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Menge,

 

Mathematik: nach der von G. Cantor, dem Begründer der Mengenlehre, gegebenen Definition »eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens (den »Elementen« der Menge) zu einem Ganzen«. Dabei wird angenommen, dass jede Menge selbst wieder Element von weiteren Menge sein kann. Eine Möglichkeit, diesen Prozess des Zusammenfassens begrifflich zu fixieren, ist die Komprehension. Allerdings können nicht alle Zusammenfassungen wieder als Elemente zugelassen werden, weil dies zu logischen Antinomien (russellsche Antinomie) führen würde. Deswegen werden entweder die Komprehensmöglichkeiten eingeschränkt, oder Zusammenfassungen, die selbst nicht wieder Element sein können, als (echte) Klassen bezeichnet und anders als die Menge behandelt.

 

Die einzige Grundrelation bei Menge ist »∈«, gesprochen »Element von«, z. B. x ∈ A (»x ist Element von A«). Von ihr ausgehend werden für Menge A, B

 

die Teilmenge (oder Inklusion) B A (B ist Teilmenge von A, wenn alle Elemente von B auch solche von A sind, d. h., wenn aus x ∈ B stets x ∈ A folgt) als weitere Beziehung definiert und die Bildung ihrer

 

Durchschnittsmenge (beziehungsweise ihres Durchschnitts) A ∩ B (die Menge aller Elemente, die sowohl Element von A als auch von B sind), ihrer

 

Vereinigungsmenge (beziehungsweise ihrer Vereinigung) A ∪ B (die Menge der Elemente, die in A oder in B liegen) sowie ihrer

 

Differenzmenge (relatives Komplement) A B (alle Elementen von A, die nicht in B liegen) beziehungsweise ihres Komplements (Komplementärmenge) A als Operationen erklärt.

 

Die Rechengesetze für diese Mengenoperationen untersucht man in der Algebra der Mengen. Es gelten z. B. das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für ∩ und ∪ und die Distributivgesetze

 

außerdem die De-Morgan-Gesetze. Beispielsweise hat jede Potenzmenge bezüglich der Operationen ∩, ∪, die Struktur eines booleschen Verbandes.

 

Spezielle Mengen sind die leere Menge oder (Nullmenge) ∅, zu beliebigen Objekten a, b deren Zweiermenge {a, b} und deren geordnetes Paar (a, b) = {{a}, {a, b}}, die Einermenge {a} eines Objekts a sowie die Potenzmenge (A) einer Menge A. Eine Menge, die als Elemente nur geordnete Paare hat, kann man als eine Relation, z. B. als eine Ordnungsrelation ansehen. Ebenso entspricht jede Funktion einer Menge geordneter Paare.

 

Eine grundlegende Beziehung zwischen Menge A und B ist es, gleichmächtig zu sein, d. h. bijektiv aufeinander abgebildet werden zu können. Sie haben dann »gleich viele« Elemente, d. h. dieselbe Kardinalzahl beziehungsweise Mächtigkeit. Ein sehr wichtiger, bereits von Cantor entdeckter Satz besagt, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge einer nichtleeren Menge immer größer ist als die Mächtigkeit dieser Menge selbst. Dies war der Ausgangspunkt für Cantors transfinite Arithmetik, die Theorie der transfiniten Zahlen und des Rechnens mit ihnen. In dieser Theorie haben auch unendliche Mengen Elementeanzahlen. Dabei ist eine Menge genau dann unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrer echten Teilmenge ist. Eine unendliche Menge nennt man abzählbar, wenn sie gleichmächtig ist mit der Menge der natürlichen Zahlen, z. B. die Menge der rationalen Zahlen. Bereits Cantor zeigte, dass es unendliche Mengen gibt, die umfangreicher sind als jede abzählbare Menge, z. B. die Menge der reellen Zahlen. Solche Mengen nennt man überabzählbar (Diagonalverfahren).

 

Insofern die Mengenlehre unendliche Mengen als fertig gegebene Gegenstände behandelt, nimmt sie den Standpunkt des Aktualunendlichen ein - im Unterschied zur Position des Potenziellunendlichen, die behauptet, dass unendliche Gesamtheiten niemals vollständig gegeben sein können.