Akademik

Axiom

 

[griechisch, eigentlich »was für wichtig erachtet wird«] das, -s/-e, in der griechischen Philosophie (Aristoteles) und Mathematik (Euklid) ein unmittelbar einleuchtender Grundsatz, der seinerseits nicht weiter zu begründen war. In diesem Sinn galt allgemein als Axiom ein Satz, der weder beweisbar ist noch eines Beweises bedarf. - In der Logik und Mathematik des 20. Jahrhunderts ein Grundsatz, der nicht aus anderen Sätzen abgeleitet, sondern zum Beweis anderer Sätze herangezogen wird. Nach den Grundvorstellungen der axiomatischen Methode übernehmen beim Aufbau einer Theorie, z. B. als ein Gebäude von Aussagen, die durch rein logische Schlüsse aufeinander aufbauen, einige Aussagen gemeinsam die Rolle des Fundaments; sie heißen die Axiome dieser Theorie (bei diesem Aufbau) und bilden zusammen deren Axiomensystem. Die Lehre vom axiomatischen Aufbau einer Theorie im Sinne der axiomatischen Methode heißt die Axiomatik dieser Theorie. Das Vordringen bis zur Axiomatik bedeutet ein wichtiges Stadium bei der Vollendung einer Theorie. Für die Geometrie z. B. wurde die Axiomatik von Euklid bereits um 300 v. Chr. ins Auge gefasst; ihre Vollendung gelang erst D. Hilbert 1899; hierbei spielte das Parallelenaxiom eine besondere Rolle.

 

Die axiomatische Methode ermöglicht eine Loslösung der Begriffe der Theorie von ihrer historisch gewachsenen Interpretation in einem bestimmten Erfahrungsbereich, da es nicht auf die Interpretation, sondern nur auf die logischen Beziehungen der Begriffe innerhalb der Axiome ankommt. Treffen die Axiome einer Theorie bei ausgewechselter Interpretation auf einen neuen Erfahrungsbereich zu, so werden auch alle Sätze der Theorie auf rein logische Wege für diesen Erfahrungsbereich verfügbar. Diese Auswechselbarkeit der Interpretation von Axiomensystemen hat die mathematische Forschung im 20. Jahrhundert wesentlich vorangebracht. Dem Programm Hilberts, die gesamte Mathematik axiomatisch zu durchdringen, hat sich besonders die französische Mathematikergruppe Bourbaki verschrieben. Dieses Programm stößt an eine bereits im Jahre 1900 von Hilbert erkannte Grenze: Theorien sind nur sinnvoll, wenn sie widerspruchsfrei sind, d. h., wenn man in ihnen nicht gleichzeitig eine Aussage A und ihre Negation ¬A (»nicht-A«) herleiten kann; man kann die Widerspruchsfreiheit einer Theorie T₂ auf die Widerspruchsfreiheit einer Theorie T₁ zurückführen, wenn es gelingt, T₂ im Rahmen von T₁ zu interpretieren; in diesem Sinne ist die Widerspruchsfreiheit der Mathematik auf die Widerspruchsfreiheit der elementaren Arithmetik, d. h. der Lehre von den Zahlen 1, 2, 3,. .. zurückführbar, deren Axiomatik G. Peano 1889 vorgelegt hat. Die Widerspruchsfreiheit des peanoschen Axiomensystems lässt sich nach K. Gödel nicht innerhalb dieses Systems selbst beweisen; ein Widerspruchsfreiheitsbeweis in einem abgeschwächten Sinne gelang G. Gentzen.

 

Auch andere Wissenschaften (z. B. Physik, Ökonomie) haben sich um einen axiomatischen Aufbau gewisser Theorien ihres Bereichs (z. B. der Quantentheorie in der Physik) bemüht.

 

Literatur:

 

H. Weyl: Philosophie der Mathematik u. Naturwiss. (a. d. Amerikan., ⁵1982).