Geometrie
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To|po|lo|gie 〈f. 19; unz.〉
1. 〈Math.〉 Lehre von der Anordnung geometrischer Gebilde im Raum
2. 〈Sprachw.〉 Lehre von der Wort- u. Satzgliedstellung
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To|po|lo|gie [↑ topo- u. ↑ -logie], die; -, …gi|en: die mathematische Lehre von der Lage u. Anordnung geometrischer Objekte im Raum, in der Chemie etwa gleichbed. mit der Beschreibung der Lagebeziehungen zwischen den einzelnen Atomen im Molekül.
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Lehre von der Lage u. Anordnung geometrischer Gebilde im Raum.
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I Topologie
die, -,
1) Mathematik: Teilgebiet, das aus der Analyse des Raumbegriffs Eigenschaften allgemeiner Räume herleitet. Ursprünglich untersuchte die Topologie als Analysis situs (»Geometrie der Lage«) die Eigenschaften geometrischer Objekte (wie Kurven, Flächen, Räume), die bei umkehrbar eindeutigen stetigen Abbildungen (topologischen Abbildungen) erhalten bleiben, d. h. topologisch invariant (homöomorph) sind. - Die moderne Topologie umfasst die Theorie topologischer Räume, synonym wird die topologische Struktur eines Raumes als dessen Topologie bezeichnet; z. B. führen topologische Strukturen in der Graphentheorie (Graph) mit ihren Anwendungsgebieten zu Begriffen wie der Topologie eines Rechner- oder Versorgungsnetzes (Netzwerktopologie). Die die topologische Struktur erhaltende Abbildung zwischen topologischen Räumen ist der Homöomorphismus. Nach den zur Untersuchung benutzten Methoden unterscheidet man die für die Analysis grundlegende mengentheoretische (analytische, allgemeine) Topologie von der algebraischen Topologie, die sich in weitere Teildisziplinen gliedert. Die mengentheoretische Topologie stellt, aufbauend auf einem mengentheoretischen Axiomensystem, die allgemeine Theorie der topologischen Räume dar und untersucht insbesondere auch die mit einer uniformen Struktur beziehungsweise einer Metrik versehenen Räume. In der Differenzialtopologie (einer Disziplin der analytischen Topologie), deren Ergebnisse v. a. in der Funktionalanalysis von Bedeutung sind, werden differenzierbare Mannigfaltigkeiten studiert. Innerhalb der algebraischen Topologie, die topologischen Räume mit algebraischen Methoden und Begriffen untersucht beziehungsweise charakterisiert, haben sich die Homologietheorie sowie die Cohomologietheorie und die Homotopietheorie als eigenständige Disziplinen herausgebildet. V. a. Methoden der algebraischen Topologie nutzt auch die Knotentheorie, die die Einbettung (meist) niederdimensionaler topologischer Räume in höherdimensionale untersucht, z. B. von Kurven in den Anschauungsraum.
Die Topologie entwickelte sich aus geometrischen Fragestellungen, bei denen nur homöomorphieinvariante Lagebeziehungen interessierten. G. W. Leibniz, der in diesem Zusammenhang den Begriff »Analysis situs« einführte, suchte als Erster nach einem geeigneten Kalkül. Die Beschäftigung L. Eulers mit dem Königsberger Brückenproblem und der von ihm formulierte eulersche Polyedersatz sind erste wichtige Beiträge zur Topologie. C. F. Gauss untersuchte schon verschlungene Kurven, und mit Johann Benedikt Listings (* 1808, ✝ 1882) 1847 erschienenen »Vorstudien zur Topologie« wurde der neue Name eingeführt und die weitere Entwicklung angeregt. So untersuchte A. F. Möbius 1859 erstmals einseitige Flächen, und wenig später erkannte B. Riemann die Bedeutung topologischer Eigenschaften für das Studium komplexer Funktionen. Seine Einführung der Zusammenhangszahlen zur Kennzeichnung topologischer Räume führte zur Entwicklung der algebraischen Topologie, zu der anfangs u. a. L. E. J. Brouwer, H. Hopf und Lew Semjonowitsch Pontrjagin (* 1908, ✝ 1988) wesentlich beitrugen. Aufbauend auf der cantorschen Mengenlehre entwickelten Funktionentheoretiker wie R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue, J. Hadamard, E. Heine, C. Jordan, F. Klein und H. Poincaré für die Analysis grundlegende topologischen Begriffe und Aussagen. F. Hausdorff, W. F. Sierpiński und H. Weyl leisteten wichtige Beiträge zur heutigen mengentheoretischen Topologie.
N. Bourbaki: General topology, 2 Bde. (a. d. Frz., Neuausg. 1989);
J. Dugundji: Topology (Neuausg. Dubuque, Ia., 1989);
R. Engelking: General topology (a. d. Poln., Neuausg. 1989).
2) Sprachwissenschaft: Bezeichnung für Wort- und Satzgliedstellung.
Topologie
[zu griech. topos »Ort«, »Stelle« und logos »Wort«, »Gedanke«], in der EDV die räumliche Anordnung von Elementen. Damit ist gewöhnlich die Verbindungsstruktur zwischen Knoten in einem Netzwerk gemeint, also die Netzwerktopologie. Auch die Anordnung der Strukturen in einem Chip bezeichnet man manchmal als Topologie.
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Universal-Lexikon. 2012.