Akademik

        (от греч. — выводящий умозаключение; дедуктивный), теория дедуктивного вывода, оперирующая высказываниями субъектно-предикативной структуры: S есть Р (где S — логич. подлежащее, или субъект, Р — логич. сказуемое, или предикат). В С. выясняются общие условия, при которых из одного, двух или более высказываний — посылок указанной структуры — с необходимостью следует некоторое новое высказывание — заключение, а также условия, при крых такое следование не имеет места. В случае следования заключения лишь из одной посылки имеется непосредств. силлогистич. вывод; в случае следования заключения из двух посылок — собственно силлогизм; в случае следования заключения из многих досылок — полисиллогизм, или сорит. Традиционно одна из осн. задач С. состояла в выяснении того, какие модусы каждой из четырёх фигур силлогизма являются правильными умозаключениями, а какие неправильными. В связи с этим были сформулированы как общие правила силлогизма, так и специальные правила фигур, а также предложены графич. интерпретации силлогистич. умозаключений, служащие средством наглядного их обоснования или опровержения.

        С. была разработана Аристотелем и явилась исторически первой логич. теорией дедуктивного рассуждения. Она послужила отправным пунктом для разработки формальной логики. В школе перипатетиков, в работах рим., визант. и араб. мыслителей, в ср.-век. схоластич. логике, а затем и в новое время С. детализировалась и уточнялась, оставаясь вместе с тем в целом в рамках, очерченных Аристотелем в его «Органоне», Вплоть до 17 в. С. считалась совершенной в своей законченности и чуть ли не единственно возможной логич. теорией, и в многочисл. школьных пособиях дошла до нашего времени, составляя традиц. логич. элемент гуманитарного образования. Математич. логика выработала более общую, чем С., логич. систему — исчисление предикатов и строгие методы самого логич. исследования. В свете этих достижений стали очевидными и частность С. как теории дедукции и несовершенства её традиц. построения. С помощью средств матема-тич. логики С. представима в виде формализов. теории, вписывающейся в общий ансамбль совр. символич. логики. Помимо теории классич. (аристотелевской) С., предложены также различные обобщения и расширения этой системы. До сих пор остаются мало исследованными вопросы модальной С., поставленные ещё Аристотелем.

        Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч.. Соч., т. 2, М., 1978; Челпанов Г. И., Учебник логики, М., 1946; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретич. логики, пер. с нем., М., 1947; Лукасевич Я., Аристотелевская С. с т. зр. совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959; Субботин А. Л.. Теория С. в совр. формальной логике, М., 1965; его же, Традиц. и совр. формальная логика, М., 1969; Джиджян Р. 3., Расширенная С., Ер., 1977; Хилькевич А. П., Проблема расширения традиц. С., Минск, 1981.

        А. Л. Субботин.

(от греч. συλλογιστικός – выводящий умозаключение) – теория дедуктивного вывода, оперирующая высказываниями (суждениями) определенной субъектно-предикатной структуры: о б щ е у т -вердительными – "Всякое S есть P", общеотрицательными – "Ни одно S не есть P", частноутвердительными – "Некоторое S есть P" и частно-о т р и ц а т е л ь н ы м и – "Некоторое S не есть P". Здесь буквы S, Ρ обозначают различные общие т е р м и н ы (напр., "человек", "треугольник" и т.п.), входящие в силлогизм (термины силлогизма), а выражения "Всякое... есть..." (условно обозначаемое буквой А), "Ни одно... не есть..." (Е), "Некоторое... есть..." (I), "Некоторое... не есть..." (О) являются постоянными логич. отношениями, связывающими эти термины в высказывание.

В С. выясняются общие условия, при к-рых из одного, двух и более высказываний – посылок указанной структуры – с необходимостью следует нек-рое новое высказывание – заключение той же структуры, и условия, при к-рых такое следование не имеет места. В случае следования заключения лишь из одной посылки мы имеем непосредств. силлогистич. вывод (см. Непосредственное умозаключение); в случае же следования заключения из двух посылок мы имеем собственно силлогизм (или категорич. силлогизм, в отличие от условных, разделительных и нек-рых др. умозаключений, также нередко называемых силлогизмами). По своему строению все (категорич.) силлогизмы подразделяются на силлогизмы 4 фигур; в пределах каждой фигуры выделяются различные модусы (формы) силлогизма (см. Силлогизм).

Одна из задач С. – выяснить, какие модусы каждой из фигур силлогизма являются правильными умозаключениями, а какие – неправильными и почему. Обоснование правильных модусов силлогизма обычно проводится путем сведéния их к правильным модусам первой фигуры. Это достигается путем обращения высказываний силлогизма, перестановки его посылок и применения особого способа косвенного доказательства – доказательства от противного. В С. можно выделить также задачу рассмотрения различных видов сложных силлогизмов, в к-рых заключение следует из более чем двух посылок (см. Полисиллогизм), и др.

Примерно в таком понимании ее предмета и объема встающих в ней задач С. была разработана еще Аристотелем (см. Древнегреческая логика). Она явилась исторически первой логич. теорией дедуктивного рассуждения и послужила отправным пунктом для развития формальной логики. В школе перипатетиков, в работах древнеримских, византийских и арабских философов и логиков, в схоластич. логике С. уточнялась и детализировалась, оставаясь вместе с тем в рамках, очерченных еще аристотелевским "Органоном". Вплоть до 17 в. она считалась совершенной в своей законченности и чуть ли не единственно возможной логич. теорией и в многочисл. школьных пособиях по логике дожила до нашего времени, составляя традиционный логич. элемент гуманитарного образования.

Являясь строго и систематически построенной теорией, С. вместе с тем недостаточна для описания всех видов дедуктивного рассуждения. Уже гибкость и точность рассуждений древнегреч. математиков разительно контрастируют с узостью схем силлогистич. умозаключений, к-рыми они (вообще) мало интересовались. Силлогизм естественно считать выражающим структуру рассуждений, связанных (гл. обр.) с классифицирующей деятельностью мышления, вычленяющего в рассматриваемых объектах (прежде всего) родовидовые связи. В философской и логич. литературе неоднократно развивалась критика С., связанная с новыми аспектами и подходами к исследованию структур и форм мыслительной деятельности. Важный перелом в такой оценке связан с эпохой Возрождения, когда развитие опытного и вместе с тем математизированного естествознания выдвинуло задачу обоснования своей методологии. Критика С. здесь развивается и с рационалистических, и с эмпирич. позиций. С одной стороны, Р. Декарт, как бы подытоживая всю незначительность для математики правил силлогистич. дедукции, отказывается от них как от эффективных канонов науч. исследования и выдвигает в противовес им свои "правила для руководства ума". С др. стороны, Ф. Бэкон возражает против силлогизма как средства доказательства, к-рое, по его словам, действует неупорядоченно и упускает из рук природу. Правда, он не сомневается, что в силлогизме заключена некая математическая достоверность, однако основную проблему "Нового Органона" он видит в разработке индуктивного метода, долженствующего предоставить в распоряжение возможной дедукции ясные, определенные и соответствующие природе изучаемых объектов понятия.

Недостаточность С. обнаружилась и в ходе развития самой формальной логики. Существ. роль здесь сыграли исследования по матем. обработке С. – по ее арифметич. интерпретации, алгебраическому и геометрич. (или топологич.) представлению, к-рые проводились, начиная с работ Лейбница, мн. философами, логиками и математиками (см. Н. И. Стяжкин, Становление идей математической логики, М., 1964). Со 2-й половины 19 в. в математике важное значение приобрели исследования по ее логич. основаниям, что явилось мощным стимулом для новых логич. изысканий. Сложившаяся в этой связи математическая логика содержала гораздо более общие, чем С., логич. системы – логику высказываний и предикатов исчисление и вместе с тем выработала строгие методы самого логич. исследования. С т. зр. этих систем и методов обнаружились как узость и частность силлогистич. теории дедукции, так и несовершенство ее формального построения в традиц. логике.

В совр. формальной (математич.) логике результаты С. могут быть получены в исчислении предикатов, если специфические силлогистич. понятия выразить в понятиях этого исчисления - силлогистич. термины истолковать как одноместные предикаты, приставки "всякое" и "некоторое", соответственно, как кванторы общности и существования, а отношение "присущности" определить через (материальную) импликацию и конъюнкцию. Тогда, напр., "Всякое S есть P" примет вид Vх(S(x)^P(х)), а "Некоторое S есть P" - вид Bx(S(x)&P(x)). При этом, поскольку силлогистич. высказывания носят экзистенциальный характер, т.е. не только частные, но и общие из них предполагают существование объектов, охватываемых терминами этих высказываний, при выводе нек-рых модусов силлогизма в исчислении предикатов следует добавлять к числу посылок допущение непустоты нек-рого предиката (см. Пустое); в противном случае в исчислении предикатов выразима не вся С. (см. Антилогизм).

Весьма удачный способ формализации С, сохраняющий своеобразие последней и вместе с тем вписывающий ее в общий ансамбль совр. матем. логики, был предложен Лукасевичем в 1939 (см. рус. пер. его книги "Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики", М., 1959). У Лукасевича С. является расширением исчисления высказываний за счет введения в его аксиоматику след. аксиом, выражающих специфически силлогистич. отношения: (I)Ааа; (II) Iaa; (III) (Abc&Aab)⊃Aac; (IV) (Abc&Iba)⊃Iac (где а, b, с – термины силлогизма) и правил вывода из этих аксиом. Логич. отношение Ε и O определяются через A, I и знак отрицания: (V) Eab=Iab, (VI) Oab=Aab. Из аксиом I–IV и выводимых формул исчисления высказываний выводятся с помощью правил этого исчисления и определений V–VI все модусы силлогизма и все законы, относящиеся к силлогистич. высказываниям. Напр., для вывода закона обращения Iab⊃Iba в закон исчисления высказывания (x&y⊃z)⊃ (x⊃ (y⊃z)) делается подстановка x/Abc (Abc подставляется на место x), y/Iba, z/Iac и из полученного выражения и аксиомы IV по правилу modus ponens получается Abc⊃ (Iba⊃Iac); сделав в этой формуле подстановку b/a, c/a, a/b, мы из полученного выражения и аксиомы I по тому же правилу выводим Iab⊃Iba.

Построенная Лукасевичем система С. непротиворечива (см. Непротиворечивость). Это можно показать путем ее интерпретации в области логики высказываний, если термины силлогизма рассматривать как пропозициональные переменные (переменные для высказываний), а выражения Aab и Iab интерпретировать соответственно как (a⊃a)&(b⊃b) и (a⊃a)⊃(b⊃b). При этом аксиомы I–IV и все выражения системы, получаемые из них согласно допущенным правилам вывода и определениям, обращаются в тождественно-истинные предложения логики высказываний. Вместе с тем система С. не полна (см. Полнота) даже в том (синтаксическом) смысле, что не становится противоречивой, если к аксиомам I–IV присоединить в качестве дополнит. аксиомы нек-рое невыводимое в С. выражение, напр. неправильный модус второй фигуры (Ecb&Eab)⊃Aac. Действительно, использовав ту же интерпретацию системы, мы убеждаемся, что это выражение обращается в тождественно-истинное. Поэтому расширенная за его счет аксиоматика I–IV непротиворечива. В работах Я. Лукасевича и Я. Слупецкого для описанной выше формализованной С. решена также разрешения проблема.

С. можно построить и как натуральное исчисление. В этом случае нек-рое органич. число форм силлогистич. вывода принимается в качестве исходных правил вывода и определяются правила, порождающие из одних правил вывода другие (производные от первых) правила вывода (что и позволяет переходить от одних силлогистич. выводов к другим) (см., напр., В. А. Смирнов, Замечания по поводу системы силлогистики и общей теории дедукции, в кн.: Проблемы логики, М., 1963).

Одним из способов построения логич. теорий является функционально-алгебраич. способ, когда изучаемые логич. объекты и связи между ними (операции над объектами) рассматривают как определенную алгебраич. систему, используя, т.о., в логике тот или иной уже разработанный (или же специально разрабатываемый) алгебраич. аппарат. Для С. имеется ряд таких алгебраич. представлений. Одним из них является т.н. нижняя полуструктура. Нижней полуструктурой наз. такое частично упорядоченное (см. Порядка отношение) множество М, для всякой пары элементов к-рого (а, b), принадлежащих к M (a, b∈M), определена нек-рая двуместная операция, называемая композицией, такая, что она порождает элемент а·b (точка есть знак композиции), обладающий след. свойством: а·b≤a, a·b≤b и, если к.-л. элемент d множества M таков, что d≤a и d≤b, то d≤a·b (a·b наз. точной нижней гранью для a и b). Этому определению эквивалентно другое: множество M с одной определенной в нем двуместной операцией композиции наз. полуструктурой, если эта операция удовлетворяет условиям идемпотентности (а·a=а), коммута-т и в н о с т и (a·b=b·a) и а с с о ц и а т и в н о с т и (a·(b·с) = (а·b)·с). Нулевым элементом такой полуструктуры наз. такой элемент 0, что 0≤а (или a·0=0) для любого а∈М. Полагая 4 возможных результата для композиции элементов a и b в полуструктуре: a·b=a (или а·b =b), а·b = 0, a·b>0, a·bвыяснение условий, при к-рых из одного или более высказываний – посылок, с необходимостью следует нек-рое новое высказывание – заключение) как задачу нахождения композиции к.-л. двух элементов, напр. a и c, если известны композиции каждого из них с нек-рым третьим элементом b. Разрешимые случаи этой задачи для не нулевых а, b и с соответствуют правильным модусам силлогизма, неразрешимые – неправильным. Др. алгебраич. модель С. предложил П. Лоренцен (см. Р. Lorentzen, Über die Syllogismen als Rerationen-Multiplicationen, "Arch. math. Logik und Grundlagenforsch.", 1957, Bd 3, No 3–4). Рассматривая силлогизмы как произведения двуместных отношений между силлогистич. терминами, он представил теорию С. в виде таблицы умножения в полугруппе таких отношений.

Помимо описанной теории классического (аристотелевского) силлогизма и упоминавшейся выше С., не предполагающей непустоту предикатов, соответствующих силлогистич. терминам (неклассич. С), построены различные обобщения или "расширения" С. (об этом подробнее см., напр., Cz. Lejewski, Aristotle's syllogistic and its extensions, "Synthese", 1963, v. 15, No 2).

Лит.: Бэкон Ф., Новый Органон, [пер. с англ.], Л., 1935; Челпанов Г. И., Учебник логики, [М.], 1946; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретич. логики, пер. с нем., М., 1947; Декарт Р., Избр. произв., пер. с франц., [М.], 1950; Аристотель, Аналитики, первая и вторая, пер. с греч., [Л.], 1952; Новиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; Петров Ю. Α., Об одной гипотезе Я. Лукасевича, в кн.; Формальная логика и методология науки, М., 1964; Субботин А. Л., Аристотелевская силлогистика с точки зрения алгебры, там же; его же, Теория силлогистики в совр. формальной логике, М., 1965; его же, Традиционная и совр. формальная логика, М., 1969.

    СИЛЛОГИСТИКА (от греч. συλλογίζομαι — рассчитываю, считаю) — кванторная теория дедуктивных умозаключений, в которой исследуются логические связи между атрибутивными высказываниями, т. е. высказываниями, в которых утверждается или отрицается наличие у предметов некоторого атрибута. Первый пример силлогистики был построен Аристотелем (384—322 гг. до и. э.). Его система явилась не только первой логической теорией, но и одной из первых известных в истории науки теорий вообще.

    Уникальное место силлогистики в логике определяется особым влиянием, которое она оказала на разработку философской проблематики. Оставаясь в течение многих веков единственным известным аппаратом дедукции, она во многом предопределяла характер и направленность теоретико-познавательных исследований. Напр., такие хорошо известные в истории философии антитезы, как “содержательное и формальное”, “дискурсивное и чувственное”, “рациональное и иррациональное”, “интуитивное и рассудочное”, всегда обсуждались с учетом гносеологического материала, фиксированного силлогистикой, которая выступала в качестве конкретного примера одной из сторон указанных противоположностей. Поэтому она была не только теорией дедукции, но и выполняла кардинальную объяснительную функцию при решении гносеологических проблем.

    Среди рассматриваемых в силлогистике атрибутивных высказываний различают высказывания о факте наличия или отсутствия у отдельного предмета или нескольких предметов какого-либо свойства (атрибута) и высказывания о характере наличия или отсутствия такого свойства. Первые высказывания называются ассерторическими, вторые — модальными. Иначе говоря, к числу атрибутивных высказываний относят высказывания следующих логических форм: Всякий α ” есть β — общеугвердительное высказывание. Всякий (Ни один) α * не есть β — общеотрицательное, Некоторый α * есть β-^ частноутвердительное, Некоторый α * не есть β — частноотрицательное, α * есть β -i- единичноутвердительное, α • не есть β — единичноотрицательное, где * — либо пустое место, либо является одним из модальных операторов — необходимо (а) или возможно (0). В каждом атрибутивном Высказывании имеется два термина: субъект — термин, обозначающий те предметы, о которых в высказывании нечто утверждается или отрицается, и предикат — термин, обозначающий то, что предипируется (утверждается или отрицается) об этих предметах.

    В Средние века высказывания первых четырех типов получили специальные обозначения: общеупвердительные стали называться высказываниями типа а (первая буква латинского слова “affirmo” — утверждаю), частноутвердительные стали называться высказываниями типа i (вторая гласная в том же слове), общеотрицательные стали относиться к высказываниям типа е (первая гласная буква в слове “nego” — отрицаю), а частносярицательные — к высказываниям типа о (вторая гласная в слове “nego”). Эти обозначения оказались удобным средством сокращенного представления в языке ассерторических и модальных высказываний. Пользуясь ими, часто логическую структуру первых четырех типов высказываний выражают следующими соответственно формулами: Otuß, aeß, cuß,αοβ.

    К настоящему времени силлогистика сформировалась как совокупность различных логических систем, которые можно подразделить на классы в зависимости от того, какого типа атрибутивные высказывания содержатся в языке системы, какого типа термины могут являться субъектами и предикатами этих высказываний, а также в зависимости от интерпретации самих атрибутивных высказываний.

    Аристотель и средневековые логики рассматривали два типа силлогистическщс теорий — ассерторическую и модальную. Часто под термином “силлогистика” имеют в виду именно ассерторическую силлогистику. В ее язык входят лишь ассерторические атрибутивные высказывания, в язык же модаль

    ной силлогистики входят как ассерторические, так и модальные высказывания.

    Силлогистика называется позитивной, если в ней не учитывается внутренняя структура терминов. Иначе говоря, каждый термин (субъект и предикат) трактуется как элементарное выражение, неразложимое на составные части. Если в языке теории содержится единственный термообразующий оператор терминного отрицания, позволяющий построить новый термин, являющийся отрицанием исходного, то такая система относится к негативной силлогистике. При этом с отрицательными терминами, скажем Р', связываются те предметы из универсума, которые не обладают свойством Р. Этот класс принято называть дополнением к Р в универсуме U. Если кроме этого вводятся и другие терминные операторы — сложение (объединение классов) и умножение (пересечение классов), то такая система называется расширенной силлогистикой. Если в системе допускается использование сингулярных терминов, то такая силлогистика называется сингулярной.

    В зависимости от характера интерпретации терминов, все силлогистические теории делятся на экзистенциальные и неэкзистенциальные. В первых запрещается использование пустых терминов, во вторых такого ограничения нет.

    Описанные выше виды атрибутивных высказываний относятся к числу простых высказываний. Но, применяя к ним логические операции, выражаемые пропозициональными связками, можно из простых высказываний строить сложные силлогистические высказывания. Напр., можно отрицать то или иное высказывание, строить из них конъюнктивные высказывания и т. д.

    В каждой силлогистике тем или иным способом задаются условия истинности атрибутивных высказываний. Обычно это делается с помощью т. н. кругов Эйлера (или диаграмм Венна), которые выступают в качестве модельных схем истинности атрибутивных высказываний. Напр., в традиционной силлогистике, которая является экзистенциальной системой, термины рассматриваются как знаки таких свойств (классов), которые являются непустыми и неуниверсальными.

    Понятие логического следования вводится в силлогистике следующим определением. Пусть А„ А,,..., Ад и В будут силлогистическими формулами. Тогда из посылок А], А„..., А„ логически следует В, если и только если каждая модельная схема, на которой одновременно истинны все посылки А|, Ау ., А^, является модельной схемой, на которой истинно В. Наличие логического следования обозначается записью А|, А„..., An h В. В частном случае (при следовании формулы из пустого множества посылок) формула В называется общезначимой (законом силлогистики) и пишется f= В. Формула В в этом случае является истинной на любой модельной схеме. На основе этих определений в любой силлогистике устанавливаются соответствующие силлогистические законы и оправдывается принятие тех или иных правил вывода — элементарных умозаключений. Так, в традиционной силлогистике законами буаут следующие: Всякий S есть S — закон силлогистического тождества для высказываний типа а, -|(Всякий S есть Р & Всякий S не есть Р) — закон контрарного противоречия, (Некоторый S есть P v Некоторый S не есть Р) — закон субконтрарного исключенного третьего и многие другие. Что касается умозаключений, то они распадаются на умозаключения по логическому квадрату, непосредственные и опосредованные умозаключения. К числу непосредственных умозаключений в позитивных силлогпстиках относится операция обращения (conversio), ав негативных силлогастиках — превращение (obveisio) и различные виды противопоставления (contrapocisio).

    В позитивной силлогистике одним из важнейших видов опосредованных умозаключений является простой категорический силлогизм. В нем всегда содержится не более трех терминов — меньший, больший и средний. Меньшим термином является субъект заключения, а большим — тот, который является предикатом заключения. Термин же, являющийся общим для обеих посылок, называется средним. Посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой, а содержащая больший термин — большей. Обычно условливаются помещать большую посылку на первое место, а под ней записывать меньшую посылку Приняв эти условия, можно все простые категорические силлогизмы разделить по т. н. фигурам. Фигура — это множество простых категорических силлогизмов, имеющих одну и ту же структуру, определяемую расположением среднего термина в посылках. С точностью до порядка посылок выделяют следующие фигуры силлогизма: P -7 M M^- S S - P Фигура 4

    М^- Ρ S -^ M S - P Фигура!

    ρ -, м s -l M

    S - P

    Фигура 2

    Mr- P

    M L- s S - P Фигура 3

    Если в фигуре указать тип высказываний, стоящих на местах посылок и заключения, то получим разновидность данной фигуры, называемую модусом фигуры. Те модусы, для которых между посылками и заключением существует отношение логического следования, называются правильными. В традиционной силлогистике имеется 24 правильных модуса. В 1 фигуре: Barbara, Celarent, Daiii, Ferio, Baibari, Celaront; во 2 фигуре: Baroko, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro; в 3 фигуре: Bokardo, Disamis, Datisi, Ferison, Darapti, Felapton; в 4 фигуре: Camenop, Dünaris, Camenes, Fresison, Bramantip, Fesapo. В этих названиях гласные буквы слева направо указывают тип большей, меньшей посылок и заключения.

    Для проверки правильности рассуждений, строящихся в форме простого категорического силлогизма, имеется специальный перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех вместе —достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти правила называются общими правилами силлогизма и подразделяются на правила терминов и посылок. Они таковы: Правила терминов: (1) должна быть посылка, в которой средний термин распределен; (2) если термин распределен в заключении, то он распределен и в посылке.

    Правила посылок: (3) должна иметься утвердительная посылка; (4) если утвердительными являются обе посылки, то заключение будет утвердительным высказыванием; (5) если имеется отрицательная посылка, то заключение — отрицательное высказывание.

    Другими формами опосредованных умозаключений являются сориты, которые в общем случае представляют собой выводы некоторого силлогистического утверждения из произвольного множества посылок. Вопрос о выводимости в общем случаеможет быть решен различным образом. Можно, напр., построить аксиоматическую дедуктивную теорию силлогистики и считать, что некоторое опосредованное умозаключение обосновано, если оно доказуемо в данной аксиоматической теории. На такую возможность обратил внимание уже Аристотель. Он взял в качестве исходных положений (ак

    сиом) модусы Barbara, Celarent, Darii и Ferio 1 фигуры, а все остальные модусы сводил к указанным.

    При практическом осуществлении некоторого аргументационного процесса обычно не пользуются развернутой формой силлогизма. На самом деле в аргументации обычно используют т. н. энтимемы, т. е. сокращенные формы рассуждения (с пропуском некоторых посылок или заключения). Иногда такие пропуски делаются намеренно, ибо недобросовестному спорщику не всегда бывает выгодно раскрывать подлинные свои цели и намерения, т, е. подлинные теоретические основания аргументации.

    Традиционная силлогистика, как указывалось, содержит два ограничения на используемые термины: они не должны быть пустыми и универсальными. В отличие от этого силлогистика, построенная самим Аристотелем, не содержала такого рода ограничений. Его понимание смыслов простых категорических высказываний можно задать посредством их'перевода в исчисление предикатов следующим образом: oaß -” Vx (α(χ)=>β(χ)) & 3χα(χ), aeß-”Vx(a(x)=?-,ß(x)), αβ-”3χ(α(χ)&β(χ)), αοβ -” Эх (о(х) & -β(χ))ν-3χα(χ), где знак -” — показатель процедуры перевода. Отметим, что целый ряд соотношений, имевших место в традиционной силлогистике, в аристотелевской логике оказываются неверными. Напр., в аристотелевской логике неверны законы силлогистического тождества ни в форме SaS, ни в форме SiS. В негативной аристотелевской силлогистике остаются в силе лишь превращения от утвердительных высказываний к отрицательным и т. д. В то же время в аристотелевской силлогистике верны все 24 модуса простого категорического силлогизма.

    Кроме аристотелевской силлогистики имеются и другие силлогистики, отличающиеся друг от друга условиями истинности атрибутивных высказываний. Хорошо аргументированная система т. н. фундаментальной силлогистики была предложена Г Лейбницем. Основные идеи, заложенные в ней, неоднократно повторялись различными исследователями: Де Морганом, Ф. Брентано, Ч. Пирсом, Б. Расселом, Д. Гильбертом. В языке логики предикатов лейбницевская интерпретация категорических высказываний выражается следующим образом: ααβ->νχ(α(χ)3β(χ)), 0(•ß->Vx(a(x)o-,ß(x)), ου•β-”3χ(α(χ)&β(χ)), αοβ-”3χ(α(χ)&-ιβ(χ)).

    Иная силлогистическая система была детально разработана Б. Больцано. В языке логики предикатов больцановская интерпретация может быть выражена следующим образом: oaß -> Vx (α(χ)=>β(χ)) & 3χα(χ), eß -” Vx (α(χ)=)-,β(χ)) & 3χα(χ), ουβ-”3χ(α(χ)&β(χ)), αοβ-”3χ(α(χ)&-ιβ(χ)).

    Интересная силлогистика была разработана Л Кэрроллом. Она основана на понимании смыслов категорических высказываний, выражаемом в языке логики предикатов следующим образом: ctßß -” Vx (a(x)sß(x)) & 3χα(χ), aeß-”Vx(a(x)3-,ß(x)), ω•β-”3χ(α(χ)&β(χ)), ”ß->3x(ct(x)&-nß(x)).

    Одним из вариантов расширенной аристотелевской силлогистики является следующая аксиоматическая система: AI. γοα & ο^β^γΰβ' Α6. аеа А2. γ;α & aeß A7. wo', A3. (αηβ)ερ(γηα)6β Α8. oteß=)oeß', A4. αέ(β^/γ) s (aeß & оку), А9. оирэоаа, A5. wißrvy)' E (aeß' & ae/), A10. aoß'baaß

    По определению вводятся следующие знаки: (А•ЕВ)-”(А=зВ)&(ВзА), a=ßoaeß'&ßea', 0-”anot', 1->αυα', где знаки “'” “υ” “η” являются соответственно знаками терминных отрицания, сложения и умножения; “=” — эквиваленция, “=” равенство двух классов, “О” — пустой термин, “l” — универсальный термин. Данная система расширенной аристотелевской силлогистики представляет собой булеву алгебру (см. Алгебра логики), выраженную в терминах силлогистики.

    Для всех указанных систем показана их погружаемость в первопорядковое исчисление предикатов. Для сингулярной расширенной аристотелевской силлогистики показана ее дефинициальная эквивалентность элементарной онтологии Лесневского, τ е. атомной булевой алгебре. Что касается исследований в области модальных силлогистик, то в настоящее время усилиями философов и логиков построены различные их варианты. Однако до сих пор не удается в полном объеме оправдать дедуктивные принципы модальной силлогистики Аристотеля. Лит.: Аристотель. Соч., т. 2. M., 1978; ЛукасевтЯ. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959; Маркин В. И. Силлогистические теории в современной логике, М., 1991; ThomP. The syllogism. Munch., 1981.

    В. А. Бочаров