Akademik

(в математике и л о г и к е) – свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений. Отношение R, определенное на нек-ром множестве (классе), наз. симметричным, если для любых x и у– элементов этого множества – из того, что x находится в отношении R к у(xRy) следует, что и у находится в этом же отношении к x (yRx). Простейшие примеры симметричных отношений: отношения типа равенства, отношения родства, соседства и др. (а также обратные к ним: неравенство и др.). Отношение R такое, что для любых не равных между собой объектов x и у из xRy следует, что уRx неверно, наз. а(нти)симметричным (примеры: отношение "" между числами, отношение включения "⊂" между множествами). Антисимметричное отношение, разумеется, не является симметричным; но не всякое несимметричное отношение непременно должно быть антисимметричным. Напр., если есть отношение между функциями, определенными на множестве действительных чисел и принимающими действительные значения, определяемое след. образом: fg, если найдется такое действительное число x, для к-рого f(x)место как fg, так и gf [напр., f(x)=sin(x), g(x)=0]; для других же пар fg исключает gf [пример: f(х)=х, g(х)=x+1], т.е. есть пример отношения, не являющегося ни симметричным, ни антисимметричным.

Свойство С. в применении к операциям (в логике и математике) именуется обычно коммутативностью. Понятие С. (и коммутативности) естеств. образом обобщается на многоместные отношения и операции (функции): отношение (или операция, функция) наз. симметричным, если его выполнимость (соответственно результат операции, значение функции) не зависит от порядка аргументов.