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Matrix

 

[lat. »öffentliches Verzeichnis«, Plural Matrizen], Mathematik: eine zweidimensionale Anordnung von Elementen (meist Zahlen) aus n Zeilen und m Spalten. In einer Matrix sind dann n · m Elemente enthalten, man spricht von einer n × m-Matrix. Jedes einzelne der Elemente a_ij ist durch einen Zeilenindex i und einen Spaltenindex j genau gekennzeichnet; beispielsweise ist a₂₅ das Element in der zweiten Zeile und der fünften Spalte. Ist die Zahl der Spalten oder der Zeilen gleich 1, so spricht man von einer eindimensionalen Matrix; Matrizen werden zur Darstellung von Vektoren verwendet. Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen und Spalten (n = m). Es gibt auch Matrizen mit mehr als zwei Dimensionen. Alle Matrizen lassen sich nach bestimmten Regeln addieren, subtrahieren und multiplizieren.

 

Die Matrizenrechnung dient zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, zur Manipulation von Vektoren (z. B. Verschieben, Drehen, Strecken, Kombinationen dieser Operationen) und zur vereinfachten Behandlung komplexer Probleme in unterschiedlichen Bereichen von Naturwissenschaft, Ökonomie und Technik. Im Computer werden Matrizen als Arrays implementiert.

Matrix,

 Anzeigegeräte: Muster aus Punkten, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind (Punktmatrix). Dabei kann jeder einzelne dieser Bildpunkte direkt angesprochen werden. Auf diese Weise lassen sich beliebige Bilder darstellen. Die Zahl der Bildpunkte pro Flächeneinheit ist die Auflösung der Matrix. Diese Art der Bilderzeugung mit einer Matrix wird z. B. von Bildschirmen und praktisch allen heute gebräuchlichen Druckern verwendet.

Matrix

 

[lateinisch »öffentliches Verzeichnis«, »Stammrolle«, eigentlich »Gebärmutter«] die, -/...'trizes und ...'trizen,  

 1) Genetik: Proteingerüst des Zellkerns mit Funktionen bei der Organisation des Chromatins.

 

 2) Histologie: 1) amorphe Zwischenzellschicht, z. B. des Bindegewebes; 2) Mutterschicht, Keimschicht, aus der etwas besteht, z. B. die Matrix des Fingernagels.

 

 3) Mathematik: ein System von n · m Zahlen a_ij (i ∈ {1,. .., n}, j ∈ {1,. .., m}), die in einem Schema aus n Zeilen und m Spalten folgendermaßen angeordnet sind:

 

 

Abkürzend schreibt man für die Matrix A auch (a_ij). Die Zahlen a_ij heißen Elemente oder Komponenten der Matrix. Die Anzahl n der Zeilen und die Anzahl m der Spalten definiert den Typ einer Matrix; man sagt, sie ist von der Ordnung n × m (gesprochen: n-Kreuz-m) oder eine (n × m)-Matrix oder eine (n, m)-Matrix. Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, nennt man quadratisch. Die Elemente a₁₁, a₂₂,. .., a_nn bilden die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix; deren Summe a₁₁ + a₂₂ +. .. + a_nn bezeichnet man als Spur der Matrix. Sind alle Elemente unterhalb (oberhalb) der Hauptdiagonalen nur Nullen, so spricht man von einer oberen (unteren) Dreiecksmatrix. Bei der Diagonalmatrix sind alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null; sind außerdem sämtliche Hauptdiagonalelemente eins, so liegt eine Einheitsmatrix vor. Die Nullmatrix ist diejenige Matrix, bei der alle Elemente null sind. Eine quadratische Matrix heißt symmetrische Matrix, falls a_ij = a_ji für alle i, j gilt, und schiefsymmetrische Matrix, wenn a_ij = —a_ji für alle i, j ist. Schreibt man die Zeilen von A als Spalten, d. h., wird jedes Element a_ij zu a_ji, so erhält man die zu A transponierte Matrix A^T. Bei einer symmetrischen Matrix gilt somit A = A^T, bei einer schiefsymmetrischen A = —A^T. Ein Sonderfall bei komplexen Zahlen als Komponenten ist die hermitesche Matrix. Jeder quadratischen Matrix (a_ij) kann man ihre Determinante det (a_ij) zuordnen. Ist det (a_ij) ≠ 0, so heißt die Matrix reguläre Matrix, bei det (a_ij) = 0 singuläre Matrix. Als Rang einer Matrix bezeichnet man die Reihenanzahl der größten Unterdeterminante, die nicht null wird. Jedes (kleinere) Teilschema der Ordnung k × l einer (m × n)-Matrix A mit k m und/oder l n nennt man eine Untermatrix von A; insbesondere heißt die Untermatrix (a_il,. .., a_im) der i-te Zeilenvektor und

 

 

der k-te Spaltenvektor von A. Eine Matrix, die aus einer einzigen Zeile beziehungsweise Spalte besteht, wird Zeilenmatrix beziehungsweise Spaltenmatrix genannt; derartige Matrizes werden zur Darstellung von Vektoren verwendet. Der bereits erwähnte Rang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren. Für das Rechnen mit Matrizes gelten folgende Regeln:

 

1. Sind A = (a_ij) und B = (b_ij) Matrizes der gleichen Ordnung, so ist die Summe C = (c_ij) = A + B »elementweise« definiert durch c_ij : a_ij + b_ij; z. B.

 

 

Die so definierte Matrixaddition ist kommutativ und assoziativ. Das neutrale Element bezüglich der Addition ist die Nullmatrix. Insgesamt bilden alle (n, m)-Matrizes bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe.

 

2. Die Skalarmultiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl k ist so definiert, dass jedes Element der Matrix mit k zu multiplizieren ist; z. B.

 

 

Die (n, m)-Matrizes bilden bezüglich Addition und Skalarmultiplikation einen n · m-dimensionalen Vektorraum.

 

3. Das Produkt C = A · B ist für alle Matrizes A = (a_ij) und B = (b_ij) genau dann definiert, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Die Elemente c_ij berechnet man gemäß der Vorschrift: z. B.

 

 

d. h. c_ij ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem j-ten Spaltenvektor von B. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, jedoch assoziativ. Außerdem ist sie distributiv bezüglich der Addition von Matrizes, sodass alle (n, m)-Matrizes einen Ring bilden.

 

In der Menge der quadrat Matrizes ist die Einheitsmatrix E das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Zu der Matrix A existiert nur dann ein inverses Element A^-1, die inverse Matrix zu A mit der Eigenschaft A · A^-1 = A^-1 · A = E, wenn A regulär ist. Insgesamt bildet somit die Menge aller regulären Matrizes eine Gruppe. Ist A^-1 = A^T, so heißen die Matrizes orthogonale Matrizes. Sie bilden bezüglich der Multiplikation die orthogonale Gruppe. Ein Sonderfall bei komplexen Zahlen als Komponenten ist die unitäre Matrix.

 

Die große Bedeutung der Matrixrechnungen liegt in ihrer Anwendbarkeit sowohl zur Beschreibung von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen als auch bei der Lösung linearer Gleichungs- und Differenzialgleichungssysteme, aus der sich ihre Eignung zur vereinfachten Behandlung der unterschiedlichsten Probleme in den Naturwissenschaften, in der Ökonomie und in der Technik ergibt.

 

Literatur:

 

C. C. MacDuffee: The theory of matrices (Berlin 1933, Nachdr. New York 1965);

 J. Tropfke: Gesch. der Elementarmathematik, Bd. 1 (⁴1980);

 P. Lancaster u. M. Tismenetsky: The theory of matrices (Neudr. San Diego, Calif., 1995).

 

 4) Petrologie: die Grundmasse in magmatischen Gesteinen und das Bindemittel in Sedimentgesteinen.

 

 5) Sprachwissenschaft: die schematische Darstellung von sprachlichen Einheiten nach phonetischen, phonologischen, morphologischen, semantischen u. a. Merkmalen. Der folgende Ausschnitt aus dem Wortfeld »Hund« zeigt z. B. die Verteilung der semantischen Merkmale der jeweiligen Lexeme nach den Kriterien positiv (+), negativ (—) und unspezifiziert (±):