Akademik

        направление в основаниях математики и логики, признающее главным и единственным критерием правомерности методов и результатов этих наук их интуитивную — наглядно-содержат. убедительность («интуицию»). И. отвергает использование в математике и логике идеи актуальной бесконечности (см. Абстракция актуальной бесконечности) и взгляд на логику как на науку, «предшествующую» математике. Гл. объектом интуиционистской критики стал широко используемый в классич. математике исключённого третьего принцип. Идеи И.., высказывавшиеся ещё нем. математиком Л. Кронекером и А. Пуанкаре, в явном виде были сформулированы в нач. 20 в. голл. учёным Л. Э. Я. Брауэром и развиты Г. Вейлем (Германия) и ?. Гейтингом (Нидерланды). Гл. причину парадоксов (противоречий, антиномий) классич. математики и логики И. усматривает в представлении, что математику можно «обосновать» какими бы то ни было логич. средствами. С точки зрения И. математику надлежит строить исключительно посредством тех её средств (удовлетворяющих, в частности, требованию эффективности, конструктивности получаемых с их помощью абстрактных понятий), интуитивная убедительность (в случае доказательств и выводов) или интуитивная ясность (в случае конструкций, построений) которых не вызывает никаких сомнений. Для И. понятия «доказательство» и «построение» (как и понятие «интуиция») не могут быть охвачены к.-л. одним «точным» определением. Поэтому никакая система интуиционистски приемлемых правил рассуждений, умозаключений и доказательств не может и не должна кодифицироваться в качестве раз навсегда закреплённой и принятой логики. Только с учётом подобного фундаментального принципа И. можно в некотором смысле считать интуиционистскую логику Гейтинга адекватной идеям этого направления: главное в И. не логика, а интерпретация применяемых логич. средств и математич. рассуждений. В то же время интуиционистская математика может быть описана в виде некоторого исчисления [см. Кл и н и С. К., В е с л и Р., Основания интуиционистской математики с т. зр. теории рекурсивных функций, пер. с англ., 1978 (библ.)]. Идеи И. оказали большое влияние на конструктивное направление. Осн. отличие конструктивизма от И. состоит в том, что неопределяемое и неизбежно субъективное понятие интуиции заменяется в первом к.-л. разновидностью точно определяемого понятия алгоритма (или вычислимой, рекурсивной функции).

        Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1960.

(лат.)

учение об интуиции как самом главном и самом надежном источнике познания.

филос. направление в математике и логике, отказывающееся от использования идеи актуальной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную убедительность ("интуицию") как последнее основание математики и логики.

И. возник на рубеже 19 и 20 вв. прежде всего как реакция на теорию множеств Кантора, в к-рой нашла наиболее полное выражение идея актуальной бесконечности – одна из осн. идей классич. математики и логики. Оформление И. происходило в обстановке кризиса оснований математики, толчок к-рому дало обнаружение парадоксов. Интуиционистская критика классич. математики углубила этот кризис и способствовала широкой постановке проблем обоснования математики и логики.

Критич. замечания по поводу использования идеи актуальной бесконечности имеются уже у нем. математика К. Гаусса. Кронекер ставил под сомнение методы классич. математики, резко выступал против взглядов Кантора. Более близким предшественником И. можно считать Пуанкаре. Основоположником И. является голл. математик Л. Э. Я. Брауэр (p. 1881), выступивший в 1907 с критикой основ классич. математики. В дальнейшем интуиционистская т. зр. на математику получила развитие в работах как самого Брауэра, так и его последователей – Г. Вейля, А. Гейтинга и др.

Взамен отвергаемого понятия актуальной бесконечности и наивного понимания существования в математике (при к-ром это понятие считается не нуждающимся в к.-л анализе) И. кладет в основу своего подхода понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математич. объектов как возможности (хотя бы в принципе) их построения. При этом он отвергает идею о том, что в основании математики должна лежать (дедуктивная) логика. Согласно Брауэру, математика тождественна с точной частью человеч. мышления; с его т. зр. попытки обоснования математики средствами логики приводят к порочному кругу, т.к. логика, будучи составной частью точного мышления, является тем самым частью математики. Радикальная критика классич. логики привела И. к формулировке собств. логич. воззрений, получивших название интуиционистской логики.

Характерной чертой филос. установок И. является понимание интуиции как последнего основания достоверности суждений. При этом под интуицией, т.е. интуитивной убедительностью и интуитивной ясностью, понималась непреложная умозрительная или наглядная очевидность, присущая элементарным шагам рассуждения, отд. суждениям или отд. понятиям; примером интуитивно убедительного, с т. зр. И., суждения может быть суждение "0=0" или суждение "Из А следует А" (для данного конкретного суждения А); одним из интуитивно ясных понятий интуиционисты считали натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ...Отличит. особенностью И. является отказ от попыток точного определения таких понятий, как "доказательство", "построение", а также самого понятия "интуиция". Интуиционисты считают, с одной стороны, что математические (т.е. относящиеся к точной части нашего мышления) доказательства и построения должны обладать достаточной интуитивной ясностью (так, что если относительно к.-л. рассуждения возникает сомнение в том, является ли оно, напр., доказательством, его и не следует считать таковым); с др. стороны, они убеждены, что нет оснований признавать к.-л. попытку определения этих понятий вводящей (уточненное) понятие, адекватное первоначальному (неуточненному) понятию, т.к. с т. зр. И. представляется невозможным охватить одним определением все те способы рассужде-ния, к-рые могут когда-либо оказаться интуитивно убедительными. То же самое относится к понятию построения (к понятию функции, закона соответствия) с той лишь разницей, что вместо интуитивной убедительности речь должна идти об интуитивной ясности построения. Уже в этом подходе подчеркнута роль субъективного момента в познании. Ведущие представители И., и прежде всего Брауэр, идут, однако, гораздо дальше. Ссылаясь на то, что интуитивная убедительность связана с субъектом, истолковывающим те или иные математич. построения, они переходят на позиции откровенного субъективизма, утверждая, напр., что может быть столько математик, сколько есть математиков. У самого Брауэра субъективизм принял волюнтаристич. оттенок – Брауэр утверждает, что математика есть нек-рый вид человеч. деятельности, с помощью к-рой человек вносит порядок в окружающий его мир и подчиняет его, в т.ч. и др. людей, своей воле. Классич. математика, т.е. математика, опирающаяся на теорию множеств Кантора, широко пользуется понятием актуальной бесконечности, позволяя считать существующими любые бесконечные множества и оперировать с ними как с завершенными целыми; при этом она игнорирует вопрос о том, в каком смысле можно утверждать существование таких множеств. Для нее характерно представление об актуально бесконечном множестве как о чем-то завершенном, существующем до и независимо от всякого процесса порождения, как о чем-то, что может лежать перед нами и быть доступным нашему обозрению; при этом считается само собой разумеющимся, что о бесконечных множествах можно рассуждать по законам классич. логики. С др. стороны, в математике имеется представление о неограниченно растущем (но конечном в каждый момент времени) множестве уже порожденных объектов, т.е. о потенциально бесконечной последовательности. При этом приходится отвлекаться, напр., от ограниченности наших возможностей в рассмотрении хотя и конечных, но чрезмерно больших множеств, от ограниченности нашей жизни и т.д. И. допускает использование в доказательствах лишь понятия потенциальной бесконечности, считая понятие актуальной бесконечности бессмысленным. В математике существование объекта понимается обычно как возможность (хотя бы в принципе) "предъявить" его и осмысленно оперировать с ним. С т. зр. теории множеств предъявление объекта считается в принципе возможным даже в том случае, если оно требует перебора всех элементов нек-рого бесконечного множества или даже всех его подмножеств. И. же, отказываясь от актуальной бесконечности, признает предъявление объекта возможным лишь тогда, когда указан метод его построения.

Критика актуальной бесконечности имеет два аспекта, соответствующих различным ступеням употребления этой идеи. Первый аспект встречается в классич. арифметике натуральных чисел и состоит в допущении свободного рассмотрения натурального ряда как законченной совокупности, об элементах к-рой можно рассуждать по законам классич. логики. Второй аспект обнаруживается при переходе к множеств теории или типов теории, когда вместе с бесконечным множеством считается данной совокупность всех его подмножеств; этот аспект данной идеи обнаруживается уже в классич. теории действит. чисел. С логич. т. зр. при переходе от первого аспекта ко второму возникает новый трудный момент – непредикативные определения. Концепция, состоящая в недопущении лишь второго аспекта идеи актуальной бесконечности, наз. предикативизмом; эту концепцию, на к-рой стоял, напр., Вейль (см. Н. Wehl, Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analyse, Lpz., 1918) до своего перехода к И., не следует смешивать с И., не допускающим актуальную бесконечность в любой форме.

Будучи крайне критичным по отношению к тому, что явно наз. бесконечностью, И. отвлекается от трудностей, связанных с понятием произвольного конечного объекта. И. принимает допущение о том, что натуральный ряд является однозначно определенной последовательностью, известной нам "наизусть" и продолжаемой нами по определ. закону. Принимая абстракцию потенциальной осуществимости, И. не замечает того, что для таких больших чисел, как 10¹⁰¹⁰ никакое построение их в качестве элементов ряда 0, 1, 2, 3, ... не удается даже с помощью этой абстракции, ибо требует 10¹⁰¹⁰ шагов, так что само существование этих чисел в натуральном ряду не удается доказать без порочного круга (т.к. построение потенциально осуществимого объекта следует считать возможным лишь при условии, что оно м. б. осуществлено в натуральное число шагов), что разрушает убедительность тех утверждений о такого рода числах, к-рые доказываются посредством математич. индукции.

Важную роль в И. играет критика логич. принципов, лежащих в основе классич. математики. Эта критика тесно связана с пониманием существования в математике. Напр., И. не может признавать доказательств существования, проведенных методом от противного, т.к. нет основания утверждать, что существует метод, позволяющий извлекать из рассуждений от противного способ построения нужного объекта. Допустив, что нужного объекта не существует и сведя это предположение к противоречию, мы вначале получаем как следствие лишь отрицание того, что нужный объект не существует. Классич. математика и логика делают отсюда вывод о существовании искомого объекта, основываясь на законе снятия двойного отрицания. И. же отказался признать убедительным не только доказательства от противного в применении к утверждениям о существовании, но и доказательства от противного в общем случае, а также закон снятия двойного отрицания и закон исключенного третьего, поскольку для этих законов не находилось интуитивного обоснования.

Интуиционистский подход к проблеме существования определяет и характерное для И. понимание дизъюнкции. Утверждение суждения A/B означает, по существу, утверждение того, что в множестве из двух суждений A и В существует элемент, обладающий свойством "быть истинным". Классич. математика и логика считают такое утверждение доказанным, напр., в том случае, когда утверждение об одновременной ложности обоих суждений А и В опровергнуто приведением к противоречию. Но с т. зр. И. утверждение А/В может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно, из двух суждений А и В истинно. Дизъюнкция существенно участвует в формулировке принципа исключенного третьего: A/А. Если мы попытаемся применить этот закон, напр., к "великой теореме" Ферма (утверждающей, что не найдется такой четверки х, у, z, n целых положит. чисел, что n≠2 и xn+yn=zn), то увидим, что из этого ничего не выйдет; до сих пор не только не удалось доказать или опровергнуть эту теорему, но, более того, не известен метод, следуя к-рому можно было бы в конце концов установить ее истинность или ложность. Чтобы спасти закон исключенного третьего от критики И., недостаточно было бы изобрести метод, позволяющий доказать или опровергнуть теорему Ферма, нужно найти метод, годящийся для решения не только всех нерешенных математич. проблем, но и для любых проблем, к-рые появятся когда-либо в будущем. Сомнения в возможности существования такого метода (ср. Алгоритм) явились для И. убедит. аргументом для неприятия закона исключенного третьего.

Суждение всеобщности ∀xА(x) И. всегда понимает как утверждение о наличии метода, к-рый, коль скоро указан нек-рый предмет x из предметной области М, дает интуитивно ясное доказательство того, что этот предмет обладает свойством А (в отличие от классич. математики и логики, в к-рых это суждение может пониматься как утверждение о фактич. положении вещей в нек-рой конечной или бесконечной области М). Методом доказательства суждений всеобщности, приемлемым с т. зр. И., является математич. индукция. Сходным образом понимается И. и условное суждение. В отличие от классич. понимания импликации, И. понимает суждение A⊃B как утверждение о наличии интуитивно ясного метода перехода, к-рый по каждому интуиционистски приемлемому доказательству суждения А дает интуиционистски приемлемое доказательство суждения В. Суждение A с т. зр. И. может пониматься как утверждение о наличии метода, позволяющего интуитивно ясно вывести противоречие из предположения об истинности А.

На это понимание осн. логич. понятий распространяется, конечно, субъективизм взглядов интуиционистов. Но в применении к отд. математич. доказательствам субъективизм преодолевался благодаря характерной для И. тенденции понимать интуицию (в смысле интуитивной убедительности, интуиционистской приемлемости и т.п.) в самом узком смысле – так, чтобы практически для всех математиков исчезло бы сомнение в том, что рассматриваемое рассуждение или утверждение является интуитивно убедительным. В частности, Гейтингом была построена такая формальная система (см. Логика высказываний и Предикатов исчисление), что выразимые в ней содержат. рассуждения приемлемы с т. зр. Брауэра. Следует отметить, что имеются разные варианты И., различие между к-рыми связано гл. обр. с принятием или неприятием отд. логич. принципов. Важным примером этого рода является недостаточная интуитивная убедительность логич. закона А&А⊃В. Неочевидность этого закона связана с невозможностью указать такую ситуацию, в к-рой имеет место А&А, чем серьезно затрудняется интуитивное обоснование этой импликации. Брауэр принимал этот закон, но нек-рые интуиционисты (Иогансон и др.) от него отказываются; логич. система, получающаяся из системы Гейтинга путем отказа от этого закона, называется минимальным исчислением.

Осуществляя перестройку математики на основе предложенных им принципов, И. создал теорию действит. континуума, теорию множеств и др. Свои математич. теории (начиная с математич. анализа) интуиционисты строят, используя кажущееся им интуитивно ясным понятие свободно становящейся последовательности.

Уже в своей теории действит. чисел И. столкнулся с необходимостью говорить не только об отд. действит. числах (о них можно говорить, напр., как о процессах, порождающих отрезки с рацион. концами, такие, что каждый последующий отрезок вложен в предыдущий, а длина последующего не превосходит половины длины предыдущего отрезка), но и обо всех действит. числах. Считая перечисление всех интуитивно ясных методов построения и определения невозможным и ненужным, И. не мог поэтому в этих случаях доказывать нечто о процессах, порождающих все нужные объекты, напр. говорить о всех методах, задающих действит. числа, т.к. задание этих процессов предполагает перечисление. Чтобы преодолеть эту трудность, И. и ввел понятие свободно становящейся последовательности. Каждую свободно становящуюся последовательность можно описать (в терминах, отличных от интуиционистских) следующим образом. Пусть имеется нек-рый запас конечных объектов и условие, для к-рого интуитивно ясно, что каков бы ни был объект из данного запаса, относительно этого объекта можно выяснить, удовлетворяет ли он или нет этому условию. Далее последовательно производятся акты произвольного выбора объектов, пока не будет найден объект, удовлетворяющий условию. Этот объект объявляется следующим членом реализации данной свободно становящейся последовательности. Для доказательства теорем о континууме интуиционисты рассматривают, напр., такую свободно становящуюся последовательность: выбираемые объекты – отрезки прямой с рацион. концами, условие таково – последующий отрезок вложен в предыдущий и длина его не более половины длины предыдущего. Относительно свободно становящихся последовательностей имеет смысл высказывать лишь такие предложения, истинностное значение к-рых может быть установлено на основании исследования конечного числа первых членов реализации и к-рое не меняется, как бы далеко ни продолжалась эта реализация. Используя это понятие, И. смог перейти от сомнений в истинности нек-рых принципов классич. логики к их опровержению. Так, было установлено, что с т. зр. И. утверждение о том, что любые два действит. числа либо равны, либо не равны является неверным. Однако понятие свободно становящейся последовательности, казавшееся интуитивно ясным самим интуиционистам, оказалось неясным для др. математиков.

В отличие от И., конструктивные направления в математике и логике, в частности направления А. А. Маркова и Н. А. Шанина, развились на основе понятия алгоритма, вводимого различными определениями (рекурсивные функции, нормальные алгорифмы и т.д.). При этом интуиционистские логич. исчисления получили новое истолкование в духе конструктивного понимания математич. суждений (Н. А. Шанин) и оказались логич. исчислениями конструктивной логики. Значит. роль в разработке конструктивного понимания суждений сыграло предложенное Колмогоровым (1932) истолкование интуиционистского исчисления высказываний как исчисления задач, а также понятие реализуемой формулы, введенное Клини (1945).

Лит. см. при ст. Конструктивная логика.

    ИНТУИЦИОНИЗМ — одно из трех главных направлений (наряду с логицизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики. Основное отличие интуиционизма от других направлений в том, что он ставит иную цель математике: не доказательство “истинных” теорем, а поиск математических (умственных, в терминологии первоначального интуиционизма) конструкций, органично соединяющих в себе построение и его обоснование.

    Для общей характеризации направлений, выросших из интуиционизма, часто пользуются термином конструктивизм. Поэтому стоит различать интуиционизм в узком смысле (брауэровский), российский конструктивизм (см. Конструктивное направление) и различные частично конструктивные направления, часто также называемые современным интуиционизмом. Предшественниками интуиционизма являются немецкий математик 19 в. Л. Кронекер, французские эффективисты (см. Эффективизм), А. Пуанкаре и Э. Борель. Они с разных позиций отмечали признаки неблагополучия в математике, связанные с тем, что в классической математике доказательства многих теорем существования не дают построений искомых объектов, и пытались несколько ограничить математические конструкции для устранения данного недостатка.

    Началом интуиционизма как направления считается 1907, когда Л. Э. Я. Брауэр показал, что косметическим ремонтом выявившееся расхождение понятий “существование” и “построение” не устранить и что корни многих нежелательных свойств классической математики уходят в классическую логику

    До 1945 интуиционизм развивался преимущественно в Голландии, хотя некоторые фундаментальные работы были созданы в России, Австрии и Польше учеными, не причислявшями себя к данному направлению. Ныне самой сильной школой интуиционизма остается голландская, но, помимо нее, имеются, в частности, американская и русская школы. Основания для выводов Брауэра — с несколько модернизированной точки зрения — таковы: Согласно теореме Геделя о неполноте в достаточно богатой теории имеется такая формула G, что ни она, ни ее отрицание недоказуемы. При помощи классической логики легко вывести

    3x((G^>x=0)&(G=>x=Ï)).

    Обозначим данную формулу ЗхА(х). Ни для какого конкретного л•о нельзя доказать А(хо).

    В теории множеств ситуация ухудшается лишь незначительно. Аксиома выбора дает возможность построить такую доказуемую формулу ЗхВ(х), чтонельзя построить формулу С(х), для которой 3 ! χ С(х) и Vx(C(x) => В(х)). Такая же ситуация возникает при использовании альтернативы к аксиоме выбора — аксиомы детерминированности.

    Согласно анализу А. А. Маркова, классическая математика базируется на трех абстракциях: абстракции отождествления, не позволяющей использовать свойства, различающие равные объекты; абстракции потенциальной осуществимости, позволяющей пренебречь физическими ограничениями на реализуемость очень больших конечных объектов и процессов, и абстракции актуальной бесконечности, дающей возможность мыслить бесконечные совокупности как завершенные и использовать бесконечные множества и бесконечные процессы для построения других математических объектов. Брауэр принял две первые абстракции и отверг третью. В этом с ним солидарны почти все нынешние продолжатели конструктивных традиций в математике.

    В некоторых разделах современного интуиционизма это допущение ослабляется, а в некоторых — усиливается. Но в любом случае принимаются во внимание принципиальные ограничения выполнимых построений: необходимость сведения любой новой задачи к уже решенным, чтобы представить новое построение как композицию старых.

    При таком подходе логика не может рассматриваться как нечто данное a priori, она должна подбираться в соответствии с классом рассматриваемых объектов и с классом допустимых методов решения задач. Так, классическая логика оказывается либо логикой конечных объектов, либо логикой всех теоретико-множественных построений с аксиомой выбора.

    Сама интерпретация логических формул изменяется в корне. Значения истинности представляют собой нечто второстепенное по сравнению с конкретным построением, проведенным при доказательстве теоремы. Поэтому формулы интерпретируются как задачи, логические связки — как преобразования задач, методы доказательства — как методы сведения новых задач к уже решенным либо принятым в качестве решенных. Брауэр предложил воспользоваться для перестройки математики логикой, подобной классической, за исключением законов исключенного третьего и снятия двойного отрицания (которые в данном контексте эквивалентны) — интуиционистской логикой. Он отказался от многих объектов, созданных в теоретико-множественной математике, и ограничился теми, которые хотя бы косвенно сводятся к двум исходным сущностям: к конструктивным объектам, строящимся как конечные конструкции из конечного числа исходных ясно различимых объектов, и к последовательностям выбора, пред

    ставляющим из себя методы последовательного конструирования потенциально бесконечного числа исходных объектов. Примерами последовательностей выбора являются алгоритмы, последовательности измерений физических величин и т. п. Первоначально Брауэр пытался прямо перестроить основные разделы математики, при этом он, в частности, раньше, чем это было сделано классическими средствами, установил важный результат (теорема о веерах или лемма Кёнига): дерево с конечным ветвлением и конечными путями конечно. Перестройка математики, осуществлявшаяся Брауэром, отличалась максимальной осторожностью при соблюдении принципов конструктивности. Он стремился спасти все, что можно было спасти. Примеры гораздо более жестких подходов продемонстрировали Р. Л. Гудстейн и Н. А. Шанин.

    Наиболее интересны следующие результаты Брауэра. Операторы над последовательностями выбора должны использовать конечное число значений последовательности для получения конечной выходной информации. На основе этого он доказал непрерывность интуиционистски определимых функций действительной переменной. Брауэр показал, что на самом деле в разных областях математики использовались разные понятия функции действительной переменной, в частности, что измеримые функции не стоит для конструктивных целей трактовать как операторы над действительными числами.

    Сразу же после формализации интуиционистской логики многие математики начали развивать вариации интуиционизма, либо еще сильнее ограничивая логику, либо еще сильнее ограничивая объекты. Йохансон предложил использовать в качестве основы для интуиционизма минимальную логику, но оказалось, что в любой теории, содержащей натуральные числа, интуиционистское отрицание определимо, и переход к минимальной логике ничего нового не дает. Д. Грис предложил рассматривать безотрицательную математику, в которой запрещены пустые понятия типа квадратного круга. Продвижение в данном направлении идет весьма медленно из-за необычности и трудности возникающих конструкций.

    Новый импульс исследованиям в области интуиционистских понятий дали интерпретация интуиционистской логики Колмогоровым и ее (логики) формализация А Рейтингом. На этой основе и на основе точного понятия алгоритма (см. алгоритм) С. К. Клина (1945) дал первую точную классическую модель неклассической математики: понятие реализуемости. В интерпретации Клини стало возможным формально выразить тезис Чёрча как схему аксиом.

    А. А. Марков (1947) и советская школа конструктивизма развили вариант математики, последовательно проводящий идею о том, что нет ничего, кроме конструктивных объектов, а алгоритмы отождествляются с их программами. Он ввел “принцип Маркова”, явно разделивший обоснования и построения, разница между которыми с самого начала ощущалась в интуиционизме. Содержательно принцип Маркова гласит, что для обоснования уже проделанных построений можно пользоваться классической логикой (это показал Н. А. Шанин, построив алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий любую формулу на явное построение и классическое обоснование данного построения). Польская школа пошла по другому пути, ограничиваясь конструктивными объектами, но сохраняя классическую логику

    Реализуемость выявила, что интуиционистские теории могут расходиться с классическими. Напр., еслиДх) — неразрешимое свойство натуральных чисел, то конструктивно верна формула - /х(А{х} —}А(х)).

    Зафиксировав понятие вычислимой последовательности, мы сохраняем свободу при определении операторов высших типов. Первым это показал Клини, построив общерекурсивную реализуемость, при которой выполнена схема

    fx(}A(x) => ЗуВ(х, у)) =” Vx3y (А(х) =” Ј(x, y)), выражающая всюду определенность всех функций. Возможность выразить формулами первого порядка те высказывания, для которых в классической логике требуются конструкции высших порядков — еще одно преимущество интуиционизма. Принцип Маркова несовместим с данной схемой во всех содержательных интуиционистских теориях, хотя оба они являются классическими тавтологиями.

    Э. Бишоп (1960), переопределив вычислимые функционалы, предложил вариант интуиционизма, который характеризуется принципом: “использовать лишь алгоритмы, но явно этого не говорить”. Этот вариант, в дальнейшем развитый многими учеными, в том числе П. Мартин-Лёфом, соединил многие преимущества брауэровского и марковского подходов.

    Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих под понятие алгоритма. В частности, он предложил следующие новые типы последовательностей — творческую последовательность а(п) = 0, если в году я не доказана формула А, и 1, если она доказана; и беззаконную последовательность, обладающую следующим свойством: Va [А (а) => Зп Vß (Vm (m n => a(m) = ß(m)) =” Αφ))), т. е. все, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации. Трулстра (1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют интуиционистскую модель, в которой можно промоделировать творческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках. Возможность сформулировать незнание в вице логической формулы — еще одно достижение интуиционизма.

    С конца 70-х гг развиваются идеи приложений интуиционизма к программированию, поскольку интуиционистские доказательства могут рассматриваться как полностью обоснованные программы. Как всегда, попытка лобового применения глубоких идеальных концепций оказалась неудачной. В таких случаях нужно искать обходные пути. Ими могут стать системы, основанные на более жестких принципах, не принимающие абстракции потенциальной осуществимости и дающие построения при ограниченных ресурсах. Таковы линейные логики Ж.-И. Жирара, ультраинтуиционистские системы А. С. Есенина-Вольпина и С. Ю. Сазонова, нильпотентные логики Н. Н. Непейводы и А. П. Бельтюкова.

    Голландская школа, наоборот, рассмотрела приложения интуиционистских понятий к теории множеств, расширяющие понятие эффективной операции, и получила ряд глубоких результатов. В частности, аксиома выбора интуиционистски становится почти безвредной, так что она концептуально противоречит исключенного третьего закону, а не эффективности построений. Интуиционистские теории возникают также при категорией интерпретации логики.

    Интуиционизм, остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других направлений, в частности, формулировке программы Гильберта (см. Формализм). Он выдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Он показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало ущербность плоских прагматических и утилитаристских концепций и возможность рациональной альтернативы традиционному рационализму, что до сих пор как следует не использовано современной философией и системологией. Лит.: ГейтингА. Интуиционизм. М., 1969.

    Н. Н. Непейвода