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Geometrie

 

[griechisch, eigentlich »Feldmesskunst«] die, -/...'tri |en, Teilgebiet der Mathematik, das aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen und ebenen Gebilden und Berechnungen von Längen, Flächen und Inhalten von Figuren, entstand. Das Gebiet der Geometrie wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der euklidischen Geometrie und der nichteuklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist die zuerst in dem Buch »Die Elemente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden die Lehrsätze der Geometrie hergeleitet. Inhaltlich war diese Theorie schon recht vollständig; Lücken in der Argumentation, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen. Begrifflich unterscheidet sich Euklids Darstellung von heutigen axiomatischen Theorien wesentlich dadurch, dass er auch noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige inhaltliche Interpretation. In der Darstellung der ebenen euklidischen Geometrie durch D. Hilbert (1899, etwas abgewandelt) werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz für Strecken verwendet. Die Axiome sind in fünf Gruppen zusammengefasst: Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz- und Stetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer Bedeutung. Es besagt: Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf g liegt, so gibt es genau eine Gerade h, die durch P geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer Satz wäre es dann im Axiomensystem überflüssig gewesen. Erst im 19. Jahrhundert entdeckte man, dass dieses Axiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewskij, J. B. Bolyai, C. F. Gauss). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen Geometrie, in der das Parallelenaxiom gilt, auch eine nichteuklidische Geometrie betrachten kann, in der die Negation des Parallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch seine Negation gefordert sind.

 

Nach dem Zugang zur Geometrie als mathematische Theorie unterscheidet man zwischen der synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei der die geometrischen Objekte durch Koordinaten bestimmt werden. Als eine Art Fortsetzung der analytischen Geometrie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und Integralrechnung zur analytischen Behandlung der Geometrie entstanden. Ähnliches gilt für die algebraische Geometrie, in der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin gliedert man die Geometrie in folgende Gebiete: In der Elementargeometrie differenziert man zwischen Planimetrie (ebene Geometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer Figuren und Messung von Längen, Winkeln, Flächen und Rauminhalten. Die Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie und der Stereometrie ist die darstellende Geometrie, in der räumliche Gebilde (Körper) in der Ebene (Zeichenebene) gezeichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man darauf achtet, welche Größen (Längen, Winkel, Streckenverhältnisse, Flächeninhalte u. a.) fest bleiben, also Invarianten der Abbildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie. In der Ähnlichkeitsgeometrie spielen solche Größen eine Rolle, die bei Ähnlichkeitsabbildungen (Ähnlichkeit) fest bleiben. Entsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie schließlich betrachtet diejenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die bei projektiven Abbildungen invariant sind.

 

Bei allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei den topologischen Abbildungen (Homöomorphismus) nicht mehr der Fall; hier können z. B. Geraden in Parabeln übergehen. Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten bildet aber eine Gruppe bezüglich der Verkettung. Daher kann man auch mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen.

 

 Geschichte

 

Darstellungen geometrischer Figuren und geometrisierender Ornamente finden sich schon in sehr frühen Kulturen. Sie zeugen von einem Interesse an einfachen geometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis vorliegen, und zum Teil von elementargeometrischen Kenntnissen. Auch das Bedürfnis nach einfachen Regeln für Vermessungsaufgaben mag Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gegeben haben. Bereits die babylonische und die ägyptische Mathematik besaßen einfache Regeln für die Berechnung von Längen, Flächen- und Rauminhalten elementargeometrischer Figuren, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten Chinesen war bereits die später als pythagoreischer Lehrsatz formulierte geometrische Gesetzmäßigkeit bekannt; sie wurde aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf. Die älteste erhaltene Darstellung eines axiomatischen Aufbaus der Geometrie ist in Euklids »Die Elemente« enthalten. Die Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder aufgenommen und später in Europa weitergeführt; schließlich entwickelte sich aus diesen Bemühungen im 18. und 19. Jahrhundert die nichteuklidische Geometrie. - Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie hinaus führten die drei klassischen, in der Antike aufgeworfenen Probleme der Würfelverdoppelung (delisches Problem), der Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der Antike gaben sie Anlass zum Ersinnen von Näherungskonstruktionen und zur Beschäftigung mit höheren Kurven (u. a. den von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitten). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie konnten diese Probleme zum Teil auf algebraische Fragen zurückgeführt und im 19. Jahrhundert mithilfe der Galois-Theorie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, wurde im 18. Jahrhundert von C. F. Gauß auf algebraischem Wege gegeben (fermatsche Zahlen).

 

Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert entwickelten sich aus der Lehre von der Perspektive die Anfänge der projektiven Geometrie (G. Desargues, B. Pascal), die allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der Infinitesimalrechnung ging durch Anwendung auf Kurven und Flächen im Raum die Differenzialgeometrie hervor.

 

F. Klein stellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen Geometrien durch die Invarianten der ihnen zugeordneten Transformationsgruppen und konnte somit die verschiedenen, bis dahin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung der Geometrie griffen am Ende des 19. Jahrhunderts M. Pasch, D. Hilbert, G. Peano und andere auf. Besonders Hilberts »Grundlagen der Geometrie« (1899, ¹³1987) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der geometrischen Forschung aus. In den letzten Jahrzehnten wurden die Untersuchungen ausgedehnt auf Geometrien, deren algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen Eigenschaften ihre Entsprechung in den geometrischen Sätzen.

 

Literatur:

 

F. Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Bd. 2: G. (³1925, Nachdr. 1968);

 W. Degen u. L. Profke: Grundlagen der affinen u. euklid. G. (1976);

 R. Lingenberg: Grundlagen der G. (³1978);

 K. Mainzer: Gesch. der G. (1980);

 H. S. M. Coxeter u. S. L. Greitzer: Zeitlose G. (a. d. Engl., 1983);

 E. Bohne u. W.-D. Klix: G. Grundlagen für Anwendungen (1995);

 G. Bär: G. Eine Einf. in die analyt. u. konstruktive G. (1996);

 H. Knörrer: G. (1996);

 H. Scheid: Elemente der G. (²1996).