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Ạlgebra

 

[durch romanische Vermittlung aus arabisch al-ǧabr, eigentlich »die Einrenkung (gebrochener Teile)«] die, -,. ..'gebren,  

 1) ohne Plural, im ursprünglichen Sinn als klassische Algebra dasjenige Gebiet der Mathematik, das sich mit der Auflösung von algebraischen Gleichungen und Gleichungssystemen befasst, wobei im Wesentlichen nur die rationalen Rechenoperationen der Grundrechnungsarten verwendet werden und im Fall der Gleichungssysteme nur bei Systemen linearer Gleichungen für mehrere Unbekannte eine Systematik existiert (Bereich der linearen Algebra). Da die Lösbarkeit einer algebraischen Gleichung von dem als Grundmenge zur Verfügung stehenden Zahlenbereich abhängt, war mit der Entwicklung allgemeiner Lösungsmethoden auch die Untersuchung der Struktur der Zahlenbereiche verbunden. Heute versteht man unter moderner oder abstrakter Algebra die systematische Theorie der algebraischen Strukturen und ihrer (zweistelligen) Verknüpfungen. Sie ist damit die Theorie jener Mengen, deren Elemente durch eine oder mehrere algebraische Operationen verknüpft werden, wobei die Elemente Zahlen, Abbildungen, Funktionen, Permutationen, Vektoren, Matrizen u. a. sein können (Lie-Algebra, Vektoralgebra). Die wichtigsten Verknüpfungen und Strukturen sind in der Tabelle dargestellt.

 

Die gemeinsamen Eigenschaften aller Verknüpfungsstrukturen werden von der universellen Algebra untersucht. Mit den einzelnen Strukturen befassen sich v. a. Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie, lineare und multilineare Algebra, Algebrentheorie und Verbandstheorie (Verband). Oberstes Ziel ist die Klassifikation aller Gruppen, Ringe u. a. algebraischen Strukturen. Zu diesem Zweck untersucht man ihre Konstruktion und ihre Homomorphie- und Isomorphiebeziehungen, d. h. ihre Strukturanalogien, sowie die einzeln als Homomorphismus und Isomorphismus bezeichneten Abbildungen zwischen ihnen, bei denen die jeweiligen algebraischen Operationen unverändert bleiben.

 

Die Bedeutung der modernen Algebra liegt darin, dass sie allgemeine Aussagen, Sätze und Methoden liefert, die in vielen Bereichen der Mathematik (besonders in der Analysis, algebraischen Geometrie und Topologie), der theoretischen Physik (v. a. in der Quanten- und Elementarteilchentheorie), in der Informatik u. a. naturwissenschaftlichen Gebieten angewendet werden.

 

Geschichtliches:

 

Bereits die Ägypter und Babylonier lösten seit dem Anfang des 2. Jahrtausends v. Chr. lineare und quadratische Gleichungen, die z. B. in Handel, Baukunst und Feldvermessung auftraten. Die Griechen bemühten sich meist um geometrische Lösungsmethoden, ausgenommen um 250 n. Chr. Diophantos von Alexandria mit seiner Behandlung der diophantischen Gleichungen. Eingehend befassten sich dann die Araber mit algebraischen Untersuchungen, unter ihnen besonders al-Charismi. Der Name Algebra stammt aus dem Titel »Al-kitab al-muktasar fi hisab al-djabr wa al-mukabala« (kurzes Buch über das Rechnen der Ergänzung und Ausgleichung) seines um 825 geschriebenen Lehrbuchs, dessen Titel im 12. Jahrhundert zu »Algebra et Almukabala« latinisiert und schließlich verkürzt wurde, als es über Nordafrika und Spanien ins abendländische Europa gelangte.

 

Die Auflösung von Gleichungen 3. und 4. Grades mithilfe von Radikalen, d. h. ineinander geschachtelten Wurzelausdrücken entsprechenden Grades (cardanische Formeln), gelang zu Anfang des 16. Jahrhunderts in Oberitalien (S. del Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano und L. Ferrari). Dort wurde auch der Begriff Algebra von der Gleichungslehre auf das »Buchstabenrechnen« übertragen, das sich vom 15. bis 17. Jahrhundert zunehmend herausbildete (Coss). Einen wesentlichen Beitrag lieferte 1591 F. Viète mit seinen Formeln, die Lösungen und Koeffizienten der Gleichungen verknüpfen (vietasche Wurzelsätze). 1799 bewies C. F. Gauss als erster den »Fundamentalsatz der Algebra«, d. h. die Lösbarkeit beliebiger algebraischer Gleichungen im Körper der komplexen Zahlen. P. Ruffini (1799) und N. H. Abel (1826) zeigten schließlich, dass algebraische Gleichungen 5. und höheren Grades im Allgemeinen nicht durch Radikale lösbar sind. Dieses Resultat folgt unmittelbar aus der Galois-Theorie, die von É. Galois 1831/32 skizziert und später von anderen Mathematikern ausgebaut wurde. Die moderne Theorie der Lösung algebraischer Gleichungen wurde 1910 von E. Steinitz systematisch dargestellt. Wichtige Beiträge hierzu hatten zuvor E. Kummer und R. Dedekind durch Ausbildung der Idealtheorie geleistet. Die moderne Algebra verdankt ihre heutige Gestalt v. a. dem Wirken von Emmy Noether und ihren Schülern, unter ihnen besonders B. L. van der Waerden (»Moderne Algebra«, 2 Bände 1936, ^5-81967-71). In hohem Maße wurde die Algebra auch von der Zahlentheorie befruchtet. Weitere Impulse kamen von der Geometrie. Die Untersuchung der Unterstrukturen algebraischer Strukturen förderte in den 1930er-Jahren die Entwicklung der Verbandstheorie.

 

Literatur:

 

B. Hornfeck: A. (³1976);

 K. Meyberg: A., 2 Bde. (^1-21976-80);

 I. N. Herstein: A. (a. d. Engl., 1978);

 G. Böhme: A. (⁴1981);

 E. Fried: Abstrakte A. (a. d. Ungar., 1983);

 J.-P. Pahl u. a.: A. für Techniker, 2. Tle. (1983-84);

 H.-J. Reiffen u. a.: A. (²1984);

 B. L. van der Waerden: A history of algebra (Berlin u. a. 1985);

 G. Böhme: A. Anwendungsorientierte Mathematik (⁷1992).

 

 2) Algebra über einem Ring, hyperkomplẹxes System, jede algebraische Struktur, die aus einem Ring A mit Elementen a, b. .. und zwei Verknüpfungen (Addition ⊕ und Multiplikation °) hervorgeht, wenn eine äußere Multiplikation ∙ dieser Elemente mit Elementen α, β. .. eines Ringes R mit Einselement und Verknüpfungen + und · definiert ist und A bezüglich Addition und äußerer Multiplikation einen Vektorraum bildet. Es gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: