Akademik

        направление в логико-филос. основаниях математики, исходящее из выдвинутого Лейбницем тезиса о «сводимости математики к логике», согласно которому математика изучает т. н. аналитич. истины, т. е. утверждения, «истинные во всех возможных мирах». В систематич. виде доктрина Л. была изложена Фреге в «Осн. законах арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik», Bd 1—2, 1893—1903), где основное для математики понятие натурального числа сводилось к объёмам понятий, а теоремы арифметики доказывались средствами некоторой логич. системы. Эта доктрина была развита затем Расселом, обнаружившим парадокс (противоречие) в системе Фреге и предложившим в совместном с Уайтхедом трёхтомном труде «Principia Mathematica» (1910—13) т. н. теорию типов, в которой этот (как и другие) парадокс устранялся с помощью спец. иерархии логич. понятий. Однако для построения классич. математики в «Principia Mathematica» пришлось включить аксиомы, не удовлетворяющие критериям аналитич. истинности и характеризующие конкретный «математич. мир» и описываемый им мир реальных вещей и событий. С др. стороны, Гёделъ показал (1931), что все системы типа «Principia Mathematica» и более сильные (т. е. во всяком случае все системы аксиоматич. арифметики и теории множеств) существенно неполны: их средствами нельзя доказать некоторые формулируемые в них содержательно-истинные утверждения. Т. о., осн. тезис Л. можно считать опровергнутым. Однако работы Рассела и его последователей (напр., У. Куайна) способствовали формированию и уточнению ряда важнейших логико-математич. и методологич. идей и развитию соответствующего формального математич. аппарата.

        Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А.,Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3.

направление в области филос. проблем математики, пытающееся обосновать математику путем сведения ее к логике, т.е. путем определения ее "неопределяемых" (исходных) понятий в терминах логики, формулировки всех вообще ее предложений на "языке" математической логики и доказательства их (в т.ч. и аксиом) по правилам этой же логики.

Предшественником Л. считается обычно Лейбниц, основателем Л. является Фреге, предпринявший попытку построить арифметику натуральных чисел как систему предложений, выводимых по правилам логики из сформулированных им (в терминах логики) определений натуральных чисел и операций с ними.

Поскольку в это время уже было осуществлено сведéние геометрии к алгебре (аналитич. геометрия) и анализу (дифференциальная геометрия), математический же анализ удалось арифметизировать (путем теоретико-множеств. сведéния действит. чисел к множествам множеств и т.д. натуральных чисел), то от осуществленного Фреге сведения натуральных чисел к объемам понятий уже, казалось, было недалеко к сведéнию всей вообще математики к глубоко и тонко разработанной Фреге, хотя и очень громоздкой, системе логики.

Однако в системе Фреге Расселом было обнаружено противоречие, известное под названием "парадокса Рассела" (см. Парадоксы), побудившее Рассела предпринять новую попытку свести "чистую" математику к "чистой" логике, использовав осн. идею Фреге и введенную Пеано удачную математич. символику. Эта попытка, сделавшая Рассела осн. представителем Л., была осуществлена им вместе с Уайтхедом в большом, трёхтомном, и все же незаконченном труде "Principia Mathematica" (1910–13), сыгравшем важную роль в дальнейшей истории математич. логики и оснований математики. В ходе жарких дискуссий, к-рыми было встречено появление этой работы (наиболее резкой, хотя и отнюдь не справедливой, была критика Л. со стороны Пуанкаре), были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что классич. "чистая" математика вообще не может быть сведена к логике, трактуемой, как этого хотел Рассел, как система тавтологий, истинных a priori (или, по Лейбницу, верных вообще во всех "возможных мирах", и потому ничего не говорящих нам о мире, в к-ром мы живем и действуем). Действительно, именно в применении к Principia Mathematica и родственным ей системам были доказаны Гёделем (1931) его осн. теоремы о их принципиальной неполноте (т.е. о невозможности вывести ни в одной из них все содержательно истинные предложения математики) и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Эти теоремы, – а также доказанная вскоре (1936) Чёрчем неразрешимость разрешения проблемы в системах типа Principia Mathematica – равно как и обнаруженная самим Расселом невозможность доказать, не обращаясь к естествознанию, необходимую ему аксиому о бесконечности множества вещей в мире или логически обосновать т.н. аксиому сводимости, к-рую Рассел вводил с целью избежать нарушений "принципа порочного круга" в определениях понятий в его системе, не выбрасывая из нее ряда осн. теорем классич. математики, – показали неосуществимость попыток обосновать классич. (теоретико-множественную) математику, трактуя ее как логику, строящуюся a priori, т.е. по существу идеалистически.

Большинство позднейших последователей Л. пытается исправить недостатки системы Рассела с помощью т.н. "конструктивного номинализма" (см. Номинализм), трактующего множества (объемы понятий) не как особые абстрактные сущности или единичные "идеальные объекты", обладающие самостоят. существованием наряду с вещами, из свойств к-рых они, согласно особому "принципу абстракции", были извлечены, а лишь как коллективы, состоящие из отдельных (изолированных друг от друга) конкретных вещей. Такого рода системы были разработаны или намечены, напр., Лесьневским и его учениками, а также амер. логиками Куайном, Гудменом, Мартином, Вуджером, Генкиным и др. Сам Рассел в дальнейшем также пытался искать выход из обнаруженных им трудностей, интерпретируя свою систему в духе, отличном от его первоначальных намерений; но, перейдя на позиции, гораздо более близкие к т. зр. Венского кружка неопозитивистов, не случайно не нашел при этом выхода из трудностей, с к-рыми встретился. [О первоначальных идеях Рассела, направленных против трактовки математич. объектов и истин как произвольных творений нашего разума, хорошо говорят, напр., следующие слова из его статьи "Recent work in the philosophy of mathematics" (1901): "Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но есть только мнение и частное суждение; что каждый из нас обусловлен, в своей точке зрения на мир, его личными особенностями, личным вкусом и склонностями; что нет внешнего царства истины, к которому с помощью терпения и дисциплины, мы можем, наконец, получить доступ, но есть только истина для меня, для тебя, для каждой отдельной личности. Людьми этого склада ума отрицается одна из главных целей человеческих усилий, и высшее достоинство беспристрастия, бесстрашного познания того, что есть, ускользает от нашего морального взора. По отношению к такому скептицизму математика является неизменным укором, ибо ее здание истин стоит непоколебимо и неприступно ни для какого оружия сомневающегося цинизма" ("Mysticism and Logic", 1917, p. 71) ].

To обстоятельство, что Л. оказывается неспособным решить проблему обоснования математики, связано, прежде всего, с тем, что сама проблема поставлена неправильно. Когда в уже построенной математике обнаруживаются противоречия и трудности, то речь идет не просто об "обосновании" математики, а о ее перестройке, и притом такой, к-рая ориентирована на материалистич. критерий практики, т.е. предполагает такое истолкование абстрактных объектов математики (и относящихся к ним предложений), к-рое позволило бы применять математич. теории на практике (к построению др. математич. теорий, к естествознанию и технике, к экономике, языку и др. областям человеч. жизни и деятельности), к-рое позволило бы, иными словами, находить в материальной действительности и отражающей ее науке конкретные (во всяком случае, менее абстрактные) прообразы абстрактных объектов математики, обусловливающие возможность ее применения в тех случаях, к-рые действительно встречаются на практике. Для понятия натурального числа такими прообразами были еще с антич. древности модели в виде линейно расположенных последовательностей палочек, камушков, косточек, четок и др. достаточно жестких объектов. Именно эти модели и легли в основу того определенна числа как "слова" в алфавите, состоящем из букв 0 и 1, к-рое принято в сов. школе конструктивной математики А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их учеников. Определение же количественного числа по Фреге и Расселу, т.е. как множества множеств, равномощных данному, отнюдь не имеет эффективного характера, позволяющего воспользоваться им на практике. Прежде всего, поскольку самое понятие "множества" или "объема понятия" трудно поддается уточнению. Даже те понятия, объем к-рых заведомо мыслится в виде нек-рого коллектива материальных объектов (списка его членов), в большинстве случаев не имеют достаточно жесткого объема (известно, какие трудности приходится преодолевать, напр., при уточнении понятия "гражданин данной страны", в связи с организацией переписи населения для выяснения объема этого понятия; с аналогичными трудностями приходится иметь дело вообще при организации любого учета, всегда состоящего в том, что уточняется объем нек-рого понятия, понимаемый в самом простом смысле: т.е. как список материальных объектов). Но даже научно уточненные уже понятия диалектически изменяются вместе с развитием науки, причем не всегда оказываются имеющими неизменяющийся – в ходе нашего рассуждения о них – объем (к ним не всегда применима т.н. "аксиома свертывания"). Сам Рассел не только не считает понятие "множества" само собой разумеющимся, но, даже объявляет его "фикцией" (т.е. имеющим смысл лишь в контексте). А как осуществить практически множество множеств, равномощных множеству пальцев моей руки? Такие определения "сводят" абстрактное понятие к абстрактным же понятиям, и притом не более низкого, а более высокого уровня абстрактности и поэтому, хотя и выясняют характерные для этих абстракций связи между ними, но вряд ли осуществляют действительное сведение сложного к простому, абстрактного к его восполнению (или реализации) в конкретных объектах, с к-рыми можно оперировать на практике и к-рые – в тех случаях, когда абстрактный объект или понятие таким образом peaлизуется, – допускают проверку с помощью материалистич. критерия практики.

При всех ее недостатках, в системе Principia Mathematica, и особенно в работах Фреге, есть много важных и интересных результатов логич. анализа, относящихся к понятиям "объекта" и его "имени", "упоминания" и "употребления" термина, "смысла" и "значения", "функции" и "отношения" и мн. др. Особенное значение имеет разработанная Расселом, с целью избежать парадоксов теории множеств, типов теория, к-рая равносильна нек-рому включению времени, развития и движения в логику, т.е. содержит элементы диалектики.

На истории Л. лишний раз подтверждается ленинский прогноз о том, что действительный прогресс науки нашего времени всегда будет удовлетворять требованиям материалистич. диалектики, между тем как всякие попытки использовать этот прогресс науки для к.-л. идеалистич. выводов неизбежно будут терпеть крушение.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ч. I, с. 15–17, 45–47; Бирюков Б. В., О работах Г. Фреге по филос. вопросам математики, в кн.: Филос. вопросы естествознания, вып. 2, М., 1959; Гетманова А. Д., О взгляде Бертрана Рассела на соотношение математики и логики, "Вестн. МГУ. Серия экономики, философии, права", 1959, No 1; ее же, О соотношении логики и математики в системах типа Principia Mathematica, в сб.: Логич. исследования, М., 1959; Яновская С. Α., О филос. вопросах матем. логики, в сб.: Проблемы логики, М., 1963; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, М., 1963; Frege G., Begriffsschrift... Halle, 1879; англ. пер., Oxf., 1952; его же, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884; англ. пер., Oxf., 1950; его же, Grundgesetze der Arithmetik, Bd 1–2, Jena; 1893–1903; оба тома частично перев. на англ., Oxf., 1952; Whitehead Α. N. and Russell В., Principia Mathematica, v. 1–3, Camb., 1910–13; 2 ed., v. 1–3, Camb., 1925–27; Russell В., Introduction to mathematical philosophy, 2 ed., L., 1924; нем. пер., Münch., 1930; его жe, The principles of mathematics. 2 ed., L., 1937; Gödel K., Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, "Monatsh. Math. und Physik", 1931, Bd 38; его же, Russell's mathematical logic, в кн.: The philosophy of Bertrand Russell, ed. by P. A. Schlipp, Evanston, 1944, p. 123–53; Church Α., An unsolvable problem of elementary number theory, "Amer. J. Math.", 1936, v. 58, p. 345–63; Goodman N., Quine W., Steps toward a constructive nominalism, "J. Symbolic Logic", 1947, v. 12, No 4; Martin R. M. and Woodger J. H., Toward an inscriptional semantics, "J. Symbolic Logic", 1951, v. 16, No 3; Вeth E. W., The foundations of mathematics, Amst., 1959, ch. 13, p. 353–64; Luschei E. C, The logical systems of Lesniewski, Amst., 1962 (имеется библ. работ Лесневского); Lakatоs I., Infinite regress and foundations of mathematics, [Proceeding of the ] Aristotelian Society, suppl. v. 36, L., 1962, p. 155–84.

    ЛОГИЦИЗМ — одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основополагающим фактором в становлении философии логицизма явилось развитие на рубеже 19—20 вв. логики символической, которую логицизм рассматривает, как органон математики, а точнее, сводит математические утверждения к формальным импликациям логики. Г. Фреге первый построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов — имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее использовались в дальнейшем.

    По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный логицизм все больше сближался с формализмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. И все же отметим принципиальное методологическое отличие логицизма от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абстрактный объект и понятия — не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, а для платониста математические понятия уже существуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия — плод мощных и фундаментальных логических конструкций, а не свободной игры ума, но вопрос об их существовании до и вне построений даже не ставится.

    Логицизм конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений — принадлежности элемента классу “е ”, применения функции к аргументу, именования и “часть—целое”.

    За решение грандиозной задачи явного построения математики как логической системы, базирующейся на отношении “е ” и свободной от парадоксов, взялись Уайтхед и его ученик Б. Рассел, написавшие энциклопедический и скрупулезный труд. Этот труд до сих пор остается непревзойденным в части явно проделанного конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем выявлены многие тонкости, которые положили начало целым направлениям исследований.

    Во-первых, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Так, исходные элементы были объектами нулевого типа, их множества — объектами первого типа, а множества объектов п-го типа — объектами η + 1-го типа. В любом отношении равенства правая и левая части должны иметь один и тот же тип, а в отношении принадлежности te и — тип объекта ? должен быть на 1 меньше типа объекта и. Эта концепция строгой типизации была затем использована в ?-исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: X'.

    При таком ограничении языка принцип свертки 3Y+ 1ух'(х е Y => А(х)), введенный Фреге и позволяющий определять множества, становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений кроме того, что она не содержит свободно Y. Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык явно ввел польский логикЛ.Хвистекв 1921.

    Далее, они заметили, что в их языке равенство может быть формально выражено через отношение принадлежности: Ух'у'(х = у =”. VZ14• ι (χ е Ζ => у е Ζ)).

    Но принцип экстенсиональности, дающий возможность отождествлять множества с одинаковыми элементами, нужно постулировать отдельно: νχ'+ΐγι+'(χ = у ^ vz•(z е Χ ” z е Y)).

    Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям других наук.

    Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универсума, пробегаемого переменными типа i + 1, входящими в А, приводит к изменению объема ^+. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г. Вейль, верхняя грань множества действительных чисел порядка k может быть порядка k + I.A. Геделъ показал, что для некоторого ординала α совокупность множеств порядка α образует модель аксиомы свертки, а если перевести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.

    Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка η существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л. Хвистек и Ф. П. Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид t' е Х'^, j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов.

    Линия логицизма была продолжена У. Куайном, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации). Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. B NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие χ = х, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, не получено соотношений между стандартными теориями множеств и NF. При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо достаточно слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа η быть членами множеств типа η + 1 и η + 2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории.

    Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF, может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н. Н. Непейвода). Т. о., NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в другой теории конструкции. Это позволяет рассматривать такие объекты, как категория всех категорий.

    Продолжением логицизма в области другого фундаментального отношения явились ?-исчисление и комбинаторная логика. Их идея — построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции λχ. Καρρυ показал, что добавление импликации к неограниченному ?-исчислению приводит к противоречию, но ?-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта — бестиповое и типизированное. Рассмотрены и системы ?-исчисления с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей.

    Л. Хвистек и С. Лесьневский развивали другие логические основания для обшей теории.

    Теория именования (онтология) имеет следующий исходный принцип: VxX(x е Χ а• Ву(у Ђ x&Vyz(y е x&z е χ =” у е z)&Vy(y е χ =” у е X))).

    Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система-ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология — теория, базирующаяся на соотношении “часть—целое”. Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому

    Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят скорее комментаторский характер.

    П. Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и логицизма с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования.

    Сама по себе идея типов и порядков имеет громадное общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией VX(P|&...&P|, =” Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (напр., импликации Vx(Vy(P =” Q) => УУ(Р) => Q,)) и операторы из условий в умения соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и т. д. Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня.

    Лит.: Логицизм (Яновская С. А.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. M., 1964; WiiteheadJ., Russell B. Principia Mathematica. Oxf., 1910—13; Chwistek L. Antynomie logiki formalnej.— “Przegland Filozofski”, v. 20, 1921; Ramsey F. P. The foundations of mathematics and ther logical essays. N. Y—L., 1931; Quine W. v. 0. Mathematical Logic. Cambr. (Mass.). 1951; Lesniewski S. Über die Grundlagen der Ontologie,— Comptes Rendus de Varsoive, v. 23, 1930; Chwistek L. Neue Grundlagen der Logik und Mathematik.— “Mathematische Zeitschrift”, v. 30, 1929, p. 704-724; v. 34, 1932, p. 527-534; Chwistek L. Granice nauki. Lwow—Warszawa, 1935.

    Я. H. Непейвода