Akademik

un|endlich,

 

1) Mathematik: transfinit, Zeichen ∞, bezieht sich auf Objekte, für die hervorgehoben werden soll, dass zugrunde liegende Mengen nicht endlich sind. Insbesondere heißt eine Menge unendlich, falls sie gleichmächtig ist zu einer ihrer echten Teilmengen (Mächtigkeit). Beispielsweise ist die Menge ℕ der natürlichen Zahlen unendlich, da die Menge G der geraden natürlichen Zahlen zu ihr gleichmächtig ist, d. h. die Abbildung ℕ → G, n → 2n bijektiv ist; eine Folge (a_n) _n∈I (mit I ℕ) reeller Zahlen heißt unendlich, falls die Bildmenge der zugehörigen Abbildung I → ℝ, n → a_n unendlich ist. - In der Analysis verwendet man das Symbol ∞ (als unendlich groß, auch +∞ oder als unendlich klein, auch —∞), v. a. bei der Bildung von Grenzwerten.

 

In der Mathematik des 19. Jahrhunderts wurden nichtendliche Mengen im Allgemeinen als potenziell unendlich, d. h. als nicht schrittweise konstruierbar beschrieben. Aktual unendliche Mengen, transfinite Zahlen und Aussagen zur Mächtigkeit von Mengen wurden erst ab 1875 von G. Cantor systematisch begründet.

 

 2) Philosophie: bezeichnet das, was ohne Grenze ist, daher nicht bestimmt werden kann, das unvorstellbar Große, Göttliche. Als Apeiron bestimmte das Unendliche in der griechischen Naturphilosophie Spekulationen über Entstehung und Aufbau der Welt. In der Antike galt das Unbegrenzte, Unendliche als unvollkommen, auch Angst erzeugend. Sinn und Ziel der Entwicklung alles Wirklichen wurde in Wohlbestimmtheit (z. B. in rationalen Zahlenverhältnissen wie bei den Pythagoreern) und Wohlgeformtheit und damit in der Begrenzung gesehen, deren Vorbild der wohl geordnete Kosmos war. Philon von Alexandria identifizierte dagegen das Unendliche mit dem göttlichen »Einen«. Die christliche Theologie und Philosophie des Mittelalters knüpfte daran an: Die Welt, der Kosmos galten als endlich, Unendlichkeit wurde allein dem Göttlichen zugesprochen, in Bezug auf die grenzenlose Fülle göttlichen Seins und seine durch keine endliche Kategorie erfassbare Vollkommenheit, die damit über allen Seinsstufen des geschaffenen Seins steht. Alles Endliche weist aufgrund seiner Unvollkommenheit auf das Unendliche hin und hat dieses zur Voraussetzung. Nikolaus von Kues unterschied das (positive) aktual Unendliche als wesentliches Merkmal Gottes von dem, was endlich, wenngleich seiner Potenz nach unendlich ist; für ihn kommt der Welt potenzielle Unendlichkeit des Raumes und der Zeit im Sinne der unendlichen Teil- und Vermehrbarkeit zu (Coincidentia oppositorum). Dieser Gedanke kehrte bei G. Bruno wieder. G. W. F. Hegel hingegen unterschied später die »schlechte« Unendlichkeit von der wahrhaften, der alles umgreifenden »eigentliche Qualität des Geistes«, d. h. der Unendlichkeit des absoluten Geistes. (Endlichkeit)

 

Literatur:

 

J. Cohn: Gesch. des Unendlichkeitsproblems im abendländ. Denken bis Kant (1896, Nachdr. 1960);

 G. Bruno: Zwiegespräche vom unendl. All u. den Welten (a. d. Ital., ²1904, Nachdr. 1993);

 A. Dempf: Das Unendliche in der mittelalterl. Metaphysik u. in der kant. Dialektik (1926);

 J. Thomson: Infinity in mathematics and logic, in: The encyclopedia of philosophy, hg. v. P. Edwards, Bd. 4 (New York 1967, Nachdr. ebd. 1972);