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Zahlentheorie,

 

Teilgebiet der Mathematik, das sich v. a. mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen befasst.

 

Das Hauptanliegen der elementaren Zahlentheorie ist die Untersuchung der Teilbarkeit ganzer Zahlen mit den Methoden der Arithmetik. Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie sagt aus, dass für jede natürliche Zahl größer als eins eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung existiert. Der größte gemeinsame Teiler, g. g. T. (a, b ) zweier ganzer Zahlen a und b kann mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt werden, der auch eine Darstellung g. g. T. (a, b ) = xa + yb mit ganzen Zahlen x und y liefert. Für teilerfremde a, b ergibt sich 1 = xa + yb; folglich ist die lineare diophantische Gleichung c = xa + yb mit den Unbestimmten x und y für jede ganze Zahl c im Ring der ganzen Zahlen lösbar. Zwischen dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen k. g. V. (a, b ) von a und b und dem g. g. T. (a, b ) besteht die Beziehung

 

Eine besondere Rolle spielen die vollkommenen Zahlen sowie unter den Primzahlen die Mersenne-Zahlen und die fermatschen Zahlen. In der elementaren Zahlentheorie werden auch Kongruenzen untersucht. Ist 1 m ∈ ℕ, so heißen zwei ganze Zahlen a und b kongruent modulo m (modulo), falls a — b durch m teilbar ist. Die Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation und definiert die Restklassen modulo m. Mit der Addition und Multiplikation, die repräsentantenweise definiert sind und in die Restklasse des Ergebnisses führen, bilden die Restklassen einen Ring. Die Gleichung ax ≡ b mod m ist genau dann lösbar, wenn g. g. T. (a, m) ein Teiler von b ist. Es existieren genau g. g. T. (a, m) inkongruente Lösungen, im Fall g. g. T. (a, m) = 1 heißt die Restklasse von a relativ prim (teilerfremd). Die Menge aller relativ primen Restklassen modulo m bildet eine multiplikative Gruppe, deren Mächtigkeit durch die eulersche Funktion ϕ beschrieben wird. Mit der Möbius-Funktion μ, einer ebenso wichtigen zahlentheoretischen Funktion, ist die eulersche Funktion darstellbar als

 

In der algebraischen Zahlentheorie werden die zur elementaren Zahlentheorie analogen Fragen im Integritätsbereich aller ganzalgebraischen Zahlen (algebraische Zahl) und in Unterräumen algebraischer Zahlkörper untersucht. Analog zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen ist im Ring der ganzalgebraischen Zahlen jedes Hauptideal als ein Produkt von Primidealen darstellbar. Von grundlegender Bedeutung für die algebraische Zahlentheorie sind weite Teile der Algebra, wie die algebraische und diophantische Geometrie; zur analytischen Zahlentheorie, in der u. a. die Bewertungstheorie (Bewertung) und die Theorie der automorphen Funktionen eine wichtige Rolle spielen, bestehen tief liegende Beziehungen. Ein diophantisches Problem, das die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie besonders beeinflusst hat, ist die fermatsche Vermutung. Mit diophantischen Approximationen werden irrationale Zahlen durch rationale Zahlen approximiert und Transzendenzuntersuchungen durchgeführt.

 

Die analytische Zahlentheorie benutzt Methoden der Analysis, um Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zu gewinnen. Mit analytischen Eigenschaften der riemannschen Zetafunktion gelang J. S. Hadamard und Vallée-Poussin der Beweis des Primzahlsatzes. Heute sind genauere Abschätzungen bekannt, die bei Richtigkeit der riemannschen Vermutung noch verschärft werden könnten.

 

Die additive Zahlentheorie beschäftigt sich mit der Darstellung natürlicher Zahlen durch Summen bestimmter natürlicher Zahlen. Dabei werden erfolgreich analytische Methoden angewendet, weshalb die additive Zahlentheorie oft auch der analytischen Zahlentheorie zugeordnet wird. Eine bisher unbewiesene Aussage der additiven Zahlentheorie ist die goldbachsche Vermutung. I. M. Winogradow hat 1937 zu diesem Problem gezeigt, dass jede ungerade natürliche Zahl n > Summe von drei Primzahlen ist.

 

Geschichte:

 

Zahlentheoretische Probleme formulierten schon die Pythagoreer, eine Darstellung damals bekannter Ergebnisse gab Euklid in seinen »Elementen«. Im 3. Jahrhundert n. Chr. behandelte Diophantos in seiner »Arithmetika« Gleichungen mit rationalen und ganzzahligen Lösungen. Ähnliche, oft als Unterhaltungsaufgaben formulierte Probleme wurden in der chinesischen, indischen und arabischen Mathematik und um 1200 in Europa von L. Fibonacci untersucht. Als Begründer der modernen Zahlentheorie gilt P. de Fermat. L. Euler und J. L. de Lagrange leisteten im 18. Jahrhundert bedeutende Beiträge, A.-M. Legendre gab 1798 mit seinem »Essai sur la théorie des nombres« eine systematische Darstellung. Entscheidend fortentwickelt wurde die Zahlentheorie in den »Disquisitiones arithmeticae« (1801) von C. F. Gauss, in denen er u. a. eine Theorie der Kongruenzen aufstellte und das quadratische Reziprozitätsgesetz bewies. Die Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung führte zur Entwicklung der Idealtheorie durch E. E. Kummer und J. W. R. Dedekind; L. Kronecker studierte in diesem Zusammenhang algebraische Zahlen. Eine Darstellung der algebraischen Zahlentheorie gab D. Hilbert in seinem Werk »Die Theorie der algebraischen Zahlkörper« (1896).