Akademik

Stetigkeit,

 

1) allgemein: die Eigenschaft eines Vorgangs, nicht sprunghaft abzulaufen. Diese Kontinuität spielte in der Naturphilosophie eine wichtige Rolle. Erst die moderne Quantentheorie löste sich mit der Quantelung physikalischer Größen von dieser Vorstellung.

 

 2) Mathematik: Eigenschaft von Funktionen, allgemeiner von Abbildungen. Eine reelle Funktion f heißt an der Stelle a stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass aus |x —a| δ die Beziehung |f (x) — f (a)| ε folgt. Anschaulich bedeutet dies, dass kontinuierliche Änderungen des Argumentes keine sprunghaften Änderungen der Funktionswerte bewirken (Sprungstelle). Die Zahl δ hängt im Allgemeinen von ε und von der konkreten Stelle a ab. Kann man zu einem ε für alle Stellen a dasselbe δ verwenden, so spricht man von gleichmäßiger Stetigkeit. Es gilt: Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ist gleichmäßig stetig. Äquivalent zur angegebenen Definition ist die folgende: Ist {a_n| n ∈ ℕ} eine beliebige Folge reeller Zahlen mit lim a_n = a (Grenzwert), so gilt lim f (a_n) = f (a). Eine Funktion, die an allen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig ist, heißt (global, schlechthin) stetig. Eine wichtige Satzgruppe der Analysis behandelt die Eigenschaften stetiger Funktionen. Zu ihr gehören der Zwischenwertsatz und der Satz über die Maximumannahme.

 

Die allgemeinsten Räume, zwischen denen stetige Abbildungen definiert werden können, sind die topologischen Räume. Sind (X, σ ) und (Y, τ ) topologische Räume, so heißt eine Abbildung f:X → Y (global) stetig, wenn für alle offenen Mengen O ∈ τ das Urbild f^-1 (O ) auch wieder offen ist, d. h., wenn f^-1 (O) ∈ σ gilt. Eine Charakterisierung der punktweisen Stetigkeit kann mithilfe von Umgebungen erfolgen: f ist stetig im Punkte a ∈ X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f (a) eine Umgebung von a ist. Ist f in diesem Sinne stetig für alle a aus X, so ist f global stetig im obigen Sinn. Zur gleichgradigen Stetigkeit. Funktionenfolge.

 

Literatur:

 

W. Walter: Analysis, 2 Bde. (⁴1995-97);

 F. Hirzebruch u. W. Scharlau: Einf. in die Funktionsanalysis (Neuausg. 1996).