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Grenzwert,

 

1) Mathematik: Limes, Abkürzung lim, Grundbegriff der Analysis. Eine Folge reeller Zahlen (a_n) hat den Grenzwert a, wenn es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ε eine von diesem ε abhängende natürl. Zahl N gibt, derart, dass |a — a_n| ε für alle n > N gilt. Anschaulich bedeutet dies, dass in jeder Umgebung des Punktes a auf der Zahlengeraden unendlich viele Glieder der Folge liegen und außerhalb jeder Umgebung höchstens endlich viele; man sagt auch: In jeder Umgebung liegen fast alle Glieder (d. h. alle mit Ausnahme endlich vieler) der Folge:

 

(gesprochen: Limes von a_n für n gegen unendlich gleich a). Existiert ein solcher Grenzwert, so nennt man die Folge konvergent, ansonsten divergent. Eine äquivalente Bedingung für das Vorhandensein eines Grenzwerts ist das cauchysche Konvergenzkriterium. Ist der Grenzwert gleich null, so spricht man auch von einer Nullfolge. Beispiele: Die Folge a_n = 1, ¹/₂, ¹/₃, ¼,. .. konvergiert für n → ∞ gegen 0, sie ist eine Nullfolge; die Folge a_n = +1, —1, +1, —1,. .. divergiert.

 

In Anlehnung an die Definition des Grenzwerts für Folgen wird der Grenzwert einer reellen Funktion f(x) wie folgt definiert: Gibt es eine reelle Zahl a derart, dass zu jedem ε > 0 ein x₀ existiert mit |f(x) — a| ε für alle x ≧ x₀ (oder x ≦ x₀), so heißt a der Grenzwert der Funktion f(x) für x → ∞ (beziehungsweise x → — ∞). Ist eine Funktion in einer Umgebung U(x₀) definiert und gibt es eine reelle Zahl a mit

 

für jede gegen x₀ konvergierende Folge (x_n), deren Glieder in U(x₀) {x₀} liegen, dann heißt a der Grenzwert von f an der Stelle x₀:

 

Lässt man beim Grenzübergang nur Werte x > x₀ oder nur Werte x x₀ zu, so erhält man den rechtsseitigen beziehungsweise linksseitigen Grenzwert der Funktion an der Stelle x = x₀.

 

In der Stochastik sind Grenzwerte von Folgen von Verteilungen (Konvergenz) bei der Approxmation komplizierter Verteilungen von großer Bedeutung, so v. a. der zentrale Grenzwertsatz, der Übergang von der Binomialverteilung zur Poisson-Verteilung oder der Übergang von der Binomialverteilung zur Normalverteilung. Gemeinsam ist diesen Grenzübergängen im Allgemeinen eine Zunahme des Stichprobenumfangs. Viele Verteilungen gehen bei geeigneter Normierung in die Normalverteilung über.

 

Geschichte:

 

Überlegungen zur Grenzwertbildung finden sich schon in der Antike, besonders bei Archimedes, der die zu bestimmenden Werte durch eine Folge von jeweils besseren, beliebig fortsetzbaren Näherungswerten annäherte. Archimedes vollzog aber den Grenzübergang nicht, sondern brach das Verfahren nach endlich vielen Schritten ab. Nach Anklängen im Mittelalter (T. Bradwardine, N. Oresme) griffen die Mathematiker des 17. Jahrhunderts das Problem wieder auf; bei J. Kepler, B. Cavalieri, E. Torricelli, Gregorius a San Vicento und ihren Zeitgenossen ist die Auseinandersetzung um die Indivisibeln Zeichen einer intensiven Beschäftigung mit den Grundlagen und Möglichkeiten von Grenzwerten. Algorithmisch wurde das Problem gelöst durch die Entwicklung der Infinitesimalrechnung bei I. Newton, J. Gregory (der als Erster konvergente Doppelfolgen verwendete) und G. W. Leibniz, dessen Methode der unendlich kleinen Größen seit den Bernoullis und L. Euler bis ins 19. Jahrhundert allgemein gebräuchlich war. Das Suchen nach einer klaren logischen Grundlegung war damit lange noch nicht beendet, sondern beschäftigte noch im 19. Jahrhundert z. B. A. L. Cauchy und K. Weierstrass. Erst mit dem Aufbau des Systems der reellen Zahlen wurden die Voraussetzungen für eine exakte Grundlegung geschaffen.

 

 2) Umweltpolitik und Gesundheitspolitik: Höchstgrenze für als noch zumutbar erachtete und damit noch zulässige Schadstoffbelastungen der Umwelt und Belastungen des Menschen aufgrund gesundheitsgefährdender Einflüsse. Ein Grenzwert soll dabei in der Weise festgelegt werden, dass die maximale zulässige Konzentration oder Menge von Schadstoffen auch bei langfristiger Einwirkung nicht zur Schädigung von Menschen, Tieren und Pflanzen führt und sie die Umwelt sowie Gebäude und Sachwerte nicht beeinträchtigt beziehungsweise schädigt. Grenzwerte sind im Allgemeinen bundeseinheitlich festgelegt. Bei Überschreitung können sich rechtliche Folgen ergeben. Das Verfahren der Festlegung von Grenzwerten ist ebenso umstritten wie viele Grenzwerte selbst, da z. B. Wissenschaftler unterschiedlicher Einschätzungen der Schädlichkeit bestimmter Schadstoffe haben und Grenzwerte politisch ausgehandelte Kompromisse darstellen zwischen ökologisch und gesundheitlich (toxikologisch) Gebotenem, technisch Möglichem, finanziell Tragbarem, wirtschaftlich und politisch (auch international) Vertretbarem. (ADI-Wert, BAT-Wert, Emissionsgrenzwerte, Immissionswerte, MAK-Wert, MIK-Wert)