt« (deontische Logik). Weiterentwicklungen der Logik sind die Systeme der mehrwertigen Logik.

 

Die Logik hat in den letzten Jahrzehnten v. a. im Rahmen der künstlichen Intelligenz und ihrer Bemühungen, Wissen maschinell darzustellen und zu verarbeiten (nichtmonotone Logik), neues Interesse gefunden.

 

Zur Geschichte der Logikmathematische Logik.

 

 

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie v. a. auch in den folgenden Artikeln:

 

Aussage · Begriff · Deduktion · Induktion · Reduktion · Schluss · Syllogismus

 

Literatur:

 

P. Lorenzen: Formale L. (⁴1970);

 F. von Kutschera u. A. Breitkopf: Einf. in die moderne L. (⁴1979, Nachdr. 1992);

 

L.-Texte. Kommentierte Ausw. zur Gesch. der modernen L., hg. v. K. Berka u. L. Kreiser (Berlin-Ost ⁴1986);

 W. van O. Quine: Philosophy of logic (Cambridge, Mass., ²1986);

 

Nichtklass. L., hg. v. L. Kreiser u. a. (²1990);

 W. C. Salmon: L. (a. d. Engl., 1990, Nachdr. 1993);

 W. u. M. Kneale: The development of logic (Oxford ¹¹1991);

 

Handbook of mathematical logic, hg. v. J. Barwise (Amsterdam ⁸1993);

 W. van O. Quine: Grundzüge der L. (a. d. Engl., ⁸1993);

 

Handbook of philosophical logic, hg. v. D. M. Gabbay u. a., 4 Bde. (Neudr. Dordrecht 1994).

 

Hier finden Sie in Überblicksartikeln weiterführende Informationen:

 

 

künstliche Intelligenz: Ein interdisziplinäres Forschungsgebiet

 

künstliche Intelligenz: Arbeits- und Anwendungsgebiete