Akademik

(греч. μαϑηματική, от μάϑημα – знание, наука) – наука о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Первый и основной предмет M. составляют количественные и пространственные отношения и формы. "Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у, постоянные и переменные величины..." (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1957, с. 37). Если, напр., социолог интересуется ростом народонаселения с течением времени, а физик изменением давления газа в связи с изменением температуры, то математик видит здесь только функциональную зависимость числа у от числа х. Кроме количеств. и пространств. отношений и форм, в М. изучаются др. отношения и формы, в частности в математической логике – формы логич. вывода, в геометрии – n-мерные пространства, которые, конечно, не являются пространств. формами в обычном смысле слова, но имеют прообразы в действительности, напр. в виде множества всех возможных состояний той или иной механич. системы (т.н. фазовое пространство системы). В общем, в предмет М. могут входить любые формы и отношения действительности, к-рые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены и отражены в понятиях с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы дать основание для чисто логич. развития теории. Кроме того, в М. рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные определяемые на основе уже известных форм и отношений. Именно так появились "мнимые" числа, "воображаемая" геометрия Лобачевского и др.; причем сами термины "мнимое", "воображаемая" подчеркивают, что речь идет о мыслимых объектах, реальный смысл к-рых выяснился не сразу. В наст. время определение новых объектов математич. теорий стало столь обычным делом, а способы их истолкования настолько развиты, что разделение их на действительные и лишь логически возможные по большей части утрачивается. Тут имеется переход – через ряд абстракций и определений – от понятий, реальный смысл к-рых очевиден (напр., целое число), к таким, к-рым не удается дать наглядной интерпретации (напр., нек-рые понятия множеств теории). М. может быть определена как наука о логически возможных, чистых (т.е. отвлеченных от содержания) формах или, что то же, о системах отношений, т.к. форма есть система отношений частей целого, а отношения в М. всегда фигурируют как система отношений между к.-л. абстрактными объектами. Если две системы А1 и А2 таковы, что объекты и отношения одной можно сопоставить с объектами и отношениями другой так, что объектам из А1 находящимся в данном отношении, всегда отвечают объекты из А2, находящиеся в соответств. отношении, и обратно, то такое сопоставление наз. изоморфизмом, а системы – изоморфными.

То общее, что есть в изоморфных системах, и есть "чистая" форма. Соответственно М. рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кроме, конечно, тех случаев, когда объектом изучения служит само отношение изоморфизма). Безразличие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержанием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений). Но это вовсе не значит, что эти формы всегда имеют внешний или чисто количеств. характер; напр., симметрия кристаллич. решетки (определяемая математически) является существенной качеств. ее характеристикой.

О с о б е н н о с т и М.

1. Форма, отвлеченная от содержания, выступает как самостоят. объект, так что непосредств. предметом М. оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрич. фигуры, а не реальные тела и т.п. В природе есть, напр., тела более или менее шарообразной формы, но шарообразная форма, взятая сама по себе, превращается в идеальный объект – геометрич. шар; в природе есть разнообразные связи переменных величин, чистая же форма такой связи выступает в М. как идеальный объект – функция, и т.д. Абстракции и идеализации есть и во всякой др. науке, но там им не придается такого самодовлеющего значения, они всегда сверяются с действительностью. М. же абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, а сравнение их с действительностью есть задача не самой М., а ее приложений. Поэтому в М. не заботятся, напр., о том, что не только практически невозможно абсолютно точное измерение, но что и не существует абсолютно точных значений реальных величин. За нек-рыми пределами уточнения количеств. изменения влекут качественные, и данная величина теряет смысл, тело оказывается состоящим из атомов, давление газа – из ударов молекул и т.д. Но такой "переход количества в качество" зависит от природы величины, а раз в М. отвлекаются от этой природы, то в ней этот переход исчезает. Величина, взятая в отвлечении от содержания, величина в о о б щ е, естественно, мыслится как абсолютно точная, как допускающая неограниченно уточняющееся измерение. Точно так же, хотя совр. физика установила, что реальное пространство не является точно эвклидовым, никто не считает от этого эвклидову геометрию как математич. теорию неточной или нестрогой. Ее строгость и точность определяются соответствием ее выводов осн. посылкам, закрепленным и выраженным в аксиомах.

2. Результаты М. – теоремы – получаются путем логич. вывода из осн. понятий и посылок, ссылка на опыт не считается математич. аргументом (математич. выкладки суть не более как концентрированные в символич. форме логич. выводы). Это, так же как предыдущая особенность М., вовсе не означает, что М. не заимствует свои понятия из опыта и что она не имеет отношения к действительности. Но М. исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, сохраняя в них лишь то, что содержится в их определении. Поэтому естественно, что в М. ее результаты получаются путем логич. выводов из самих этих определений, из самих понятий о соответств. формах, так что чистая М. имеет чисто дедуктивный, умозрит. характер.

3. Отличительной особенностью М. является непреложность ее выводов. Логически допустимо нарушение законов физики, но невообразимо, чтобы, напр., дважды два не было четыре. Эта непреложность выводов М. объясняется не более как их логич. связью с принятыми посылками. Они логически необходимы лишь постольку, поскольку приняты посылки. "Дважды два – четыре" следует из определения умножения. Следовательно, во-первых, указанная особенность М. вытекает из предыдущих, а во-вторых, она относительна: вывод обязателен лишь постольку, поскольку приняты его основания.

4. Для М. характерно наличие ряда ступеней абстракции и образование новых понятий на базе уже сложившихся. Уже понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел, о любом вещественном числе суть результаты ряда абстракций; затем уже внутри самой М. возникли понятия комплексного и, далее, гиперкомплексного числа. Аналогично возникли понятия о неэвклидовых и многомерных пространствах и др. Для совр. М. вообще характерно сознат. введение новых понятий на базе уже имеющихся. Эта черта М. естественно связана с ее основной, определяющей особенностью, потому что, во-первых, достаточно полное отвлечение тех или иных форм и отношений от содержания происходит не сразу, а через ряд абстракций, а во-вторых, придавая своим понятиям самодовлеющие значения, М. уже тем самым делает их основанием для образования новых понятий, для новых ступеней абстракции.

5. Особенностью М. является также универсальность ее применений. В любой области, где только удается поставить задачу математически, М. дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. Мы одинаково считаем любые предметы, лишь бы они были строго разграничены. Одни и те же уравнения могут описывать совершенно разные по существу явления. Т.о., в абстрактности М. заключается ее сила: чем больше отвлечение от содержания, тем шире возможности приложений. Но по той же причине универсальность приложений М. не абсолютна, а относительна: правомерность ее применения в данной области, к данной задаче должна быть обоснована анализом содержания.

6. М. занимает особое положение среди других наук, т.к. исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, она отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Поэтому ее нельзя причислить к естествознанию или к общественным наукам.

Тем не менее М. зародилась из практики как естеств. наука и только в результате достаточно длит. накопления знаний, выяснения понятий и связей между отд. результатами превратилась в "чистую" М., дальнейшее развитие к-рой, продолжая идти в тесной связи с естествознанием, включало существенное расширение ее предмета, восхождение к более высоким ступеням абстракции. Так, если у Эвклида имеются в виду геометрич. объекты в их обычном наглядном, хотя и отвлеченном от материального содержания, смысле, то теперь в основаниях геометрии говорят о "любых объектах", лишь бы они удовлетворяли соответствующим аксиомам. Словом, отвлечение от содержания исследуемых М. форм и отношений шло постепенно и продолжается. Хотя определения математич. понятий все более уточняются, они не становятся абсолютно точными; математич. точность и строгость выводов также развивается, и то, что считалось строгим прежде, уже не считается таким теперь.

В этом отношении хорошим примером может служить арифметика. Предмет ее составляет система натуральных чисел 1, 2, 3,... с их отношениями: большего к меньшему, суммы к слагаемым и т.д. Отд. число само по себе не имеет свойств; если мы спрашиваем о свойствах, напр., числа 6, то замечаем, что 6=5+1, 6=2×3 и т.п., так что свойства данного числа состоят в его отношениях к др. числам. Отношения же эти суть отвлеченные образы реальных количеств. отношений между совокупностями предметов. Каждое отд. число ("два", "пять" и т.п.) есть свойство совокупности предметов – общее у совокупностей, предметы к-рых можно сопоставить по одному, и различное у таких, для к-рых такое сопоставление невозможно. Наличие такого свойства устанавливалось в процессе практич. счета предметов. Первоначально число определялось сравнением с к.-л. конкретным предметом (напр., "пять" – "рука"). Первая ступень абстракции состояла в отвлечении от такого конкретного предмета, когда число выделилось как свойство совокупности; так, говорили: "три камня" и т.д. Следующая ступень абстракции состояла в том, что появилось понятие о числах самих по себе, без связи с к.-л. предметами; числа выступили как самостоятельные идеальные объекты. (Ср. образование понятий о др. свойствах, напр.: "как уголь", "черный", "чернота"; здесь грамматич. форма существительного придает свойству характер самостоят. объекта.) Одновременно возникали действия над числами как абстрактное отображение реальных действий над совокупностями предметов; напр., умножение происходит из счета совокупностями по два, по три и т.п. В процессе практич. счета люди открывали не только связи между отд. числами, но и общие законы, как, напр., то, что сумма не зависит от порядка слагаемых. Так формировалась система чисел. История ее фактич. возникновения служит прямым подтверждением правильности материалистич. понимания М. Материализм признает как факт идеальный характер непосредственного объекта арифметики, но, в противоположность идеализму, признает также, что "...идеальное есть не что иное, как материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней" (Маркс К., Капитал, т. 1, 1955, с. 19). В становлении арифметики важную роль играло введение обозначений для чисел. Они позволили оперировать с числами, лежащими за пределами наглядного представления. Как понятие вообще выражается словом, так отвлеченное число – словом или знаком. Как "язык есть непосредственная действительность мысли" (Маркс), так и математич. обозначения есть "непосредственная действительность" математич. абстрактных понятий.

Следующая ступень абстракции состояла в образовании понятия о любом целом числе вообще, в отвлечении от практич. ограниченности счета и, следовательно, в осознании потенциальной возможности неогранич. продолжения числового ряда, закономерности к-рого, естественно, выводятся логически из понятия об этом ряде как бесконечной последовательности, образуемой с помощью единств. операции – прибавления единицы. Так, арифметика как искусство счета переросла в теоретич. арифметику, что знаменовало возникновение чистой, дедуктивной М. Следующая ступень абстракции, ясно выявившаяся лишь в 19 в., состояла в формировании понятия о множестве всех целых чисел, к-рое мыслится как целое (как актуальна я бесконечность, в отличие от потенциальной бесконечности неограниченно продолжаемого ряда чисел; см. Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция потенциальной осуществимости). Такое понимание бесконечности натурального ряда послужило естеств. основой для введения существенно нового понятия трансфинитных порядковых чисел, на основе к-рого, в свою очередь, метод математич. индукции был дополнен новым методом доказательства и определения, т.н. трансфинитной индукцией (см. Математическая индукция). Далее были подвергнуты более глубокому анализу самое понятие о целом числе и логич. средства теоретич. арифметики.

Р а з в и т и е М. История М. делится на ряд этапов. Формирование на основе повседневной практики простейших понятий арифметики и геометрии восходит к очень ранним ступеням развития человеческого общества. Моментом зарождения собственно М. – превращения накопл. знаний в науку – следует считать систематизацию этих знаний и формулировку законов и правил (в данном случае – правил решения арифметич. задач и определения простейших площадей и объемов; само слово "геометрия" означает "землемерие"). Это произошло в 3–2-м тысячелетиях до н.э. в ряде стран: Египте, Вавилоне, Китае, Индии. В то время математич. правила формулировались на основе практики. Но постепенно наряду с накоплением математич. знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретич. способы вывода новых результатов, складывались первые математич. доказательства. В конечном итоге это привело к качеств, скачку: сложилась "чистая" М. с ее дедуктивным методом. Конечно, этот "скачок" был достаточно длительным. Насколько известно; это произошло в 7–5 вв. до н.э. в Греции, куда математич. знания перешли из Египта. Есть указания на то, что простейшие теоремы геометрии доказывались уже Фалесом. В 5 в. до н.э. появляется систематич. изложение геометрии, тогда же Демокрит дал глубокие для своего времени выводы, содержавшие как бы первый зародыш интегрального исчисления. Открытие несоизмеримых отрезков и последовавшее за ним создание теории отношений несоизмеримых величин было большим достижением греч. М, Это логич. построение, явно выходившее за пределы эмпирически данного, очень четко обозначало окончат, оформление чистой М. (Следует различать знание математич. фактов от установления их логич. доказательств. Так, составляющее содержание теоремы Пифагора соотношение между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника, было известно до Пифагора, но соответствующая теорема не была доказана.) Принципиальное значение для развития М. имело появление понятия о бесконечности, к-рое играет в М. такую роль, что М. порой даже определяют как "науку о бесконечности". Помимо понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел и неограниченно продолжаемой прямой, возникло также представление о неогранич. делимости геометрич. фигур. Непрерывное, первоначально не подвергавшееся анализу, выступает как неограниченно делимое, содержащее неогранич. число частей, точек, моментов. [Дальнейшее развитие М. идет в следующих направлениях: 1) накопление новых результатов в рамках уже определившихся понятий; 2) расширение предмета М., включение в него новых форм и отношений и, следовательно, формирование принципиально новых понятий; 3) изобретение новых методов решения задач и доказательства теорем; 4) восхождение к более высоким абстракциям и более широким обобщениям; 5) углубление осн. понятий. Соответственно, развитие М. не сводится к количеств, росту, но включает качеств, изменения, связанные с существенным расширением ее предмета и образованием новых понятий и теорий. При этом, однако, не происходит отказа от существующих теорий; они лишь углубляются и обобщаются. Так, геометрия Лобачевского не опровергает геометрию Эвклида, но обе теории включаются в нек-рую общую систему. В этом состоит одно из своеобразий развития М. Развитие М. идет как под влиянием др. наук и техники, так и "внутренним" путем. Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решающим является влияние др. наук и – гл. обр. через них – практики. Если последовательность развития определяется объективной логикой предмета М., то скорость его определяется обществ, условиями. ] Первый этап развития "чистой" М. после ее оформления в 7–5 вв. до н.э.– это эпоха элементарной М. Она продолжается до 17 в. и делится, в свою очередь, на два существенно различных периода. Первый (период греч. М.) характеризуется глубоким развитием и господством геометрии, к-рую греки подвели вплотную к аналитич. геометрии и интегральному исчислению; второй – характеризуется, преимуществ, развитием элементарной алгебры и формированием общего понятия (вещественного) числа (Индия, Ср. Азия, страны арабского Востока, Зап. Европы) и завершается, когда Декарт ввел совр. алгебраич. символику, так что алгебра обрела форму, наиболее адэкватную ее содержанию.

Следующий этап в развитии М. охватывает период с начала 17 в. до сер. 19 в. Его обычно определяют как эпоху переменных величин, тогда как элементарную М. определяют как науку о постоянных величинах и простейших геометрич. фигурах. Такое определение неточно. Скорее элементарную М. нужно определять как к о н с т р у к т и в н у ю М. В ней изучаются не только связи между постоянными, но и между переменными величинами, т.е. функции (зависимость площади круга от радиуса, синус угла и т.п.), кривые линии и поверхности; используется, по существу, понятие предела (напр., при определении длины окружности). Все это было в греч. М. Но при этом речь шла о конструктивно заданных фигурах и функциях, об о п р е д е л е н н о м процессе приближения к пределу. Общие же понятия кривой, функции, предела в элементарной М. просто отсутствуют. У греков кривая, не заданная определенным геометрич. построением, считалась "механической". Переворот, знаменовавший новую эпоху, состоял прежде всего именно в том, что в предмет М. были включены зависимости между переменными величинами вообще, появилось соответственно общее понятие функции и возник аппарат исследования функций (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды), т.е. возникла теория функций – анализ бесконечно малых. Создание анализа подготовлялось с нач. 17 в. в работах ряда ученых и было оформлено Ньютоном и Лейбницем. Это новое направление М. имело три источника. Первый составляло изучение движения, зависимостей между переменными в природе (астрономич. законы Кеплера, законы падения, открытые Галилеем, и др.). Решающее влияние задач механики на развитие анализа видно из след. примера. Второй закон динамики в формулировке самого Ньютона утверждает, что изменение количества движения пропорционально силе; но это "изменение" есть производная по времени, так что закон приобретает точную форму, только если ввести понятие производной. Для определения же движения по его "изменению" необходимо интегрирование. Поэтому Ньютон, можно сказать, был вынужден изобрести анализ, чтобы дать общие методы формулировки законов и решения задач механики. Второй источник представляла геометрия с ее задачами вычисления площадей и объемов и проведения касательных. Третий – алгебра, дававшая удобную символику и формальный аппарат, приведший, напр., к представлению функций в виде рядов. Метод координат связал геометрию с алгеброй (Декарт, 1637), а затем и с анализом – кривые задаются функциями, функции изображаются кривыми. Этот синтез сыграл важную роль в становлении и развитии как анализа, так и геометрии. Предметом этой последней также становятся любые (достаточно "гладкие") кривые. После Ньютона и Лейбница получил чрезвычайно интенсивное развитие математич. анализ. Его идеи и методы проникли в более старые области М. (геометрию, алгебру, теорию чисел), возникли новые его приложения и ответвления (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия). Выяснение основ анализа (общее определение функции, теория пределов и др.) совпало с началом следующего периода в развитии М. Следующий этап длится с 1-й пол. 19 в. до сер. 20 в. и характеризуется тем, что в предмет М. включаются формы и отношения, не являющиеся уже пространственными и количественными в первоначальном смысле слова, причем нек-рые из этих форм и отношений определяются внутри самой М. Одновременно интенсивно развиваются и подвергаются воздействию новых идей ранее определившиеся области М. В результате всего этого М. превращается из науки о количеств. и пространств. отношениях и формах, какой она была прежде, в науку о логически возможных чистых формах только сходных, вообще говоря, с количественными и пространственными. Этот переворот идет неск. путями. Появляется неэвклидова геометрия (Лобачевский, 1826; Я. Бойай, 1832), формируется понятие многомерного пространства, выделяются теории отд. свойств фигур (проективная геометрия, топология и др.). На место одной эвклидовой геометрии появляется бесконечное множество разных "геометрий" – теорий возможных, формально сходных с пространственными, форм и отношений. Из них важнейшие: риманова геометрия (Б. Риман, 1854) и топология. Полученная на пороге 19 в. геометрич. интерпретация введенных еще в 16 в. мнимых (точнее – комплексных) чисел сняла с них покров таинственности и дала толчок дальнейшему расширению понятия числа и величины (гиперкомплексные числа, векторы, тензоры и др.), а также созданию новой области анализа – теории функций комплексной переменной. Одновременно (начиная от Э. Галуа) складываются совершенно новые направления алгебры: теория групп и др. алгебраич. систем. Каждая такая система есть множество к.-л. элементов, между к-рыми имеются отношения, формально сходные с отношениями между числами (между слагаемыми и суммой, сомножителями и произведением, отношение порядка "больше" – "меньше" и др.). Алгебра из учения о формальных действиях с числами и решении уравнений превратилась в науку о любых таких системах.

В этот же период идет бурное развитие сохраняющего свою центр. роль в М. математич. анализа, а также уточнение его осн. понятий: предела, функции переменной (т.е. произвольного вещественного числа). Ставшие общепринятыми к 1870 представления, что "числовая прямая" должна рассматриваться как множество чисел, а любая геометрич. фигура как множество точек, привели к созданию Кантором теории множеств, в т.ч. специально теории точечных множеств, оказавшей громадное влияние на М. Во-первых, на почве теории точечных множеств были обобщены осн. понятия анализа (функция, производная, интеграл и др.), вошедшие затем в аппарат теорий, непосредственно связанных с приложениями (напр., теории дифференц. уравнений), а также в геометрию, где теперь исследуются фигуры гораздо более общие, чем прежде. Во-вторых, теория множеств породила в М. общую теоретико-множественную т. зр., согласно к-рой всякий объект М. трактуется как множество каких-то элементов, в к-ром имеются те или иные отношения (между элементами, между элементами и подмножествами – частями этого множества, между подмножествами). Пространство определяется как множество точек (тогда как, напр., Риман определял его как "протяженность"); область изменения переменной – как множество ее допустимых значений; функция может быть определена как множество упорядоч. пар (значение х и соответствующее значение у) и т.д. Это придало М. бóльшую ясность и единообразие и облегчило точные определения вновь вводимых понятий. Вершиной рассматриваемого этапа в развитии М. явился функциональный анализ, возникший в начале 20 в. В нем соединились идеи и методы совр. анализа, геометрии и алгебры. Он дал новую постановку многим задачам теории функций, теории дифференц. и интегр. уравнений и вариационного исчисления, открыл новые сильные методы их решения и явился адекватным аппаратом для квантовой механики.

Середина 20 в. является началом нового этапа в развитии М., к-рый опять-таки характеризуется существенным расширением ее предмета и развитием принципиально новых идей. Приобретают особую роль разделы, посвященные исследованию самих способов и возможностей математич. вывода (математич. логика, теория алгоритмов). Эти математич. дисциплины оказывают существенное влияние на более старые области М.: ищутся схемы решений, к-рые можно осуществлять на машинах, оформилось целое конструктивное направление в М., изучающее проблемы алгоритмич. решения задач, доказательства теорем и построения математич. теорий. Возникли новые дисциплины: теория информации, теория автоматов, теория игр (помимо игр в собственном смысле, эта теория рассматривает вопросы военной тактики, производств. и экономич. задачи, вопросы выбора системы экспериментов и др.; к ней примыкают также спец. методы планово-экономич. расчетов). Характерным является также усиление роли и расширение приложений теории вероятностей (с к-рой связана теория информации и др. указанные новые дисциплины), зародившейся еще в 17 в. и развивавшейся с нарастающей интенсивностью, особенно по мере того как со 2-й пол. 19 в. стало все более выясняться значение статистических закономерностей (см. Вероятность). Все это связано с распространением применений М. на биологию, лингвистику, новые области техники, практич. задачи планирования произ-ва, обществ. науки и др. Можно сказать, что новый предмет М. составляют "сложные" системы, их структура и "поведение", т.е. переходы из одних состояний в другие (см. Кибернетика).

О с н о в а н и я М. Основание всякой науки лежит в действительности, к-рую она отражает. Однако М. имеет своим непосредств. предметом не сами объекты и явления действительности, а идеальные объекты, к-рые она рассматривает умозрительно, исключая из своих аргументов ссылку на опыт. Отсюда проистекает особая, характерная именно для M. постановка вопросов о ее основаниях. Задачу оснований М. составляет анализ ее осн. понятий, осн. посылок ее теорий и способов доказательства. Сюда же примыкают вопросы об истинности математич. утверждений и существовании математич. объектов. Основания М. стали предметом исследования вместе с формированием чистой М. Греки, приведя геометрию в логич. систему, выявили те осн. положения (аксиомы), к-рые могли быть положены в ее основу. Теперь ясно, что система аксиом Эвклида была далеко не полной, но важен самый факт сознательного и уже довольно тонкого анализа оснований геометрии. (Для арифметики подобный анализ явился делом уже 19 в., что естественно, т.к. понятие целого числа представляется более очевидным и более ясным, чем осн. понятия геометрии.) Греки же начали исследование возможной зависимости одних аксиом геометрии от других: они стремились вывести аксиому о параллельных из др. аксиом Эвклида. Двухтысячелетняя история этих попыток завершилась построением геометрии Лобачевского, в основе к-рой лежит отрицание этой аксиомы. Возникновение неэвклидовой геометрии и др. абстрактных теорий, знаменовавшее в 19 в. новый этап в развитии М., вместе с анализом основ более старых теорий привело к существенно более глубокому исследованию оснований М. На почве этих исследований оформилось следующее понимание аксиоматич. "обоснования" математич. теорий. Предмет любой данной теории составляет нек-рое множество объектов с нек-рыми отношениями между ними, причем природа объектов никак не определена. Свойства же отношений точно формулируются в соответств. аксиомах. В этом виде аксиоматика данной теории составляет определение ее предмета. Конкретным же предметом теории может служить любое множество объектов с отношениями, для к-рых выполняются аксиомы, если входящие в них термины истолкованы соответств. образом (подробнее см. Метод аксиоматический). Важнейшим из относящихся к любой аксиоматич. системе вопросов является вопрос о ее непротиворечивости (т.е. попросту осмысленности, т.к. противоречивая теория заведомо не может иметь никакого реального смысла). Она доказывается тем, что дается какая-нибудь интерпретация (модель) системы аксиом. Такая модель строится на основе к.-л. др. математич. теории, и тем самым вопрос сводится к непротиворечивости последней. Так, геометрия Лобачевского истолковывается в эвклидовой геометрии, а этой последней дают аналитич. интерпретацию, в к-рой точка плоскости определяется как пара чисел. Однако понятие (аксиоматика) вещественного числа также нуждается в выяснении непротиворечивости. В общем, метод интерпретаций не дает окончат. доказательства непротиворечивости никакой теории, а лишь сводит одну теорию к другой, так что вопрос о непротиворечивости математич. теорий не может быть решен на этом пути в рамках самой М. В конечном счете, убеждение в состоятельности таких теорий М., как, напр., арифметика, оказывается той же природы, что и убеждение в состоятельности теорий естествознания: оно основано на том, что в этих теориях при всем их долгом развитии не обнаруживаются противоречия, что эти теории имеют громадное поле приложений, что они отражают действительность.

Однако анализ оснований М. породил др. путь решения той же проблемы, состоящий в исследовании самих логич. средств математич. доказательства, что составляет задачу математич. логики. Если мы отвлекаемся от какой бы то ни было интерпретации, то единственным критерием правильности теоремы оказывается то, что она строго доказана. Математич. объект (напр., решение к.-л. уравнения) считается существующим, если доказано его существование. Речь идет не об истине как соответствии утверждения действительности, не об объективном существовании, а о логич. доказуемости. Но что значит точное доказательство? Противоречия, обнаружившиеся в нек-рых далеких выводах теории множеств, обострили этот вопрос, поскольку идеи этой теории пронизали все основания М. Убеждение в истинности М., основанное на ее гигантских достижениях, не могло снять указанного вопроса. Отказ от его решения означал бы подрыв доверия к строгости дедуктивного метода М. Стремясь спасти положение, нем. математик Д. Гильберт поставил проблему оснований М. следующим образом. Математич. теория трактуется чисто формально (отсюда название учения Гильберта – формализм), т.е. она строится на основе: перечня основных понятий; точного описания правил формулирования допустимых (считающихся осмысленными в этой теории) утверждений и определений; формулировок исходных утверждений (аксиом); указания правил вывода одних утверждений из других. Тогда утверждения теории можно записывать в подходящих символах и рассматривать правила формулирования и вывода просто как правила оперирования с этими символами. Теория превращается в формальную схему, и вопрос о непротиворечивости, о доказуемости в ее пределах той или иной теоремы сводится к исследованию этой схемы. Значение этой т. зр. состоит не только в том, что она очень четко ставит вопрос о математич. доказательстве, но и в том, что, превращая теорию в схему механич. выкладок, позволяет, хотя бы в принципе, передать осуществление этих выкладок машине. В этой связи особое значение приобретает теория алгоритмов (см. Алгоритм). Машина же есть объективный предмет и ее работа – объективный процесс, а не теория, так что здесь основания М. опять приходят к объективной действительности, хотя и др. образом. (М. как совокупности таких формальных схем противопоставляется метаматематика как учение о самих этих схемах, но на самом деле формальная схема уже не есть наука, так что метаматематика и есть М.)

Однако очень скоро выяснилось, что указанный подход не решает проблемы: было доказано, что никакая формальная теория не может исчерпать даже арифметику; доказательство непротиворечивости формальной теории не может быть получено в рамках самой этой теории. Всегда неизбежен переход от данной теории к более широкой и т.д. Напр., непротиворечивость обычной арифметики доказана с помощью т.н. конструктивных трансфинитных чисел. Но хотя такое доказательство удается провести средствами, убедительность к-рых весьма велика (логич. их база есть минимальная логика), относительно них также может быть поставлен вопрос о непротиворечивости и т.д. (см. Метатеория). Т.о., дедуктивный метод М. был спасен не в том окончат. смысле, как надеялся Гильберт. Перед основаниями М. лежит путь бесконечного развития и уточнения, а окончат. основания М. так или иначе упираются в отношение ее к действительности.

Отношение М. к действитель-ности и к другим наукам. Возникнув из прямого отражения природы, постоянно заимствуя из нее новые понятия, М. отделяет их от действительности, закрепляет их и идет дальше в значит. мере путем внутр. развития, путем логич. доказательства теорем, образования новых понятий, построения новых теорий. А эти теоремы, понятия, теории применяются потом к исследованию действительности. По мере восхождения ко все более высоким абстракциям связь М. с практикой, с действительностью становится все менее непосредственной и осуществляется через др. науки. Во-первых, она черпает в них новые задачи, новые понятия, источники новых теорий и импульсы к развитию. Напр., вся теория дифференц. уравнений возникла и развивается под решающим влиянием механики и физики. Во-вторых, М. выступает по отношению к др. наукам как метод формулировки количеств. закономерностей, как аппарат для построения и разработки теорий, как средство решения задач. Влияние М. распространилось в наст. время не только на точные науки (механику, астрономию, физику), но и на др. естеств. науки и нек-рые области обществ. наук. При этом М. служит не только средством исследования отд. вопросов (напр., математич. статистика применялась в обществ. науках уже давно), но также влияет на формирование новых понятий и теорий. М. приобретает все большее эвристич. значение, особенно в физике, где порой сначала пишутся уравнения, а потом выясняется их физич. смысл. Так было, напр., с квантовой механикой.

Значение М. состоит именно в том, что она оказывается методом, своего рода "идеальной техникой", создающей аппарат для др. наук. Это ясно видно из таких выражений, как, напр., "математический аппарат квантовой механики", или из отношения римановой геометрии к общей относительности теории, для к-рой она явилась готовым аппаратом. Понимание М. как идеальной техники не противоречит ее определению как науки о "чистых" формах, поскольку дедуктивное исследование логически возможных чистых форм и есть построение математич. аппарата.

Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоят. объектов, М. не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее (напр., математич. континуум включает свойства, которыми не обладают реальные величины, т.к. они не имеют абсолютно точных значений). Это тем более верно в отношении логически возможных форм, определяемых внутри самой M.: они создаются, а не копируются, так же как далеко идущие логич. выводы из исходных понятий могут вести и ведут к результатам, не имеющим прямого прообраза в природе (как, напр., теорема о существовании неизмеримых множеств). Невозможность прямой опытной проверки подобных выводов и самое исключение опыта из математич. аргументации влечет специфич. постановку вопроса об истинности таких выводов, об истинности математич. теорий вообще. Теорема считается верной, если она доказана. Математич. теория верна (осмысленна), если она логически последовательна, непротиворечива. Но истина состоит в соответствии с действительностью, а логич. связь понятий и выводов – лишь ступень в ее познании. Чистая М. лишь постольку оказывается наукой, а не произвольным логич. построением, поскольку она отражает действительность, но устанавливается это на высокой ступени абстракции не непосредственно, а через др. науки. Чистая М. исходит из практики и возвращается к ней в виде прикладной М. В этом постоянном взаимном переходе прикладной М. в чистую и обратно и состоит главная движущая сила развития М. Поэтому математич. теория, будучи сама по себе (а тем более в ее формально-аксиоматич. понимании) только возможной схемой описания к.-л. сторон, явлений действительности, оказывается истинной или ложной только в приложении. А такое приложение не бывает абсолютно точным и потому не устанавливает истинности теории во всем ее логически возможном развитии. Так, нек-рым результатам теоретико-множественной геометрии (независимо от того, непротиворечива ли она) не удается приписать никакого реального смысла (напр., теорема Хаусдорфа о существовании разбиения сферы на такое конечное число "неизмеримых" частей, из к-рых можно составить две сферы того же радиуса).

Сказанное выражает коренное диалектич. противоречие в самой сущности М., являющееся специфическим для нее проявлением того общего противоречия познания, что отображение мыслью всякого элемента действительности, выхватывая его из общей связи природы, упрощает, огрубляет и вместе с тем придает ему дополнит. свойства. Проявлением этого противоречия М. служит то, что в ее абстрактности и точности заключаются ее сила и ее ограниченность. Это же противоречие обусловливает трудности оснований М.

С т р у к т у р а М. Совр. М. состоит из след. осн. разделов: 1) алгебры; 2) теории чисел, изучающей закономерности натурального ряда и др. числовых систем; 3) геометрии, из к-рой выделяется 4) топология, изучающая т.н. топологич. пространства, т.е. пространства, в к-рых определены понятия предела и непрерывности; 5) теории функций (одной и нескольких вещественных или комплексных переменных, функций множества, обобщенных функций); 6) теории дифференциальных и интегральных уравнений; 7) функционального анализа [разделы 5), 6) и 7) часто объединяют под общим назв. математич. анализа ]; 8) вычислит. методов (примыкающих к алгебре и анализу); 9) теории вероятностей; 10) математич. логики и теории алгоритмов. Чрезвычайно сложная структура М. весьма приблизительно описывается приведенной классификацией, отнесение к.-л. конкретной математич. проблемы к одному из ее разделов часто бывает условным. Так, на стыке 1) и 4) лежит т.н. топологич. алгебра, предмет к-рой – алгебраич. системы, являющиеся в то же время топологич. пространствами (простейший пример – "числовая прямая"); геометрия переплетается с анализом и т.п. При др. классификации можно выделить,- напр., раздел "Математич. проблемы кибернетики", в к-рый попадают такие математич. дисциплины, как теория автоматов [из 1) ], теория информации [из 9) ], теория игр и т.д. Наконец, из 5) обособилась теория множеств, исследования по к-рой вместе с проблемами математич. логики (в т.ч. теории алгоритмов) можно рассматривать в качестве содержания спец. математич. дисциплины – о с н о в а н и й м а т е м а т и к и.

М. и философия. М. всегда играла большую роль в философии и испытывала на себе ее влияние. Так; математич. понятия о бесконечности, о непрерывности с момента их появления служили предметом филос. анализа; С ними связаны апории Зенона Элейского, в 17 в.– рассуждения о бесконечно малых и пр. Борьба материализма и идеализма в М. идет через всю ее историю от Древней Греции, где против материализма Фалеса, Демокрита и других философов, заложивших основы М., выступил идеализм Пифагора, Платона и др. Идеализм находит в М. удобную почву из-за ее абстрактного, умозрит. характера. Уже в элементарной абстракции, как отметил Ленин, заключается возможность идеализма. Платон считал достойной внимания истинного философа только чисто теоретич. геометрию, исключая из нее даже исследование конич. сечений, поскольку для вычерчивания они "нуждаются в применении орудий пошлого ремесла". Положение платонизма о самостоят. бытии идей несомненно связано по своему происхождению с отделением понятий М. от их конкретного основания. Позже М. сыграла решающую роль в формировании рационализма, к-рый видел в ее умозрительном, строго логич. характере идеал познания. Кант в построении своей философии исходил прежде всего из вопроса о том, как возможна чистая М. Упуская из виду ее происхождение из опыта, а видя лишь обязательность ее выводов, он приписывал ей априорный характер. Представление об априорности геометрии повлекло представление о пространстве как об априорной форме восприятия и т.д. Т.о., кантианство в большой мере выросло из неправильного понимания М. Начиная от греков М. играла несомненную роль в развитии логики; особенно эта роль усилилась с сер. 19 в. в связи с исследованием основ М., анализом ее логич. средств, возникновением математич. логики, что оказало на самое логику громадное преобразующее влияние. На этой почве выросла философия т.н. логического позитивизма, подобно тому как "физический идеализм" вырос на почве революции в физике.

Особенности М. служили источником разнообразных идеалистич. течений в понимании ее сущности. Это прежде всего платонизм в М., приписывающий математич. абстракциям самостоят. существование. Он более или менее осознанно сохраняется на всем протяжении истории М., но особенно ясно был выражен Кантором, к-рый приписывал бесконечным множествам, а вместе с ними всем понятиям М. некое объективное самостоятельное существование. Это платоновско-канторовское воззрение может быть характеризовано как теоретико-множественный идеализм.

Затруднения в обосновании теории множеств вызвали против нее субъективно-идеалистич. реакцию интуиционизма и ряд др. течений: логицизм, конвенционализм, эффективизм, формализм, причем интуиционизм и особенно формализм сыграли большую роль в выяснении оснований М.

Идеализму в М. всегда противостоял материализм. Крупнейшие математики, особенно те, чьи исследования были тесно связаны с естествознанием, придерживались, как правило, хотя бы стихийно, материалистич. взглядов на свою науку. Диалектико-материалистич. понимание сущности M. было дано Энгельсом в "Анти-Дюринге". Оно разрабатывается сов. математиками. Важны для понимания М. данные Лениным в его "Философских тетрадях" положения о сложности пути познания, о роли абстракции, о единстве и борьбе противоположностей в познании и др. Метафизич. материализм, "...основная б е д а коего есть неумение применить диалектики к Bildertheorie (теории отражения.– Ред.), к процессу и развитию познания" (Соч., т. 38, с. 360), не может верно понять М. во всей сложности ее развития и отношения к действительности. Он либо стремится придать математич. абстракциям слишком непосредств. объективный смысл и тогда смыкается с платоновско-канторовским идеализмом, либо доходит до отрицания правомерности математич. абстракций, т.е. до отрицания правомерности чистой М. В противоположность всем оттенкам идеализма и метафизики диалектический материализм рассматривает М. такой, как она есть, во всем богатстве и сложности ее связей и развития и поэтому ведет к верному ее пониманию.

Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, в кн.: Mapкс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 36–9, 88–9; его же, Диалектика природы, там же, с. 500–01, 509, 572–87; Ленин В. И., Соч., 4 изд., т. 38, с. 105–06, 200–02, 371; М., ее содержание, методы и значение, т. 1–3, М., 1956; Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, 2 изд., т. 10; Колмогоров Α. Η., Μ., БСЭ, 2 изд., т. 26 (имеется библ.); М. в СССР за сорок лет. 1917–1957, т. 1–2, М., 1959.