Akademik

        область логики, посвящённая изучению модальностей и построению и сравнит. исследованию различных логич. исчислений (формальных систем), в которых модальности, наряду с логическими операциями, применяются к высказываниям и предикатам. Глубокая связь между понятием логического закона и модальным оператором (а также между различными реализациями важнейшего научно-познават. понятия осуществимости) необходимо обусловливает актуальность проблематики М. л.

        В классич. системах М. л., для которых справедливы исключённого третьего принцип и закон снятия двойного отрицания А А, для операторов возможности необходимости ? справедливы соотношения двойственности:

        ?А А и А ? А

        , вполне аналогичные законам де Моргана алгебры логики: (А В) (А В) и (А&В) (А В)

        (и соответствующим соотношениям логики предикатов для кванторов). Поэтому в аксиоматич. системах М. л. (см. Аксиоматический метод) в качестве исходной достаточно ввести любую из этих модальных операций, определяя через неё другую посредством этих соотношений. Напротив, в интуиционистских и конструктивистских системах М. л. (см. Интуиционизм, Конструктивное направление) приходится вводить обе, не выражающиеся друг через друга, модальные операции. В многочисл. исчислениях М. л. (начиная с работ амер. логика К. И. Льюиса) выявлена тесная связь проблематики М. л. и логич. семантики, позволяющая, в частности, ввести различные виды операций «строгой импликации» (см. Импликация), в некоторых отношениях более адекватно уточняющих интуитивные представления о логическом следовании, нежели обычная для алгебры логики операция «материальной» импликации , обладающая такими противоречащими в известном смысле содержат. логич. интуиции свойствами, как А И («истина следует из любого высказывания») и А («из лжи следует всё что угодно»). М. л. может быть интерпретирована в терминах многозначной логики, напр. в терминах трёхзначной системы с истинностными значениями «истинно», «ложно» и «возможно». Большинство систем М. л. оказывается бесконечнозна-чными, что, наряду с возможностью построения теории «правдоподобных выводов» с помощью средств М. л., указывает на родство М. л. и вероятностной логики. Понятия всякого рода относит. модальностей (типа «А возможно, если В») удаётся легко формализовать, дополняя аппарат М. л. аппаратом логики предикатов.

        Фейс Р., М. л., пер. [с англ.], М., 1974; Семантика модальных и интенсиональных логик, пер. с англ., М., 1981.

область логики, в к-рой изучаются логич. операции, называемые модальностями (и выражаемые словами "возможно", "невозможно", "необходимо" и т.п.), разрабатываются исчисления, формализующие модальности, а также исследуются свойства этих исчислений.

В обычной речи слова "возможно", "невозможно", "необходимо" и т.п. употребляются в различных значениях: 1) В предложениях типа (а)´: "Львы, возможно, живут на Аляске" [или в др. форме (а): "Возможно, что львы живут на Аляске" ] или (б): "Этот камень необходимо черный или не черный" [(б´): "Необходимо, что этот камень черный или не черный" ] модальности понимаются в смысле т.н. логической возможности, необходимости и т.п. Логич. возможность при этом означает отсутствие логич. противоречия (примером логически противоречивого высказывания будет, напр., высказывание "Возможно, что этот стол белый и не белый"), а логич. необходимость служит для выражения законов логики [в примере (б) необходимость вытекает из закона исключенного третьего ]. 2) В предложениях вида (в): "На Марсе возможна жизнь" [(в´): "Возможно, что на Марсе есть жизнь" ] или (г): "При температуре 0°С лед необходимо плавится" [(г´): "Необходимо, что при температуре 0°С лед плавится" ] модальности понимаются как каузальные возможность, необходимость и т.д. Предложения с каузальными модальностями выражают внелогич. законы - основанные на причинных отношениях действительности законы природы, общества и т.д. В логике обычно предполагают, что всякое высказывание, содержащее каузальную возможность, также и логически возможно, а всякое высказывание, содержащее логич. необходимость, также и каузально необходимо, но не наоборот. Так, высказывание (а) истинно, если возможность рассматривать как логическую, и ложно, если ее рассматривать как каузальную. Высказывание (г) истинно, если необходимость рассматривать как каузальную, и ложно, если ее считать логической. 3) В предложениях вида "Возможно, что завтра пойдет дождь" или "Он обязательно придет сегодня вечером" модальности выражают сомнение или уверенность в наступлении события. 4) В высказываниях "Осужденный может подать кассационную жалобу" или "На суде свидетель должен говорить только правду" модальности понимаются как возможность или необходимость к.-л. действий или поступков людей, диктуемые (юридич.) законами, нормами морали, правилами игры или др. обстоятельствами.

Приведенные выше предложения были примерами предложений с т.н. абсолютными модальностями. Кроме них, в обычной речи употребляются предложения вида "Прямоугольник необходимо является квадратом, если все его стороны равны". Модальности, употребляемые в такого рода предложениях, наз. о т н о с и т е л ь н ы м и. Мн. модальности, рассматриваемые обычно как абсолютные, при более тщательном анализе оказываются относительными, ибо в высказываниях с такими модальностями неявно подразумеваются нек-рые необходимые условия. Так, в высказывании "Вода необходимо кипит при 100°С" подразумевается в качестве необходимого условия то, что атмосферное давление равно 760 мм ртутного столба.

При изучении в логике модальных высказываний модальности (иначе называемые модальными выражениями, модальными операторами: "возможно", "невозможно", "необходимо" и др.) рассматривают обычно относящимися: (I) либо к высказываниям в целом, (II) либо к свойствам (вообще, к предикатам), (III) либо к словам, выражающим действия и поступки людей. В случае (I) исследуются высказывания вида: "(Высказывание) Ρ необходимо", "(Высказывание) Q возможно" и т.п. [см. примеры(а´), (б´), (в´), (г´) ], в случае (II) - высказывания вида "А необходимо есть В", "А возможно больше С" и т.п. [см. примеры(а), (б), (в), (г) ], в случае (III) - высказывания вида "Действие M необходимо" и т.п. Модальности вида (I) - (II) наз. алетическими, а вида (III) - деонтическими. Важной особенностью модальностей вида (I) является то, что к высказываниям, содержащим к.-л. из модальностей этого вида, можно применить эту же или др. модальность того же вида. Так, из высказывания "Р возможно" можно образовать высказывания "Необходимо, что Ρвозможно", "Необходимо, что необходимо, что Ρ возможно" и т.д. К модальным высказываниям вида (II) второй модальный оператор того же вида не применим. Это же касается и высказываний с деонтич. модальностями: к высказыванию "Поступок M возможен" второй деонтич. модальный оператор применять не имеет смысла. Однако к модальным высказываниям вида (II) и (III) можно применять модальный оператор вида (I).

Кроме выражений "возможно", "невозможно", "необходимо", к модальностям иногда относят выражения "истинно" и "ложно", а также "доказуемо", "недоказуемо", "опровержимо" и т.п. Модальности вида "доказуемо", "опровержимо" и т.п. наз. э п и с т е м о л о г и ч е с к и м и; по своим свойствам они близки к алетич. модальностям, причем "доказуемо" соответствует оператору "необходимо"; "опровержимо" – оператору "невозможно".

Изучение модальностей имеет большое значение в связи с тем, что с одной стороны при формулировке законов (будь то логич. законы или законы природы, общества и т.д.) используется модальность "необходимо", а с другой – в связи с тем, что всякое высказывание о возможности построения нек-рой конструкции (в частности, технической), а также всякое истолкование абстракций в той или иной степени связано с модальностью "возможно". В юриспруденции важную роль играют деонтич. модальности; изучению последних в наст. время начинают уделять все больше внимания (см. Нормативная логика).

Первые исследования в области М. л. принадлежат Аристотелю, к-рый наряду с ассерторич. силлогизмами рассматривал также модальные силлогизмы, т.е. силлогизмы, в к-рых хотя бы одна из посылок является модальным высказыванием. Модальные высказывания у Аристотеля имеют вид: "А возможно принадлежит В", "Αнеобходимо принадлежит В" и т.д. Модальная силлогистика Аристотеля имеет две след. отличит. черты. Во-первых, в ней модальный оператор относится к свойству (модальность вида II), во-вторых, истинность высказывания "А возможно принадлежит В" предполагает ложность высказывания "А необходимо принадлежит В". Такая возможность, противостоящая как невозможности, так и необходимости, в истории философии и логики получила название "двусторонней" возможности. Модальная силлогистика Аристотеля является крайне сложной логической системой как по своему содержанию, так и по числу различных модусов (их, по меньшей мере, 137). Идеи модальной силлогистики Аристотеля не получили дальнейшего развития в древнегреческой логике.

Ученик Аристотеля Теофраст изучал модальные высказывания вида "Возможно, что А принадлежит В", "Необходимо, что А принадлежит В" и т.п., в к-рых модальный оператор относится ко всему высказыванию [модальность вида (I) ], а не к свойству (как у Аристотеля). В отличие от Аристотеля, Теофраст считал, что из высказывания "Необходимо, что А принадлежит В" следует высказывание "Возможно, что А принадлежит В". Такая возможность, к-рая включает в себя необходимость как частный случай, наз. "односторонней".

Своеобразный подход к модальностям развил Диодор Крон. Он ставил задачей свести модальные высказывания к высказываниям с квантором по времени. Так, "Р возможно" означает, с его т.зр., "Р истинно сейчас или Ρ будет истинно в нек-рый будущий момент времени"; "Р необходимо" означает: "Р истинно сейчас и будет истинно в любой момент в будущем" и т.д. Возможность у Диодора оказывалась односторонней.

В ср. века вопросы М. л. разрабатывались схоластами, к-рые развили дальше др.-греч. модальную силлогистику. Именно они разделили модальности на модальности de dicto ("о речи"), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re ("о вещи"), относящиеся к свойству. Оккам рассматривал, кроме силлогизмов, у к-рых обе посылки содержат модальности de dicto (как у Теофраста) или модальности de rе (как у Аристотеля), также силлогизмы, в к-рых одна посылка содержит модальность de dicto, а другая – модальность de re. Возможность трактовалась схоластами преим. как "односторонняя"; "двустороннюю" возможность они называли "случайностью". Иоанн из Корнубии (14 в.) считал модальными такие высказывания, как "Истинно, что Р", "Известно, что Р" и т.д.

Совр. исследования в области М. л. отличаются прежде всего стремлением представить М. л. как аксиоматич. систему и дать определения модальностей, не зависящие от к.-л. нелогич. факторов. Основополагающими в этой области были работы К. И. Льюиса, а также Лукасевича и Тарского. Был предложен ряд определений модальностей и построено неск. аксиоматич. систем М. л., к-рые по своим свойствам оказались близкими друг другу. Системы М. л. рассматриваются обычно как расширения формальнологич. систем математич. логики – таких, как исчисления высказываний и предикатов; при этом в большинстве работ в основу М. л. кладутся классически е (в смысле: отличные от конструктивных и интуиционистских, см. Конструктивная логика) системы логики. В совр. системах М. л. модальные операторы применяются обычно в смысле de dicto, т.к. это дает возможность повторно применять модальный оператор к выражению, содержащему модальность. Льюис построил шесть систем М. л. (названных им S1, S2, S3, S4, S5 и S6). По Льюису, высказывание "Р возможно" будет истинно (в к.-л. из систем S1–S6), если допущение Ρне приводит к появлению противоречия в этой системе. Карнап определял модальности через понятие описания состояния (о понятии "описание состояния" см. Логическая истинность); по Карнапу высказывание "Р возможно" истинно, если Ρвыполняется хотя бы в одном описании состояния; высказывание "Р необходимо" истинно, если Ρ выполняется во всех описаниях состояния ("во всех возможных мирах" по Лейбницу); высказывание "Р невозможно" истинно, если Ρ не выполняется ни в одном описании состояния. Кёрри рассматривает неск. (в простейшем случае – две) формальных систем, в какой-то мере близких друг другу; по Кёрри высказывания "Р необходимо", "Р возможно" и "Р невозможно", соответственно, истинны, если Ρ доказуемо во всех или в нек-рых или не доказуемо ни в одной из этих формальных систем. Здесь различные формальные системы соответствуют различным описаниям состояния у Карнапа. Согласно Дж. Мак-Кинси, высказывание "Р возможно" истинно, если Ρполучается из истинного высказывания Q заменой в нем. к.-л. нелогич. постоянной на др. нелогич. постоянную. Так, высказывание "Возможно, что львы живут на Аляске" истинно, ибо высказывание "Львы живут на Аляске" получается из истинного высказывания "Львы живут в Африке" заменой нелогич. постоянной "Африка" на нелогич. постоянную "Аляска". Хотя Мак-Кинси считает это определение чисто синтаксическим, в нем используются понятия логич. и нелогич. постоянной (см. Константа), относящиеся к области семантики.

Если к высказыванию (напр., Р) применить к.-л. оператор модальности (напр., возможность, обозначаемую обычно через ), то к полученному высказыванию (напр., Р) можно применить все операции логики высказываний, а также модальные операторы; так получаются высказывания: Ρ, Р, Ρ, (P/Q) и т.д. (здесь – знак оператора "необходимо"). Нек-рые из этих высказываний будут эквивалентны друг другу; напр., в большинстве систем М. л. высказывания Р и Ρ эквивалентны. Число неэквивалентных модальностей различно в различных системах М. л.: в системе S2 Льюиса оно бесконечно, а в системе S5 Льюиса – конечно.

Обычно в аксиоматич. системах М. л. нек-рая модальность рассматривается в качестве первоначальной, не выражающейся через др. операции системы; чаще всего для этого используется возможность, реже необходимость; др. модальности выражаются через первонач. модальность. Если в качестве таковой взять возможность, то "Р невозможно" выразится как Р. "Р необходимо" – как Р (т. е. "Невозможно отрицание высказывания Р") и т.д. Если же в качестве первоначальной модальности взять необходимость, то "Р невозможно" выразится как Р, "Ρвозможно" – как Р (т. е. "Отрицание Ρне необходимо") и т.д.

В качестве примера системы М. л. приведем систему Льюиса S3. Знаками системы являются пропозициональные переменные р, q, r,... и знаки логич. операций: &(конъюнкция), (отрицание), (возможность). С помощью этих операций определяются операции (строгая импликация) и / (дизъюнкция) следующим образом: p/q ≡ (&q);pq ≡ (p&q) ["≡" есть знак эквивалентности ]. Аксиомы системы:

ЛОГИКА">

Правила вывода: I. Из формул p и pq выводится формула q (правило modus ponens для строгой импликации Льюиса). II. На место всех вхождений пропозициональной переменной в нек-рую формулу можно подставить одну и ту же формулу (правило подстановки). III. Пусть формула Q есть часть формулы Р; формула Р´, полученная из формулы Ρзаменой формулы Q в нек-ром ее вхождении в формулу Ρна нек-рую др. формулу Q´, такую, что Q ≡ Q´, будет эквивалентна формуле Ρ(правило замены эквивалентным).

В отношении формальнологич. свойств существует (правда, не совсем полная) аналогия между возможностью и квантором существования, а также между необходимостью и квантором общности. В связи с этим многим истинным формулам М. л. можно поставить в соответствие определенные истинные формулы исчисления предикатов. Есть, однако, нек-рые формулы М. л., аналоги к-рых в исчислении предикатов неверны. Так, формула РР в М. л. истинна, тогда как соответствующая ей формула исчисления предикатов ∀xA(x)⊃∃хА(х) истинна лишь для непустой предметной области. Кроме того, если к модальным высказываниям можно повторно применять модальные операторы, то к формуле с квантором вторично применять квантор по той же переменной не имеет смысла. Вследствие указанной аналогии возникает вопрос о возможности сочетания модальностей с кванторами. Одни логики (Куайн, Г. Г. Райт) считают это сочетание нецелесообразным, тогда как др. логики, напр. Карнап, считают такое сочетание полезным. Амер. логик Баркан построила пример исчисления предикатов первой ступени, основанное на одной из систем Льюиса.

В системе М. л. Льюиса и в ряде др. систем с помощью модальности определяется строгая импликация. С др. стороны, Кёрри предложил рассматривать в качестве осн. операции М. л. именно строгую импликацию, а модальности выражать через нее. Эта идея получила развитие в исчислении строгой импликации Аккермана, где модальности выражаются через строгую импликацию и нек-рое постоянное высказывание (аналог лжи). По Аккерману, "Р возможно" определяется как (Р→^), "Р необходимо" - как ] Р→^ и т.д. (→ – знак строгой импликации Аккермана). Модальности у Аккермана по своим свойствам значительно отличаются от модальностей у Льюиса. В то время как у Льюиса из невозможного высказывания следует любое высказывание и необходимое высказывание следует из любого высказывания, в исчислении Аккермана это не имеет места.

М. л. тесно связана с многозначной логикой. Простейшей системой М. л. является система трехзначной логики, в к-рой третье значение истинности (кроме значений "истинно" и "ложно") истолковывается как "возможно". Однако большинство систем М. л., в т.ч. все системы Льюиса, являются счетно-бесконечнозначными. Это обстоятельство сближает многие системы М. л. с вероятностной логикой. Эта близость подтверждается и тем, что М. л. можно использовать для построения теории правдоподобных выводов в духе Пойа (см. Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения, 1957).

По отношению к системам М. л. возникают обычные металогич. проблемы: разрешения проблема, проблема полноты и др. Для конечнозначных систем М. л. проблема разрешения решается тривиально; для систем Льюиса эта проблема также решена с помощью алгебраич. методов. Амер. логик Крипке доказал, что в исчислении одноместных предикатов, к к-рому добавлены модальные операторы, проблема разрешения неразрешима. Этот результат очень важен, т. к. он указывает на существ. отличие М. л. от обычных логич. систем. Доказана также семантич. неполнота исчислений Льюиса в том смысле, что в них выводима не всякая истинная формула.

Из др. результатов в области М. л. следует отметить построение исчислений, формализующих относит. модальности, а также попытки формализации каузальных модальностей. Бёркс в исчислении каузальной импликации выразил каузальную возможность, невозможность и необходимость. Однакр каузальные модальности Бёркса не полностью соответствуют каузальным модальностям, употребляемым в обычной речи. Др. подход к изучению каузальных модальностей состоит в рассмотрении номологических высказываний (Рейхенбах) и контрфактических предложений (Гудмен).

Лит.: Карнап Р., Значение и необходимость, пер. [с англ. ], М., 1959; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959, гл. 6–8; Huntington E., The mathematical structure of Lewis' theory of strict implication, "Fundamenta Math.", 1935, v. 25; Mс Кinsey J. С. С., Proof that there are infinitely many modalities in Lewis' system S2, "J. Symbolic Logic", 1940, v. 5, No 3; eго же, On the syntactical construction of system of modal logic, там же, 1945, v. 10, No 2; Сarnap R., Modalities and quantification, там же, 1946, v. 11, No 2; Ваrсan R. С., The deduction theorem in a functional calculus of first order based on a strict implication, там же, 1946, v. 11, No 4; eго жe, Strict implication, deducibility and the deduction theorem, там же, 1953, v. 18, No 3; Hallden S., On the semantic non-completeness of certain Lewis Calculi, там же, 1951, v. 16, No 2; Rasiоwa H., Algebraic treatment of the functional calculi of Heyting and Lewis, "Fundamenta Math.", 1951, v. 38; Wright G. Η. von, An essay in modal logic, Amst., 1951; его же, Deontic logic, "Mind", 1951, v. 60, No 237; его жe, A new system of modal logic, Actes du XI Congrès international de philosophie, v. 5, Logique analise philosophique. Philosophy des mathématiques, Amst., 1953; Davis C., Modal operators, equivalence relations and projective algebras, "Amer. J. Math.", 1954, v. 76, No 4; Goodman N., Fact, fiction and forecast, L., 1954; Воcheńsкi I. M., Formale Logik, Freiburg–Münch., 1956, § 15, 17, 19, 29, 33, 49; Kubinski T., On a method of constructing modal logics, "Studia Logica", 1956, No 4; Ρrior Α. Ν., Modality and quantification in S5, "J. Symbolic Logic", 1956, v. 21, No 1; Anderson A. R., Independent axiom schemata for von Wright's M., там же, 1957, v. 22, No 3; Curry H. B., A theory of formal deducibility, Notre Dame (Ind.), 1957, ch. 5; Kanger S., On the characterization of modalities, "Theoria", 1957, v. 23, No 3; Ρriоr Α. Ν., Diodorus and modal logic, "Philos. Quarterly", 1958, v. 8, No 32; Anderson A. R., The logic of norms, "Logique et Analyse", nouvelle série, 1958, No 2; Кripke S., A completeness theorem in modal logic, "J. Symbolic Logic", 1959, v. 24, No 1; eго же, The undecidability of monadic modal quantification theory, "Z. Math. Logik und Grundlagen Math.", 1962, Bd.,8, H. 2.

См. такжелит. при ст. Импликация.

    МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА — область логики, в которой изучаются логические операторы, называемые модальностями. В качестве стандартных обычно используются (алетические) модальности: “необходимость” и “возможность”.

    Первые исследования в области модальной логики принадлежат Аристотелю, который наряду с ассерторическими силлогизмами ввел в обращение модальные силлогизмы, в которых хотя бы одна из посылок является высказыванием типа “А необходимо принадлежит В”, “А возможно принадлежит В”. При этом необходимое Аристотель не считал возможным. Следующий шаг в развитии модальной логики сделал ученик Аристотеля Теофраст, который стал относить модальность к высказываниям в целом, а не к отдельным понятиям. Кроме того, он принял тезис: все необходимое возможно, чтооткрыло дорогу к определению возможности через необходимость: “возможно А” эквивалентно “не необходимо не-А”. В средние века произошло разделение модальностей на модальности de dicto (о речи), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re (о вещи), относящиеся к свойствам. Современные исследования модальной логики связаны во многом с именем К. Льюиса, построившего исчисления SI — S6. Характерным примером могут служить его исчисления S4 и S5 (в трактовке К. Геделя). Эти исчисления строятся как расширения классической логики высказываний и классической логики предикатов. Язык логики пополняется модальным оператором О (необходимо), действующим на предложения языка. Оператор возможности 0 вводится как сокращение для -i D -ι. Определение формулы пополняется пунктом: если А — формула, то π А — тоже формула.

    Аксиоматику пропозиционального модального исчисления получаем, добавляя к аксиомным схемам и правилам вывода классической логики высказываний модальную схему аксиом D(A э В) => (QA => DB) и правило вывода: “если доказуемо А => В, то доказуемо DA=> DB” (правило С). Это пропозициональное модальное исчисление С2. Заменив правило С более сильным правилом вывода: “доказуемо А —> доказуемо DA” (правило Гёделя) и добавив к С2 одну из аксиомных схем ОАзА, ОАз DDA, -ОАз D—.DA, получаем пропозициональные модальные исчисления Т, S4 и S5 соответственно. С этими исчислениями не возникает никаких принципиальных проблем.

    Совершенно иная ситуация возникает, если эти “модальные приставки” добавлять к классической логике предикатов, поскольку в предикатных модальных контекстах может нарушаться закон подстановочности тождественных VxVy(x = у =) (F(x) => F(y)). К примеру (пример Куайна), утверждение “необходимо, что 9 больше 7” и его экзистенциальное обобщение “Зх такой, что необходимо, что χ больше 7” верно, если χ есть 9 и 9 есть натуральное число, но неверно, если χ есть 9 и 9 есть число планет.

    Согласно Куайну, вхождение переменной χ в открытую формулу “необходимо, что χ больше 7” референциально неясно, поскольку нельзя гарантировать, что, будучи связанной, переменная χ именует в точности один объект. Поэтому модальная логика предикатов требует некоторого изменения принципов, на которых построена немодальная стандартная теория квантификации.

    В частности, экзистенциальное обобщение в модальных контекстах должно основываться на следующем правиле: Э-квантификация открытого предложения справедлива, если, и только если, имеется замкнутый терм, подстановка которого на место переменной квантификации приводит к истинному предложению. Соответственно подстановочность тождествен

    ного имеет место, если, и только если, взаимозаменяемые термины являются синонимами.

    Принятие такого принципа в теории квантификации ведет к т. н. подстановочной интерпретации кванторов, в отличие от стандартной, или объектной, их интерпретации. В стандартной интерпретации значениями связанных переменных являются объекты универсума, в подстановочной — термины языка. Подстановочная теория ничего не говорит о существовании или несуществовании объектов; она исследует лишь определенные отношения между утверждениями языка. Все истины теорий подстановочного типа являются в общем случае лингвистическими, и их использование для описания конкретных ситуаций требует дополнительных допущений о характере универсума (множестве объектов, допустимых в данной ситуации). Еще один способ обоснования квантификации в модальных контекстах основан на допущении, согласно которому значениями связанных переменных в модальных контекстах являются не объекты и не термины, а смыслы, т. е. определенные способы понимания объектов. При этом одному и тому же объекту могут соответствовать различные смыслы (подробнее см.: Именования теория. Экстенсиональность).

    С учетом этих разъяснений становится понятным, что, хотя чисто технически нет никаких препятствий к построению предикатных модальных исчислений С2, Т, S4, S5 посредством указанных выше “модальных приставок”, в этих исчислениях (за исключением S5) нельзя гарантировать безусловного выполнения принципа подстановочности тождественного. Поэтому поступают следующим образом: помимо предикатных исчислений С2, Т, S4 строятся исчисления ВС2, ВТ, BS4, которые отличаются от С2, Т, S4 введением дополнительной аксиомной схемы, известной как формула Баркан: VxDA(x) з DVxA(x) (в S5 эта формула является теоремой). Принцип подстановочности тождественного строго выполняется в ВС2, ВТ, BS4, S5. В модальных предикатных исчислениях с равенством (“модальная приставка” присоединяется в этом случае к классическому исчислению предикатов с равенством) для обеспечения подстановочности тождественного должно выполняться условие VxVy(x = у => D(x = y)).

    Содержательные трудности возникают и в связи с самой “модальной приставкой”. Исчисления с правилом Геделя и аксиомной схемой DA э А называются нормальными, т. е. соответствующими содержательным стандартам логической необходимости: всякая теорема логически необходима (логически истинна) и всякое необходимо истинное утверждение истинно. Все остальные исчисления не считаются нормальными, и для них отдельно должны быть указаны смыслы, в каких они используют операторы необходимости и возможности. Вот некоторые возможные смыслы этих операторов, отличные от указанного выше “алетического” смысла α и 0.1) π означает доказуемость, а 0 — непротиворечивость (интуиционистские модальности, не исключающие, впрочем, существования специальной логики доказуемости); 2) D означает обязательность в смысле необходимости соблюдения норм, а 0 — позволение, или отсутствие запрещения (деонтические модальности); 3) D означает приемлемость эмпирической гипотезы, а 0 — ее неотвергаемость (индуктивные модальности); 4) О означает “везде” или “всегда”, а 0 — “кое-где” или “иногда” (пространственно-временные модальности); 5) α означает “знаю, что”, а 0 — “не знаю не” (элистемические модальности). Существенно, что этот список потенциально неограничен (т. е. он ограничен только нашей изобретательностью, а не существом дела).

    Синтаксические характеристики операторов о и 0 во всех этих случаях должны быть различными. Напр., для деонтических модальностей не проходит аксиомная схема пАэ А, поскольку нормы могут быть нарушены. Вместо нее должна использоваться аксиомная схема ПА э -ι π -А (обязательная норма допустима).

    Для всех этих и многих других модальных исчислений остро встала проблема их формальной интерпретации: построение адекватной им формальной семантики, в которой: 1) каждая формула исчисления является либо истинной, либо ложной; 2) каждая доказуемая формула истинна (непротиворечивость исчисления); 3) каждая истинная формула доказуема (полнота исчисления); 4) установлена тесная связь с содержательной семантикой.

    Первый шаг был сделан Р. Карнапом. Используя идеи Лейбница, он строит семантику на основе множества описаний состояния (положений дел, характеризуемых средствами языка, или “возможных миров”). Высказывание “А возможно” семантически характеризуется им как “А истинно хотя бы в одном описании состояния (возможном мире)” и высказывание “А необходимо” как “А истинно во всех описаниях состояния (возможных мирах)”.

    Следующий шаг связан с именем С. Крипке. Он отказался от обязательного представления возможного мира в виде описания состояния, зависящего от структуры логического языка. Такое представление сохраняется только в канонических моделях (максимально непротиворечивых множествах), тогда как в общем случае возможный мир — это просто элемент произвольного непустого множества (возможных миров). При этом допускается возможность существования изолированных элементов такого множества (элементов, не связанных ни с какими другими элементами множества).

    Для формального выражения этой идеи Крипке вводит отношение достижимости — некоторое бинарное отношение R, определимое на множестве возможных миров. Пусть а и b — возможные миры. Тогда, если имеет место а R Ь, то эти миры связаны: из мира а можно достичь мира b. В противном случае это оказывается невозможным. Формальные семантики для различных исчислений различаются теперь только свойствами отношения R. Так, чтобы получить адекватную семантику для S4, достаточно предположить, что отношение R рефлексивно и транзитивно. Если дополнительно предположить симметричность этого отношения, то получим адекватную семантику для S5. В этом последнем случае каждый возможный мир достижим из каждого, и надобность в специальном отношении достижимости отпадает. Предложенная Карнапом формальная модальная семантика соответствует этому частному случаю и годится, следовательно, только для S5.

    Далее, для каждой предикатной модели каждый мир w из множества возможных миров W, на котором определено бинарное отношение достижимости R, характеризуется непустым множеством D индивидов, существующих в этом мире. Существует также выделенный элемент w*, называемый действительным миром. Для разных w множества D^ могут быть разными.

    С этой точки зрения понятно, почему принцип подстановочности тождественного и экзистенциальное обобщение требуют ограничений в модальных контекстах. Если индивидные константы или переменные находятся в сфере действия модального оператора, то они могут обозначать один и тот же индивид в действительном (выделенном) мире, но различные индивиды в других возможных мирах (а в каких-то ми

    рах ничего не обозначать). Поэтому, чтобы указанные принципы были применимыми в модальных контекстах, каждый входящий в этот контекст индивидный символ должен обозначать один и тот же объект во всех мирах, связанных с данным миром отношением R.

    Быстрый рост числа модальных исчислений в 70—80-е гг. поставил вопрос о создании более общей и более богатой по своим возможностям формальной семантики, чем семантика Крипке. Один из путей создания такой семантики связан с именем 3. Стахняка. Его основная идея элегантна и проста, хотя ее реализация технически может быть очень сложной. Семантика Крипке является теоретико-множественной. Каждый “возможный мир” есть просто лишенный внутренней структуры элемент некоторого множества, которому (элементу) в предикатных интерпретациях приписано еще одно множество — множество индивидов, допустимых в этом мире. Вся ее изобразительная сила определяется поэтому только свойствами отношения R. Если удастся наделить и сами элементы внутренней структурой, то изобразительная мощь формальной семантики резко возрастет.

    Для реализации этой идеи Стахняк использовал сочетание алгебраических и теоретико-множественных подходов. На исходном множестве, рассматриваемом в качестве алгебраического объекта, можно построить вторичное множество алгебраических структур (напр., ультрафильтров). На новом множестве процесс можно повторить, получая множество элементов с более богатой структурой, а затем построить на нем отношение достижимости R. Тем самым мы получаем семантику возможных миров, в которой в отличие от семантики Крипке элементы базисного множества могут быть наделены сколь угодно сложной внутренней структурой.

    Такого рода формальная семантика обладает огромной изобразительной силой. Ее можно использовать не только для интерпретации существующих модальных исчислений, но и для построения новых модальных исчислений, обладающих наперед заданными желательными семантическими свойствами. Фактически впервые появилась возможность того, что современная формальная логика может быть использована не только и даже не столько в качестве преимущественного средства для построения оснований математики, как это повелось со времен Д. Гильберта, сколько в качестве метода построения оснований любого вида научного знания, в том числе философского.

    Лт.•.•СаЬЬау D. M. Investigations in Modal and Tense Logics with applications to problems in Philosophy and linguistics. N. Y, 1976; ЛеммонЕ. Алгебраическая семантика для модальных логик I. II.— В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. M., 1981; Костюк В. Н. Элементы модальной логики. К., 1976; Крипке С. Семантический анализ модальной логики.— В кн.: Фейс Р. Модальная логика. M., 1974; Stachniak Z. Introduction to model theory for Lesniewski's Ontology. Wroclaw, 1981; Hughes G. E. and Cresswell M. J. A Compation t Modal Logic" Methuen — London, 1984; Van Benthem J. A. F. K. Modal and Classical Logic. Napoli, 1983; Zeman J. J. Modal Logic. The LewisModal Systems. Oxf., 1973; Segerberg K. An essay in classical modal logic.- “Filosofiska Studier”, Uppsala, 1971, N 13; ChagrovA. V., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxf., 1997.

    В. Н. Костюк