Akademik

(лат. functio – исполнение)

обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов чувств и нервной системы. В логическом, особенно в математическом смысле функция означает отношение зависимости двух изменяющихся величин (переменных) или группы величин, характеризующихся тем, что изменение одной величины имеет следствием изменение другой, т.е. каждой величине одной группы всегда определенным образом подчиняется каждая (или многие) величина др. группы. Под функционализмом понимают учение, согласно которому некоторые объекты мысли являются не реальностями, а функциями др. данностей. Так, в частности, со времени Уильяма Джемса многие мыслители считают сознание функцией совокупности органов чувств (напр. А. Н. Уайтхед) или функцией бытия-в-мире, заботы (см. Экзистенциализм'). Мышление характеризуют иногда как функцию действия (см. также Прагматизм). У крайних направлений идеализма весь мир выступает в качестве функции Я, как, напр., у Фихте.

(от лат. functio – осуществление, выполнение) – способ поведения, присущий к.-л. объекту и способствующий сохранению существования этого объекта или той системы, в к-рую он входит в качестве элемента. Среди следствий, вызываемых тем или иным объектом в соответствии с нек-рым причинным законом, одни – функцион. следствия, или просто Ф., – способствуют сохранению существования объекта-причины или системы, в к-рую он входит (кровообращение как следствие работы сердца поддерживает существование организма ив т.ч. сердца), а другие – дисфункции – способствуют, напротив, уничтожению объекта-причины или содержащей его системы (напр., следствия, производимые язвой желудка); третью группу составляют т.н. нефункцион. следствия, не влияющие на продолжение существования объекта-причины. Такое истолкование Ф. является каузальным, в отличие от телеологического, почти безраздельно господствовавшего в истории философии начиная с аристотелевской causa finalis.

Поскольку далеко не каждый объект способен производить функцион. следствия, Ф. характеризует не все объекты, а лишь такие, к-рые являются достаточно сложными системами, более того, системами, способными к самосохранению, т.е. направленно организованными системами. Высшую их разновидность составляют целенаправленно организованные системы. Ф. – одна из наиболее существ. характеристик соответствующих объектов, что определило широкое распространение в науке функцион. исследования как одного из осн. типов науч. познания наряду со структурным, каузальным, субстанциональным и др. Правда, функцион. подход более узок по сфере применимости, т.к. он имеет дело лишь с направленно организованными системами. Но при исследовании таких систем он оказывается необходимым способом познания.

В совр. науке разработаны конкретные методы и методики функцион. исследования. Классическим конкретно-науч. методом чисто функцион. познания является метод "черного ящика". Однако обычно функцион. подход реализуется не в "чистом виде", а в сложном синтезе с др. типами познания, прежде всего – со структурным подходом, поскольку между структурой и Ф. существует теснейшая связь: тип структуры объекта обычно определяет тип его Ф. и наоборот. Правда, отношение между классом структур и классом Ф. не является изоморфным: нельзя сказать, что данной структуре соответствует только данная Ф. и что данная Ф. может выполняться только данной структурой. Вместе с тем нек-рая конкретная Φ. может быть выполнена лишь определ. классом структур и наоборот.

Лит.: Лурия А. Р., Высшие корковые Ф. человека, их нарушения при локальных поражениях мозга, М., 1962, с. 21–28; Карпинская Р. С., О структуре и Ф. живого на молекулярном уровне, "ВФ", 1963, No 8; Mеrtоn R. К., Social theory and social structure, Glencoe, 1957; Nagel E., Logic without metaphysics and other essays in the philosophy of science, Glencoe, 1957; Hempel C. G., The logic of functional analysis, в кн.: Symposium on sociological theory, N. Y., 1959.

Ф у н к ц и я в с о ц и о л о г и и. Понятие Ф. в социологии имеет два главных значения. 1) Ф. указывает на ту роль, к-рую определ. социальный институт или частный социальный процесс выполняют по отношению к целому, напр. функции гос-ва, семьи, искусства, системы образования и т.д. относительно общества. В данном случае под Ф. имеется в виду определ. совокупность последствий социальной деятельности. При этом различаются Ф. явные, т.е. совпадающие с намерениями и открыто провозглашаемыми целями и задачами института, и Ф. скрытые, латентные, обнаруживающие себя лишь с течением времени и отличающиеся от намерений участников этой деятельности. Методологически важно вычленение того целого, по отношению к к-рому выполняется данная Ф., т.к. ее характер определяется природой целого. Целое определяет вместе с тем и специфику действия Φ. Так, Ф. гос-ва по отношению к обществу, семье, индивидууму в определ. степени отличаются друг от друга. 2) Ф. обозначает зависимость, к-рая наблюдается между различными компонентами единого социального процесса. В данном случае речь идет о том, что изменения одной части системы оказываются производными от изменений в другой его части. Напр., изменения в соотношении гор. и сел. населения как Ф. развития пром-сти или изменения в структуре досуга как функция распространения средств массовой коммуникации. Важными понятиями социологического анализа являются также понятия функционирования, дисфункции, функциональных требований, функциональной взаимозависимости. См. Функционализм и Структурно-функциональный анализ.

Функция в математике, матем. логике и матем. естествознании трактуется как понятие, отражающее идею детерминированной зависимости между объектами различных классов (числами, геометрич. образами, множествами, предложениями и др.). Понятие Ф. было в явной форме введено в математику в 17 в. Оно отражало характерный для точного естествознания частный вид причинной связи, а именно, связи, проявляющейся в форме количеств. закономерностей, описывающих разл. физич. процессы. Поэтому понятие Ф. первоначально трактовалось как связь "переменных величин", "значения" к-рых суть физич. характеристики разл. сторон к.-л. процесса в конкретные моменты (реального или абстрактного) времени. При этом (числовая) Ф. отождествлялась с нек-рым законом изменения "переменной величины", к-рый мыслился всегда заданным в виде нек-рого аналитического выражения (формулы). Так, Л. Эйлер определял Ф. след. образом: "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств... Функция переменного количества сама будет переменным количеством" ("Введение в анализ бесконечно малых", т. 1, М.–Л., 1936, с. 30). (Сам термин "Ф." исходит от Г. В. Лейбница и был введен во всеобщее употребление швейц. матем. И. Бернулли.) В ходе развития матем. анализа и возникшей на его базе теории Ф. (действительного и комплексного переменных) в рассмотрение вовлекались все более широкие, разнообразные и специальные классы конкретных Ф., в связи с чем возникла надобность в более общем понятии Ф., не охватываемом прежними дефинициями. Такое понятие, введенное Г. Лежёном Дирихле и Н. И. Лобачевским (а до них, хотя и в неявной форме, еще Эйлером, идеи к-рого были затем развиты Ж. Б. Фурье), совпадало уже, по существу, с понятием (однозначного) отображения (или соответствия) числовых множеств. С возникновением теории множеств понятие Ф. было точно определено в теоретико-множеств. терминах: под (однозначной) одноместной Ф. стали понимать бинарное, отношение F такое, что для любых х, у и z таких, что xFy и xFz имеет место y=z. Иными словами, одноместная Ф. – это множество упорядоченных пар х, у>, удовлетворяющих условию однозначности, или функциональности: для любых пар и х2, у2>, принадлежащих Ф., из х1=х2 следует y1=у2. Множество {х} первых элементов таких пар наз. областью определения (или областью отправления) Ф., а элементы этого множества – аргументами Ф., множество {у} вторых элементов Ф. наз. областью значений (областью прибытия) данной Ф., а элементы этого множества – значениями этой Ф. [В более привычных и употребительных эйлеровских обозначениях пишут y = F(x).] Если функциональное отношение F={} обладает свойством взаимной однозначности (см. Взаимно-однозначное соответствие), то обратное ему отношение {у, х>} также функционально; его наз. Ф. обратной (или конверсией) к f и обозначают обычно через f^-1. Суперпозицией (или композицией, или функциональным произведением) двух Ф. f={} и g={} таких, что область определения g есть подмножество области значений f, наз. такую Ф. h=g·h={}, что xhz эквивалентно xfy&ygz для всех х, у и z. Очевидно, что f·f^-1=f^-1f есть тождественная Ф. {х,х>} (в традиционных обозначениях: f (f^-1 (x)) = f^-1 (f(x) = x)).

Непосредственным обобщением понятия одноместной Ф. является понятие многоместной Ф. (см. Отношение).

В матем. анализе и особенно в теории Ф. комплексного переменного часто приходится иметь дело и с т.н. "многозначными" Ф., т.е. с такими отображениями множеств, при к-рых одному и тому же элементу области определения может соответствовать и более чем один (иногда даже бесконечное множество) "образов"– "значений Ф." (простейший пример – "двузначная Ф." у = √ х, обратная к Ф. у = х2). Во избежание логич. трудностей, неизбежных при отказе от требования однозначности, в таких случаях либо сводят дело к рассмотрению соответствующего (нефункционального) отношения, либо предпочитают рассматривать отображение множества аргументов на множество классов, являющихся значениями нек-рой (однозначной!) Ф., либо же, наконец, вводят в рассмотрение класс однозначных Ф. с совпадающими областями определения (в математич. анализе в последнем случае часто говорят об однозначных "ветвях многозначной Ф.").

По мере развития математики и в связи с запросами обслуживаемого ею естествознания круг изучаемых классов Ф. все время расширялся; напр., Ф., определенные и принимающие значения на абстрактных (в т.ч. "функциональных", т.е. таких, элементы к-рых сами являются Ф.) "пространствах", наз. операторами, а операторы, отображающие числовые Ф. в числа, – ф у н к ц и о н а л а м и. Проблематика, связанная с этими и др. спец. видами Ф., составила предмет новых быстро развивающихся и богатых приложениями разделов математики (функциональный анализ, теория обобщенных Ф., а также топология).

В связи с задачей конструктивизации математич. теорий и задачами обоснования математики исключительно важное значение приобрел спец. раздел математич. логики – т.н. теория рекурсивных Ф. В то же время конструктивное направление в математике и логике предложило ряд уточнений понятия Ф., базирующихся на понятии эффективной вычислительной процедуры (алгоритма), являющихся в известном смысле возвращением к "аналитической" трактовке этого понятия, характерной для математики 17–18 вв.

В ходе развития математической логики и в связи с общей тенденцией различения содержательного и формального аспектов математич. теорий и входящих в них понятий возникла необходимость уточнения и понятия Ф. – традиционное понятие "Ф. переменной величины" чревато логич. затруднениями и двусмысленностями, и даже охарактеризованная кратко выше теоретико-множественная трактовка понятия Ф. не позволяет достаточно последовательно различать принадлежащие различным лингвистич. (синтаксич. и семантич.) уровням понятия Ф. и ее значений. Прежде всего было пересмотрено само понятие п е р е м е н н о й (см. Переменная). Затем, в развитие и уточнение уже установившейся в математике традиции, согласно к-рой аргументами и значениями Ф. могут быть предметы произвольной природы (не обязательно числа), пришлось последовательно различать ф о р м ы ("аналитические выражения"), содержащие к.-л. свободные переменные, и Ф., получающиеся в результате применения к таким формам "оператора функциональной абстракции" λx (А. Чёрч): получающаяся в результате Ф. (в случае, если x была единств. свободной переменной данной формы) есть формальный объект, не содержащий свободных переменных (х теперь связана оператором λx) и относящийся к обозначаемой им "сущности" (к-рую собственно в содержательной математике и привыкли называть "Ф."), как имя к денотату (см. Семантика). Напр., sin x / y есть форма, содержащая две свободные переменные x и у, λx sin x / y и λy sin x / y – формы, содержащие соответственно по одной свободной переменной, a λx λy sin x / y – вполне определенная Ф., не зависящая уже ни от каких свободных переменных. (При обычной, неформальной трактовке в первом случае говорят "sin x / y как функция х", во втором – "... как функция у", в третьем – "...как функция двух переменных x и у".) При такой трактовке термины "Ф.", "переменная" (а также "константа") относятся к формальным объектам (знакам, именам), а не к обозначаемым этими объектами предметам, напр. числам. (В частности, константной Ф. наз. Ф., область значений к-рой состоит из одного элемента, а константой – имя этого элемента; напр., Φ. λx (x=17) ставит в соответствие любому x из области своего определения число 17, и "константой" является не само это число, а обозначающая его цифра "17", воспринимаемая как единый символ.) Важнейшим видом Ф. являются т.н. пропозициональные Ф., область значения к-рых состоит из двух истинностных значений: "истина" и "ложь" (см. Алгебра логики); часто этот термин прилагают лишь к тем пропозициональным Ф., область определения к-рых состоит из предложений, называя пропозициональные Ф., определенные на области истинностных значений, истинностными, или булевыми, а пропозициональные Ф., определенные на произвольной предметной области, – предикатами над этой областью (чем и объясняется др. распространенное наименование исчисления предикатов – "функциональное исчисление").

См. также Отношение, Операция, Математика, Логика высказываний, Рекурсивные функции и предикаты.

Лит.: Натансон И. П., Функция, БСЭ, 2 изд., т. 45, М., 1956 (имеется библ.); Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 02–04; Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965, гл. 2, § 3; Шиханович Ю. Α., Введение в совр. математику. Начальные понятия, [предисл. В. А. Успенского], М., 1965, гл. 5.