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Relativitätstheorie,

 

die von A. Einstein begründete fundamentale Theorie von Raum und Zeit; neben der Quantentheorie eine der bedeutendsten physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts. Die in sich geschlossene und durch experimentelle Erfahrung gesicherte spezielle Relativitätstheorie (1905) mit der ihr zugrunde liegenden Wandlung des Verständnisses von Raum und Zeit ist zur Voraussetzung der gesamten modernen Physik geworden, insofern als jede allgemein gültige physikalische Theorie ihren Prinzipen genügen muss. Die allgemeine Relativitätstheorie (1915) knüpft als Theorie der Gravitation die Eigenschaften von Raum und Zeit an das Vorhandensein von Materie; sie nimmt einen zentralen Platz in der Kosmologie ein. Nach ihr bestimmt die Masseverteilung im Weltall die Geometrie der vierdimensionalen Raum-Zeit.

 

 Spezielle Relativitätstheorie

 

Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie sind das spezielle Relativitätsprinzip, das die Gleichwertigkeit aller gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssysteme (Inertialsysteme) für die Beschreibung physikalischer Vorgänge behauptet, und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, die danach in allen Inertialsystemen den gleichen Wert c hat (Lichtgeschwindigkeit). Damit wird die Hypothese eines bevorzugten, absolut ruhenden Bezugssystems und auch die eines universellen Äthers verworfen. Einen Hinweis hierauf hatte bereits der Michelson-Versuch geliefert (1881), der durch die spezielle Relativitätstheorie eine konsistente und umfassende Deutung erfuhr.

 

Die Formulierung von Naturgesetzen muss nach der speziellen Relativitätstheorie lorentzinvariant erfolgen, d. h. in einer Form, die beim Übergang von einem Inertialsystem in ein anderes vermittels einer Lorentz-Transformation der Koordinaten und physikalischen Größen unverändert bleibt (Kovarianz). Die relativistische Kinematik bewirkt, dass zwei sich mit den Geschwindigkeiten u und v (bezüglich eines Beobachters) aufeinander zu bewegende Körper nicht die (von einem der Körper aus gemessene) Relativgeschwindigkeit w = u + v, sondern w = (u + v) / (1 + uv / c²) haben (Additionstheorem der Geschwindigkeiten). Auch bei sehr großen Geschwindigkeiten u und v wird deswegen die Lichtgeschwindigkeit c nie erreicht; sie stellt als universelle Naturkonstante die obere Grenzgeschwindigkeit für jeden Transport von Energie oder Materie dar (Fehlen von instantanen Fernwirkungen) und kann von keinem Körper überschritten werden. Für sehr kleine Geschwindigkeiten (u, v em>c) ist der Korrekturfaktor im Nenner vernachlässigbar; die relativistische Mechanik lässt sich daher für Geschwindigkeiten, die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind, durch die als Grenzfall enthaltene newtonsche Mechanik annähern.

 

Durch die Lorentz-Transformation werden sowohl der Raum als auch die Zeit transformiert, was von Einstein als Erstem dahingehend interpretiert wurde, dass der Begriff einer absoluten, vom gewählten Bezugssystem unabhängigen Zeit aufgegeben und durch einen relativistischen Zeitbegriff ersetzt werden muss. Das führt zu einer vom herkömmlichen Verständnis abweichenden Relativierung der Gleichzeitigkeit: Zwei räumlich getrennte, in einem bestimmten Bezugssystem gleichzeitig stattfindende Ereignisse fallen in einem relativ dazu bewegten System zeitlich auseinander. Lichtsignale von den Orten der Ereignisse erreichen den Beobachter erst nach einer endlichen Laufzeit, und wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen hängt das Urteil über die Gleichzeitigkeit vom Bewegungszustand des Beobachters ab. Bedeutsam ist hierbei die operationale Definition der Zeit über einen Messvorgang mit im jeweiligen Inertialsystem ruhenden Uhren als Zeitmaß. Die Ergebnisse der Zeitmessungen gleicher Vorgänge differieren in verschiedenen Bezugssystemen; sie sind durch Lorentz-Transformationen miteinander verknüpft. Entsprechendes gilt auch für die Erfassung des Raums mit geeigneten Längenmaßstäben, bei der die Ergebnisse von Abstandsmessungen ebenfalls vom Bezugssystem und von dessen relativem Bewegungszustand abhängen.

 

Eine wichtige Folgerung aus der Lorentz-Transformation ist die relativistische Massenzunahme: Die träge Masse eines Körpers der Ruhemasse m₀ nimmt mit seiner Geschwindigkeit v gemäß zu. Bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit wächst die Masse über alle Grenzen, sodass es nicht möglich ist, den Körper darüber hinaus zu beschleunigen. Weitere relativistische Effekte sind die Längenkontraktion und die Zeitdilatation, auf der das Zwillingsparadoxon beruht.

 

Als eine der bedeutsamsten Aussagen der speziellen Relativitätstheorie erweist sich das einsteinsche Gesetz der Äquivalenz von Masse und Energie (Masse-Energie-Äquivalenz), wonach einem Teilchen der Masse m stets die Energie E = mc² = entspricht und umgekehrt (p Teilchenimpuls, m₀ Ruhemasse). Die relativistische Massenzunahme beschreibt somit die Zunahme der kinetischen Energie eines Teilchens mit der Ruheenergie E₀ = m₀c² (Energieäquivalent der Ruhemasse). Die Masse-Energie-Äquivalenz zeigt sich z. B. in Form der Bindungsenergie von Atomkernen (Massendefekt); sie beinhaltet aber v. a. die Möglichkeit der wechselseitigen Umwandlung von Materie und Energie.

 

Die angemessene mathematische Beschreibung findet die spezielle Relativitätstheorie in der von H. Minkowski gegebenen Darstellung im Minkowski-Raum, bei der Raum und Zeit zur vierdimensionalen Raum-Zeit verschmelzen. Punkte (Ereignisse) in der Raum-Zeit werden als Weltpunkte mit den kontravarianten Koordinaten (kontravariante Größen) x⁰ = ct, x¹ = x, x² = y, x³ = z erfasst (t Zeit, x, y, z gewöhnliche Raumkoordinaten; eine andere Konvention wählt als Zeitkoordinate den Ausdruck i ct; i imaginäre Einheit). Die pseudoeuklidische Metrik des Minkowski-Raums ist formal durch ihren metrischen Tensor (Fundamentaltensor) g_μν gegeben (g₀₀ = 1, g_ii = —1 für i = 1, 2, 3, g_μν = 0 für μ ≠ ν). Das relativistische Betragsquadrat eines Weltvektors x^μ = (x⁰, x¹, x², x³) ist dann s² = g_μν x^μ x^ν = c²t² — x² — y² — z² (gemäß der einsteinschen Summenkonvention wird über doppelt auftretende Indizes summiert). Die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit und damit der Ausbreitung physikalischer Wirkungen drückt sich im Lichtkegel aus, der den Minkowski-Raum in zeitartig und raumartig zu einem Ereignis (Scheitelpunkt) gelegene Bereiche zerteilt. Innerhalb des Lichtkegels gelegene Weltpunkte (s² > 0) haben einen zeitartigen Abstand zum Scheitelpunkt, und nur sie sind mit diesem kausal verknüpft; die zeitliche Reihenfolge zeitartiger Ereignisse kann durch Lorentz-Transformation nicht vertauscht werden. Die Weltlinie (Bahn in der Raum-Zeit) eines Teilchens kann nur innerhalb von dessen Lichtkegel verlaufen. Einem solchen Teilchen lässt sich eine Eigenzeit zuordnen, deren Änderung

 

immer kleiner ist als die Änderung Δt = t₁ — t₀ der Zeitkoordinate eines inertialen Beobachters (v (t) Teilchengeschwindigkeit im Inertialsystem des Beobachters). Für raumartige, nicht kausal verbundene Weltpunkte gilt entsprechend s² 0, für den Mantel des Lichtkegels s² = 0 (lichtartig gelegene Weltpunkte). Physikalische Größen lassen sich im Minkowski-Raum als Vierervektoren angeben, z. B. als Viererimpuls, Viererbeschleunigung oder Viererpotenzial, beziehungsweise allgemein als Tensoren bestimmter Stufe; so wird das elektromagnetische Feld durch einen Feldtensor 2. Stufe beschrieben. Auf diese Weise erzielt man eine kovariante Formulierung der Gesetze der Mechanik und der Elektrodynamik.

 

Experimentell ist die spezielle Relativitätstheorie auf vielfältige Weise überprüft und belegt worden. Die Zeitdilatation konnte mithilfe von Atomuhren unmittelbar gemessen werden, sie zeigt sich zudem bei der erhöhten Lebensdauer hochenergetischer Teilchen in Beschleunigern. Der Michelson-Versuch wurde bei steigender Genauigkeit unter verschiedenen Bedingungen ausgeführt, der relativistische Doppler-Effekt bei astrophysikalischen Beobachtungen nachgewiesen. Die relativistische Massenzunahme tritt ebenfalls beim Betrieb von Beschleunigern auf, wie die gesamte Elementarteilchenphysik (Hochenergiephysik) neben den relativistischen Quantenfeldtheorien die wichtigste Anwendung und Bestätigung der speziellen Relativitätstheorie darstellt.

 

 Allgemeine Relativitätstheorie

 

Der allgemeinen Relativitätstheorie liegt das umfassendere allgemeine Relativitätsprinzip zugrunde, das auch beschleunigte Bezugssysteme als gleichwertig ansieht und zur Einbeziehung der Gravitationswechselwirkung führt. Maßgeblich hierfür ist die Äquivalenz von schwerer und träger Masse (Eötvös-Versuch). Nach dem Äquivalenzprinzip (Äquivalenzhypothese) der allgemeinen Relativitätstheorie sind die Wirkungen homogener Gravitationsfelder und konstanter Beschleunigungen auf ein System gleichartig, d. h., ein Beobachter in einem abgeschlossenen Bezugssystem (z. B. einem Fahrstuhl) kann experimentell nicht zwischen Schwerkraft und Trägheitskraft unterscheiden. An die Stelle der Inertialsysteme der speziellen Relativitätstheorie treten im Gravitationsfeld daher im Allgemeinen beschleunigte Bezugssysteme. Für hinreichend kleine Bereiche der Raum-Zeit kann das Gravitationsfeld als homogen betrachtet und ein darin frei fallendes Bezugssystem als lokal inertiales Bezugssystem verwendet werden, das zwar kein eigentliches Inertialsystem darstellt, in dem sich aber eine nur der Gravitation unterworfene Masse gleichförmig und geradlinig bewegt (z. B. ein frei fallender Fahrstuhl).

 

In einem solchen Bezugssystem gelten die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie, und zu den relativistischen Gesetzen unter dem Einfluss der Gravitation gelangt man durch eine lokale Transformation in ein relativ dazu beschleunigtes Koordinatensystem. Der metrische Tensor g_μν hängt dann von den Koordinaten ab, und die Raum-Zeit erhält eine im Allgemeinen gekrümmte, nichteuklidische Metrik; g_μν ist hier nichtdiagonal und symmetrisch und ersetzt den metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie. Die euklidische Geometrie muss unter diesen Umständen gegen eine vierdimensionale Riemann-Geometrie ausgetauscht werden. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie erfolgt dann die Bewegung einer nur der Gravitation ausgesetzten Punktmasse auf einer (zeitartigen) so genannten geodätischen Linie, die die Bogenlänge der zugehörigen Weltlinie im riemannschen Raum, d. h. den raumzeitlichen Abstand durchlaufener Weltpunkte, minimiert.

 

Die allgemeine Relativitätstheorie liefert als geometrische Theorie der Gravitation eine vollständige relativistische Beschreibung des Gravitationsfeldes, wobei Einstein den metrischen Tensor unmittelbar mit dem (tensoriellen) Gravitationspotenzial selbst identifizierte, das von einer gegebenen Masseverteilung hervorgerufen wird. Damit führte er die Krümmung der Raum-Zeit ursächlich auf das Vorhandensein von Materie zurück. Den Zusammenhang zwischen metrischer Tensor und Masseverteilung stellen die einsteinschen Feldgleichungen dar, die als Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie die Potenzialgleichung der newtonschen Theorie ersetzen. Sie lauten:

 

R_μν ist der Ricci-Tensor (riemannscher Krümmungstensor) und R = g^μν R_μν (gemäß Summenkonvention) der Krümmungsskalar, die beide von g_μν abhängen und die Krümmungseigenschaften des riemannschen Raums wiedergeben, κ = 8 πG / c² ist die einsteinsche Gravitationskonstante (G newtonsche Gravitationskonstante) und T_μν der Energie-Impuls-Tensor der Materie als Verallgemeinerung der Massedichte der Materieverteilung. Die linke Seite der Feldgleichungen wird auch als Einstein-Tensor bezeichnet. Es handelt sich um nichtlineare, gekoppelte Differenzialgleichungen 2. Ordnung für die zehn unabhängigen Komponenten (Gravitationspotenziale) des metrischen Tensors g_μν, die sich aus dem Äquivalenzprinzip in Verbindung mit einigen allgemeinen Annahmen herleiten lassen. Die newtonsche Gravitationstheorie ist als Grenzfall langsam bewegter Teilchen und schwacher statischer Felder in den Feldgleichungen enthalten und stellt eine Näherungslösung der allgemeinen Relativitätstheorie für diese Bedingungen dar. Dem klassischen Gravitationspotenzial U entspricht in diesem Fall die Größe g₀₀ = 1 + 2 U / c², während die anderen Komponenten nur kleine (vernachlässigbare) Korrekturen ergeben.

 

Für die einsteinschen Feldgleichungen lassen sich nur in einigen Fällen exakte geschlossene Lösungen angeben. Die Lösung für den Außenraum einer sphärischen Masseverteilung, z. B. eines Sterns, heißt Schwarzschild-Metrik; sie ist statisch und die einzige kugelsymmetrische Lösung für das Vakuum. Sterne, deren Masse M auf ein kleineres Kugelvolumen als das durch den Schwarzschild-Radius r_s = 2 GM / c² gegebene beschränkt wird, etwa durch einen Gravitationskollaps, entarten zu einem Schwarzen Loch. Bei Sternen normaler Dichte (wie der Sonne) weicht die Schwarzschild-Metrik des Außenraums jedoch nur geringfügig von der ebenen, pseudoeuklidischen Metrik des Minkowski-Raums ab. Daneben existieren verschiedene kosmologische Lösungen (Kosmologie) für die raum-zeitliche Struktur des ganzen Universums, z. B. die Friedmann-Modelle, die ein sich dynamisch entwickelndes Universum beschreiben. Einstein selbst ergänzte die linke Seite der Feldgleichungen phänomenologisch um ein kosmologisches Glied Λg_μν, um die Möglichkeit eines stationären Universums (Einstein-Kosmos) zu erhalten. Mit der Einführung einer solchen kosmologischen Konstante Λ wird dem leeren Raum eine endliche Energiedichte zugeschrieben. - Das machsche Prinzip (nach E. Mach), das über das nur lokal gültige Äquivalenzprinzip hinaus die globale Äquivalenz von Trägheit und Gravitation behauptet und alle Trägheitserscheinungen auf die kollektiven Gravitationskräfte der kosmischen Masseverteilung (Sternhimmel) zurückführt, kann durch die allgemeine Relativitätstheorie nicht begründet werden.

 

Die allgemeine Relativitätstheorie wird durch eine ganze Reihe experimenteller Tests ihrer Vorhersagen bestätigt. Dazu gehören die gravitative Rotverschiebung von Spektrallinien, die Lichtablenkung (Gravitationsaberration) im Schwerefeld (zusätzlich zum speziell relativistischen Effekt aufgrund der Energie-Masse-Äquivalenz), Gravitationslinsen, die Periheldrehung des Merkur sowie die Echoverzögerung bei der Reflexion von Radarsignalen durch Planeten (Shapiro-Effekt). Die gravitative Zeitdilatation, durch die Uhren im Schwerefeld aufgrund ihrer gedehnten Eigenzeit langsamer gehen als außerhalb, konnte im Erdfeld durch vergleichende Messungen an Atomuhren nachgewiesen werden. Für die Existenz der ebenfalls aus der allgemeinen Relativitätstheorie folgenden Gravitationswellen dagegen gibt es noch keine eindeutigen Beweise.

 

 Geschichte

 

Die Relativitätstheorie entstand aus den Bemühungen um die Formulierung einer Elektrodynamik für bewegte Körper und aus der Auseinandersetzung mit der Hypothese eines ruhenden Äthers: G. F. Fitzgerald (1885) und H. A. Lorentz (1892) hatten das negative Resultat des Michelson-Versuchs durch eine Kontraktion bewegter Körper in der Bewegungsrichtung (Längenkontraktion) erklärt. Weiter hatte Lorentz 1898 die Lorentz-Transformation der Raum- und Zeitkoordinaten eingeführt und 1904 die Lorentz-Invarianz der Elektrodynamik aufgezeigt, während H. Poincaré 1905 die Gruppeneigenschaft der Lorentz-Transformation (Lorentz-Gruppe) nachwies. Die physikalische Deutung der Probleme vollzog A. Einstein 1905 mit der speziellen Relativitätstheorie durch eine Revision des Raum- und Zeitbegriffs. H. Minkowski gab 1908 der speziellen Relativitätstheorie die mathematische Gestalt, und Einstein leitete aus ihr die allgemeine Energie-Masse-Äquivalenz ab.

 

Ab 1907 bemühte sich Einstein um die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie als einer Theorie beschleunigter Bezugssysteme und der Gravitation. Mit der Erkenntnis der physikalischen Bedeutung der Metrik und durch Erweiterung des Relativitätsprinzips gelang Einstein 1915 die Aufstellung der Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Diese lieferten theoretische Werte für die Drehung des Merkurperihels und die Lichtablenkung im Schwerefeld der Sonne, die gut mit experimentell ermittelten Werten (z. B. A. Eddington, 1919) übereinstimmen.

 

Die Relativitätstheorie erregte nicht nur unter Physikern, sondern auch in der Öffentlichkeit große Aufmerksamkeit. Abgelehnt wurde die Relativitätstheorie in Deutschland u. a. von H. Dingler, später (v. a. im Nationalsozialismus) galt sie als Inbegriff der so genannten »jüdischen Physik«, die von der »deutschen Physik« unter P. Lenard, J. Stark u. a. als entartet heftig bekämpft wurde. Heute ist die Relativitätstheorie allgemein anerkannt und wird als Abschluss der klassischen Physik und Übergang zur modernen Physik des 20. Jahrhunderts verstanden.

 

Literatur:

 

Einführungen und allgemein verständliche Darstellungen:

 

M. Born: Die R. Einsteins (⁵1969, Nachdr. 1984);

 G. Gamov: Mr. Tompkins' seltsame Reisen durch Kosmos u. Mikrokosmos (a. d. Engl., 1980, Nachdr. 1994);

 N. Calder: Einsteins Universum (a. d. Engl., Neuausg. 1988);

 A. Einstein: Über die spezielle u. die allg. R. (²³1988, Nachdr. 1992);

 P. Mittelstaedt: Philosoph. Probleme der modernen Physik (⁷1989);

 B. Russell: Das ABC der R. (a. d. Engl., Neuausg. 17.-18. Tsd. 1992);

 H. Fritzsch: Eine Formel verändert die Welt. Newton, Einstein u. die R. (Neuausg. ³1996).

 

 

A. Einstein: Grundzüge der R. (Neuausg. ⁶1990);

 

K. Hentschel: Interpretationen u. Fehlinterpretationen der speziellen u. allg. R. durch Zeitgenossen Albert Einsteins (Basel 1990);

 

H. Weyl: Raum, Zeit, Materie. Vorlesungen über allg. R. (⁸1993);

 

U. E. Schröder: Spezielle R. (³1994);

 

T. Fliessbach: Allg. R. (²1995);

 

R. U. Sexl u. H. K. Urbantke: Gravitation u. Kosmologie. Eine Einf. in die allg. R. (⁴1995).

 

Weitere Literatur: Gravitation, Kosmologie, Raum.

 

Hier finden Sie in Überblicksartikeln weiterführende Informationen:

 

Relativitätstheorie: Was ist Zeit und Raum?

 

Allgemeine Relativitätstheorie

 

Rotation der Erde und Zeit

 

Relativitätstheorie und die Einheit von Raum und Zeit