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Zahl [ts̮a:l], die; -, -en:1. Angabe einer Menge, Größe:
die Zahl 1 000; zwei Zahlen addieren, zusammenzählen, dividieren, teilen, [voneinander] abziehen, subtrahieren; eine Zahl mit sich selbst multiplizieren; die Summe zweier Zahlen; eine gerade (durch zwei teilbare) Zahl; genaue Zahlen (Zahlenangaben) liegen uns bislang nicht vor.
2. <ohne Plural> Anzahl von Personen, Dingen o. Ä.:
die Zahl der Mitglieder steigt ständig; eine große Zahl Besucher war/(auch:) waren gekommen; eine große Zahl hübscher/(seltener:) hübsche Sachen; es waren, sie waren sieben an der Zahl (sie waren sieben); solche Bäume wachsen dort in großer Zahl; sie sind in voller Zahl (vollzählig) erschienen.
• Zahl/Anzahl
Zahl und Anzahl werden heute häufig gleichbedeutend gebraucht. Wo es auf eine präzise Aussage ankommt, sollte jedoch die folgende Unterscheidung beachtet werden:
Zahl bezieht sich auf die Gesamtzahl, die Gesamtmenge als eine Einheit, als Ganzes. Das Wort wird mit dem bestimmten Artikel gebraucht und ist oft mit einem Genitivattribut verbunden.
– Die Zahl meiner Bekannten ist groß.
– Die Zahl der Geladenen war beschränkt.
Anzahl umfasst eine gewisse, aber unbestimmte Menge von Dingen oder Personen, die als einzeln vorhanden gedacht werden, und unterscheidet sich von dem Wort »Zahl«, das einen Einheitsbegriff darstellt. »Anzahl« wird meist mit unbestimmtem Artikel gebraucht und oft in Verbindung mit einem Genitiv- oder Präpositionalattribut in partitiver Funktion:
– Eine große Anzahl von Demonstranten wurde verhaftet.
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Zahl 〈f. 20〉
1. der Mengenbestimmung dienende, durch Zählen gewonnene Größe
2. für diese Größe stehendes Zeichen, Ziffer, z. B. 1, 2; → Lexikon der Sprachlehre
3. Menge, Gruppe, Anzahl
● die \Zahl Neun; die \Zahl der Mitglieder, Zuschauer ● eine \Zahl abrunden, aufrunden; \Zahlen addieren, subtrahieren ● arabische, römische \Zahlen Ziffern; ganze \Zahl Ziffer ohne Bruch, z. B. 1, 2, 3, 4; Ggs Bruchzahl; gebrochene \Zahl Bruch, z. B. 3/4; gemischte \Zahl ganze Z. mit Bruch, z. B. 2 3/4; gerade \Zahl durch 2 teilbare Z., z. B. 4, 6, 8; große, kleine, hohe, niedrige \Zahl; eine große \Zahl (von) Menschen; runde \Zahl durch 10 od. 100 (auch: durch 5) teilbare Z.; ungerade \Zahl durch 2 nicht teilbare Z., z. B. 5, 7, 9 ● hundert an der \Zahl 〈verstärkend〉 hundert; eine \Zahl durch eine \Zahl teilen, dividieren; sie kamen, strömten in großer \Zahl herbei; eine \Zahl mit einer \Zahl malnehmen, multiplizieren; Vögel, Blumen ohne \Zahl zahllose, unsagbar viele [<mhd. zal „Zahl, Menge; Erzählung, Rede“ <ahd. zala „Zahl, Menge; Aufzählung, Rede“ <urgerm. *talo „Einschnitt“; zu lat. dolare „behauen“, dolabia „Axt“]
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Zahl , die; -, -en [mhd. zal, ahd. zala = Zahl; Menge; Aufzählung; Bericht, Rede, eigtl. = eingekerbtes (Merkzeichen)]:
1.
a) auf der Grundeinheit Eins basierender Mengenbegriff:
die Z. Drei, Tausend;
die -en von eins bis hundert, von 1 bis 100;
eine hohe, große, niedrige, kleine, krumme, runde, magische, heilige Z.;
genaue -en (Zahlenangaben) liegen uns bislang nicht vor;
er sprach von erheblichen Gewinnen, nannte jedoch keine -en (bezifferte die Gewinne nicht);
☆ [die folgenden Wendungen beziehen sich auf die kaufmännische Bilanz, in der traditionell die Ziffern eines Defizits mit roten Zahlen geschrieben werden, die Gewinne dagegen in Schwarz stehen] rote -en schreiben (Verluste machen);
schwarze -en schreiben (Gewinne machen);
aus den roten -en [heraus]kommen, [heraus] sein (aus der Verlustzone herauskommen, heraus sein; Gewinne machen);
in die roten -en kommen/geraten/rutschen (anfangen, Verluste zu machen: die Firma kam, geriet, rutschte [immer weiter, tiefer] in die roten -en);
in die schwarzen -en kommen (anfangen, Gewinne zu machen);
in den roten -en sein/stecken (Verluste machen);
in den schwarzen -en sein (Gewinne machen);
b) für eine Zahl (1 a) stehende Ziffer, Folge von Ziffern, Zahlzeichen:
eine vierstellige, mehrstellige Z.;
arabische, römische -en;
eine Z. aus mehr als drei Ziffern.
2. (Math.) durch ein bestimmtes Zeichen od. eine Kombination von Zeichen darstellbarer abstrakter Begriff, mit dessen Hilfe gerechnet, mathematische Operationen durchgeführt werden können (Abk.: Z.):
eine durch 3 teilbare Z.;
algebraische, ganze, gerade, imaginäre, irrationale, komplexe, natürliche, negative, positive, reelle -en;
eine gemischte Z.;
die Z. π;
-en addieren, zusammenzählen, dividieren, teilen, [voneinander] abziehen, subtrahieren;
eine Z. mit sich selbst multiplizieren, malnehmen;
die Summe zweier -en;
die Quersumme, das Quadrat einer Z.;
die Wurzel aus einer Z.
3. <o. Pl.> Anzahl, Menge:
die Z. der Mitglieder, der Unfälle wächst ständig;
eine große Z. Besucher war/(auch:) waren gekommen;
eine große Z. hübscher/(seltener:) hübsche Sachen;
sie waren, es waren sieben an der Z. (waren sieben);
solche Bäume wachsen dort in großer Z.;
(geh:) Leiden ohne Z./(veraltend:) sonder Z. (zahllose Leiden).
4. (Sprachwiss.) Numerus:
Geschlecht und Z. des Hauptwortes.
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I Zahl
[althochdeutsch zala, eigentlich »eingekerbtes (Merkzeichen)«], jedes Element der Menge ℕ der natürlichen Zahlen und der aus dieser durch Zahlenbereichserweiterungen entstehenden Mengen. Die Erweiterungen von ℕ zu den ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen erfolgen stets so, dass alle in einem Zahlenbereich geltenden Rechengesetze auch in den erweiterten Zahlenbereichen gelten. - Die natürlichen Zahlen (0, 1, 2,. ..) sind axiomatisch durch das peanosche Axiomensystem charakterisiert, mengentheoretisch ist ihre Existenz durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert. Danach ist jede natürliche Zahl gleich der Menge ihrer Vorgänger, also 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2} usw.; durch n ≦ m : n m ist die natürliche Ordnung auf ℕ erklärt. Die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen werden durch rekursive Definition eingeführt; sie genügen den Rekursionsgleichungen m +0 = m, m + n' = (m + n) ' beziehungsweise m 0 = 0 und m n' = m n + m, wobei n' der Nachfolger von n ist. Die Erweiterung von ℕ zu der Menge ℤ der ganzen Zahlen (..., —2, —1, 0, 1, 2,. ..) ist erforderlich, da in den natürlichen Zahlen die Subtraktion nur dann ausführbar ist, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend. Formal korrekt werden die ganzen Zahlen eingeführt als die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation »Differenzengleichheit« (a, b) ∼ (c, d ) : a + d = b + c auf ℕ☓ℕ (Relation). Diese Äquivalenzklassen sind Mengen des Typs Pa = {(n, a + n) / n ∈ ℕ} und Na = {(a + n, n) / n ∈ ℕ}, a ∈ ℕ, auf denen die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch (a, b) (c, d ) = (ad + bc, ac + bd ) definiert wird. Mit diesen Verknüpfungen ist ℤ ein angeordneter Integritätsbereich; die bekannte Darstellung der ganzen Zahlen ergibt sich durch die Identifikation a ≡ Pa, —a ≡ Na. In ℤ ist die Gleichung ax = b (a, b ∈ ℤ, a ≠ 0) nur dann lösbar, wenn a ein Teiler von b ist. Damit diese Gleichung uneingeschränkt lösbar ist, wird ℤ zum Bereich der rationalen Zahlen ℚ erweitert. Analog zur Erweiterung von ℕ zu ℤ wird ℚ als die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation »Quotientengleichheit«
definiert. Die Äquivalenzklassen sind die Mengen
auf denen die Addition und Multiplikation durch (i, k ) + (l, m) = (im + lk, km) beziehungsweise durch (i, k ) (l, m) = (il, km) definiert sind. Mit diesen Operationen ist ℚ ein angeordneter Körper, die Identifikation g / h ≡ Bg, h ergibt die übliche Darstellung rationaler Zahlen. Die rationalen Zahlen weisen Lücken auf, wie z. B. die einer Zahl x mit der Eigenschaft x2 = 2. Solche Lücken sind vollständig und äquivalent charakterisiert durch dedekindsche Schnitte in ℚ, die kein rationales definierendes Element besitzen, durch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen ohne Grenzwert in ℚ und durch Intervallschachtelungen in ℚ, die keinen rationalen Kern besitzen. Eine formal korrekte Darstellung dieser Verfahren ist ungleich aufwendiger als im Fall der oben beschriebenen, bis zu den rationalen Zahlen führenden Erweiterungen. Im Ergebnis dieser Erweiterungen werden die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen ℝ vervollständigt, die mit der Addition, Multiplikation und der Ordnungsrelation einen vollständig archimedisch angeordneten Körper bilden. Reelle Zahlen, die nicht in ℚ liegen, heißen irrational (z. B. = 1,14142..., die Kreiszahl π = 3,14159...), reelle Zahlen, die Lösung einer algebraischen Gleichung sind, heißen algebraische Zahlen, z. B. (als Lösung von x2 = 2), andernfalls transzendent (z. B. π, die eulersche Zahl e). Die rationalen Zahlen liegen dicht in ℝ, d. h. jede irrationale Zahl ist beliebig genau durch rationale Zahlen approximierbar. Zur Veranschaulichung der reellen Zahlen dient die Zahlengerade, eine Gerade, auf der jedem Punkt eindeutig eine Zahl aus ℝ zugeordnet ist. Die komplexen Zahlen C schließlich bilden alle geordneten Paare (a, b ) reeller Zahlen, kennzeichnen also die Punkte der Ebene. Mit der durch (a, b ) + (c,d ) = (a + c, b + d ) und (a, b ) (c, d ) = (ac — bd, ad + bc) erklärten Addition und Multiplikation bilden die komplexen Zahlen einen Erweiterungskörper des Körpers der reellen Zahlen, über dem nach dem Fundamentalsatz der Algebra jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt (algebraische Gleichung). Insbesondere besitzt die im Reellen unlösbare Gleichung x2 = —1 die als imaginäre Einheit i bezeichnete komplexe Lösung (0, 1). Eine Anwendung der komplexen Multiplikation zeigt, dass i (b, 0) = (0, b ) für alle b ∈ ℝ, also gilt für jede komplexe Zahl (a, b ) = (a, 0) + i (b, 0) = a + i b. Es sind auch noch Zahlenbereichserweiterungen über die komplexen Zahlen hinaus möglich (Quaternionen). - In der Mengentheorie werden zur Fortsetzung des Zählprozesses weit über die natürlichen Zahlen hinaus Ordinal- und Kardinalzahlen mit ihrer Arithmetik eingeführt. Eine Ordinalzahl ist eine wohl geordnete Menge α mit der Eigenschaft {β ∈ α / b γ } = γ für alle γ ∈ α; eine Kardinalzahl (Mächtigkeit) ist eine Ordinalzahl α mit der Eigenschaft α ≦ δ für alle zu ihr gleichmächtigen Ordinalzahlen δ.
Vorstellungen über Zahlen sind schon für die Jungsteinzeit belegt und sind vermutlich ebenso kultischen wie praktischen Ursprungs. So war das einfachste Zahlensystem, das Zweier- oder Dualsystem, schon den Indogermanen bekannt. Als Ziffern dienen auf frühen Kulturstufen leicht zählbare Gegenstände, besonders Bambusstäbchen, Steinchen, Striche, Knoten sowie Körperteile. Die Benutzung der Finger (Fingerzahlen) oder der Finger und Zehen führte zum Zehner- oder Dezimalsystem und Zwanziger- oder Vigesimalsystem, bei einigen Völkern zunächst zum Vierersystem, das an der Knöchelbreite der Fingerwurzeln gezählt wird. Die Babylonier benutzten ein Sechziger- oder Sexagesimalsystem, die Maya und Azteken ein Vigesimalsystem. Das heute allen Hochkulturen eigene Dezimalsystem wurde von den Indern mit der Einführung der Null erfunden.
Zunächst war der Zahlenbegriff noch mit den gezählten Dingen verknüpft; erst ein durch die Verwendung von Zahlwörtern, Zahlzeichen und Zahlensystemen geförderter Abstraktionsprozess führte zu dem von den gezählten Dingen losgelösten Begriff der natürlichen Zahl. Den ägyptischen und babylonischen Kulturen waren bereits Brüche und Näherungswerte für irrationale Zahlen, wie und π, bekannt, und die Griechen bewiesen schon Sätze über das von ihnen als Zusammenfassungen von Einheiten verstandene System der natürlichen Zahlen. Wichtige Beiträge zur Herausbildung des modernen Zahlenbegriffs leisteten S. Stevin mit der Einführung der Dezimalbrüche um 1585 und Mathematiker wie L. Fibonacci, G. Cardano und R. Descartes mit ihren Untersuchungen höherer Gleichungen. C. Wessel gab in Zusammenhang mit seinen Arbeiten über ebene und sphärische Polygone noch vor J. R. Argand und C. F. Gauss eine geometrische Definition der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen 1889 charakterisierte G. Peano die natürlichen Zahlen axiomatisch. Zum Aufbau der reellen Zahlen trugen besonders B. Bolzano, K. Weierstrass, G. Cantor und J. W. R. Dedekind bei; D. Hilbert gab 1900 eine axiomatische Begründung. Die Entwicklung der Ordinal- und Kardinalzahlarithmetik wurde wesentlich von Cantor, G. Frege und B. Russell beeinflusst.
Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie v. a. auch in den folgenden Artikeln:
ägyptische Kultur · arabische Wissenschaft · babylonische Kultur · chinesische Mathematik · griechische Mathematik · indische Mathematik
G. Friedlein: Die Z.-Zeichen u. das elementare Rechnen der Griechen u. Römer u. des christl. Abendlandes vom 7. bis 13. Jh. (1869, Nachdr. Vaduz 1997);
P. Natorp: Die log. Grundlagen der exakten Wiss.en (21921, Nachdr. Schaan 1981);
A. A. Fraenkel: Einl. in die Mengenlehre (31928, Nachdr. Schaan 1982);
H. Gericke: Gesch. des Z.-Begriffs (1970);
A. Oberschelp: Aufbau des Zahlensystems (31976);
K. Menninger: Z.-Wort u. Ziffer. Eine Kulturgesch. der Z. (31979);
J. Tropfke: Gesch. der Elementarmathematik, Bd. 1: Arithmetik u. Algebra (41980);
H. Weyl: Philosophie der Mathematik u. Naturwiss. (61990);
G. Ifrah: Universalgesch. der Zahlen(a. d. Frz., Neuausg. 21991);
P. R. Halmos: Naive Mengenlehre (a. d. Amerikan., 51994);
H. Scheid: Elemente der Arithmetik u. Algebra (31996).
Zahl,
Peter-Paul, Schriftsteller, * Freiburg im Breisgau 14. 3. 1944; trat 1966 der »Gruppe 61« bei; 1972-82 inhaftiert (Schusswechsel mit der Polizei), lebt seit 1985 in Jamaika. Sein radikaloppositioneller Standpunkt, seine Erfahrungen mit Prozess- und Haftbedingungen, mit dem Alltag in der Dritten Welt gingen in sein literarisches Werk ein. Zahl schreibt Lyrik (»Aber nein, sagte Bakunin und lachte laut«, 1983), Erzählungen und Romane (»Die Glücklichen. Schelmenroman«, 1979), Essays (»Der Staat ist eine mündelsichere Kapitalanlage. Hetze und Aufsätze 1967-1989«, 1989) und didaktische, stark zeitkritischeStücke (»Die Erpresser«, 1990; »Der Meisterdieb, 1992). Mit »Der schöne Mann« (1994) begann er ein Serie von in Jamaika spielenden sozialkritischen Kriminalromanen (fortgesetzt u. a. mit »Lauf um dein Leben«, 1996).
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Zahl, die; -, -en [mhd. zal, ahd. zala = Zahl; Menge; Aufzählung; Bericht, Rede, eigtl. = eingekerbtes (Merkzeichen), man pflegte früher Merkstriche auf Holz einzukerben]: 1. a) auf der Grundeinheit Eins basierender Mengenbegriff: die Z. Drei, Tausend; die -en von eins bis hundert, von 1 bis 100; eine hohe, große, niedrige, kleine, krumme, runde, magische, heilige Z.; eine dreistellige Z. (eine der Zahlen von 100 bis 999, die mit drei Ziffern geschrieben werden); genaue -en (Zahlenangaben) liegen uns bislang nicht vor; etliche erschreckende -en (statistische Daten) über den westdeutschen Pillenkonsum (Spiegel 15, 1984, 72); in Englisch nehmen wir gerade die -en (die Zahlwörter) durch; er sprach von erheblichen Gewinnen, nannte jedoch keine -en (bezifferte die Gewinne nicht); *[die folgenden Wendungen beziehen sich auf die kaufmännische Bilanz, in der traditionell die Ziffern eines Defizits mit roten Zahlen geschrieben werden, die Gewinne dagegen in Schwarz stehen:] rote -en schreiben (Verluste machen); schwarze -en schreiben (Gewinne machen): die Firma schreibt in diesem Jahr wieder schwarze -en; aus den roten -en [heraus]kommen, [heraus]sein (aus der Verlustzone herauskommen, heraussein; Gewinne machen): die Firma kommt aus den roten -en gar nicht mehr heraus; in die roten -en kommen, geraten, rutschen (anfangen, Verluste zu machen): [immer weiter, tiefer] in die roten -en kommen, geraten; Im ersten Quartal rutschte das Unternehmen in die roten -en (Wirtschaftswoche 22, 1999, 186); in die schwarzen -en kommen, sich in die schwarzen -en vorarbeiten (anfangen Gewinne zu machen ): Das ... Unternehmen hat sich ... erholt und wieder in die schwarzen -en vorgearbeitet (NZZ 13. 10. 84, 17); in den roten -en sein, stecken (Verluste machen): Denn der gesamte deutsche Bereich Stromerzeugung ... steckt in den roten -en (SZ 13. 1. 98, 26); in den schwarzen -en sein (Gewinne machen); b) für eine ↑Zahl (1 a) stehende Ziffer, Folge von Ziffern, Zahlzeichen: eine vierstellige, mehrstellige Z.; arabische, römische -en; eine Z. aus mehr als drei Ziffern; ein elektrischer Spielapparat mit Kugeln, die an verschiedene Kontakte anschlugen, worauf farbige -en aufleuchteten (Sommer, Und keiner 336); der Taxameter tickte und warf die -en mit einem leichten Knack hoch (Böll, Haus 31). 2. (Math.) durch ein bestimmtes Zeichen od. eine Kombination von Zeichen darstellbarer abstrakter Begriff, mit dessen Hilfe gerechnet, mathematische Operationen durchgeführt werden können: eine durch 3 teilbare Z.; algebraische, ganze, gerade, imaginäre, irrationale, komplexe, natürliche, negative, positive, reelle -en; eine gemischte Z.; die Z. π; die Eulersche Z.; -en addieren, zusammenzählen, dividieren, teilen, [voneinander] abziehen, subtrahieren; eine Z. mit sich selbst multiplizieren, malnehmen; die Quersumme, das Quadrat einer Z.; Der Begriff der Z. ist im Laufe der Geschichte ständig erweitert worden (Mathematik I, 503); die Summe zweier -en; die Wurzel aus einer Z. 3. <o. Pl.> Anzahl, Menge: die Z. der Mitglieder, der Unfälle wächst ständig; eine große Z. Besucher war/(auch:) waren gekommen; eine große Z. hübscher/(seltener:) hübsche Sachen; Uralt war er ..., aber niemand wusste genau die Z. seiner Jahre (Frank, Tage 34); sie waren, es waren sieben an der Z. (waren sieben); solche Bäume wachsen dort in großer Z.; die Mitglieder sind in voller Z. (vollzählig) erschienen; Leiden ohne/(veraltend:) sonder Z. (geh.; zahllose Leiden); das hängt von der Z. der Interessenten ab. 4. (Sprachw.) Numerus: das Eigenschaftswort richtet sich in Geschlecht und Z. nach dem Hauptwort.
Universal-Lexikon. 2012.