Akademik

        категория материалистич. диалектики, которая отображает общее и единое в вещах и явлениях, характеризуя их с т. зр. относит. безразличия к конкретному содержанию и качеств. природе. Поскольку количеств. сравнение становится возможным только после качеств. познания предметов, исследование количеств. отношении связано с процессом абстрагирования (см. Абстракция). Первые попытки спец. анализа проблемы К. восходят к пифагорейцам и связаны с изучением природы чисел и их применением для познания мира. Как особую категорию К.рассматривал Аристотель: «Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определённое нечто. Всякое количество есть множество, если оно счис-лимо, а величина — если измеримо» (Met. V 13, 1020 а 7—10; рус. пер., Соч., т. 1, М., 1975).

        В новое время, в связи с исследованием движения и введением переменных величин в математику, Декарт, и в особенности Ньютон и Лейбниц, развивали более общее представление о К., включая в последнее не только постоянные, но и переменные величины, а также отношения порядка и сравнения. Впервые диалектич. взаимосвязь К. и качества и их различие выявил Гегель: если при изменении качества происходит превращение данной вещи в другую вещь, то количеств. изменение в известных границах не вызывает подобного превращения.

        В работах классиков марксизма-ленинизма К. рассматривается прежде всего в связи с объективной характеристикой реально общих, однородных и единых моментов, присущих различным по своей качеств. природе вещам. «...Различные вещи становятся количественно сравнимыми лишь после того, как они сведены к одному и тому же единству. Только как выражения одного и того же единства они являются одноименными, а следовательно, сравнимыми величинами» (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 23, с. 58—59). В. И. Ленин связывал прогресс в физике с приближением «...к таким однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическую обработку...» (ПCC, т. 18, с. 326). Подобная математич. обработка связана с абстрагированием общего и однородного в исследуемых вещах и явлениях; именно поэтому математику нередко определяют как науку об абстрактных структурах (напр., концепция школы Н. Бурбаки).

        С целью установления количеств. определённости предмета сравниваются составляющие его элементы — пространств. размеры, скорость изменения, степень развития — с определ. эталоном как единицей измерения. Чем сложнее явление, тем труднее его подвергнуть изучению количеств. методами (напр., явления в сфере нравственности, политики, эстетич. восприятия мира и т. п.); в этих случаях часто прибегают к различного рода шкалам. Процесс познания реального мира как исторически, так и логически совершается таким образом, что познание качества предшествует познанию количеств. отношений. Наука движется от качеств. оценок и описаний явлений к установлению количеств. закономерностей; опираясь на последние, она получает возможность глубже исследовать качество.

        К. находится в единстве с качеств. определённостью явлений, вещей, процессов; это единство составляет их меру. Изменение количеств. определённости вещей в границах меры не затрагивает их качества. За этими пределами количеств. изменения сопровождаются изменением качества.

        см. Переход количественных изменений в качественные.

        Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20; его же, Диалектика природы, там же; Ленин В. И., Филос. тетради, ПСС, т. 29; Тимофеев И. С., Методология, значение категорий «качество» и «К.», М., 1972.

объективная определенность качественно однородных явлений, или качество в его пространственно-временном аспекте, со стороны его бытия в пространстве и времени. Поскольку все явления в природе и человеч. истории существуют в пространстве и изменяются во времени, постольку они и могут рассматриваться как качественно тождественные, т.е. со стороны лишь количеств. различий, а категория К. является универсальной, т.е. логич. категорией, необходимой ступенькой познания действительности.

Универсально-логич. характер категории К. доказывается всей историей познания и практики человека. Познание внешнего мира на стадии его количеств. анализа связано с методами и языком математики. Количеств. характеристика явлений необходима в процессе целенаправл. изменения природы человеком. Предмет, не отраженный в аспекте К., не может считаться конкретно познанным. Однако ошибочно видеть только в чисто количеств. описании явлений их полное, тем более исчерпывающее, познание. Односторонне-количественный взгляд на действительность есть такой, с т. зр. к-рого единственно объективными формами существования внешнего мира являются лишь пространственно-геометрич. контуры тел и их изменения во времени, т.е. механич. перемещение частей материи, а все остальные чувственно воспринимаемые качества и свойства тел объявляются субъективными иллюзиями человека, его органов чувств. Поэтому односторонне-количеств. понимание внешнего мира и выступает исторически как механистич. материализм.

Идеалистич. вариант односторонне-количеств. взгляда на мир и его познание всегда связан с идеалистическим же пониманием пространства и времени, с толкованием их как субъективно-психологич. (Юм) или трансцедентальных (Кант) категорий. В своем крайнем выражении этот взгляд приводит к чисто формальному представлению о К. как о чисто субъективном феномене.

Материализм, отстаивая предметный смысл категории К., а также ее универсальный характер, всегда усматривал предметную основу количественно-математич. характеристик в реальной пространственно-временной форме бытия материи. К. всегда находится в диалектически противоречивой связи с качеством, выступающей, в частности, как закон перехода количеств. изменений в качественные и обратно (см. Мера, Переход количественных изменений в качественные).

Первой попыткой специально проанализировать проблему К. можно считать исследования пифагорейцев. Непосредств. предметом их анализа явилось число как абстрактнейшая форма выражения К., сложившаяся в стихийно-практич. сознании людей на основе их предметно-практич. деятельности. Число сразу же обнаруживает свойства, кажущиеся таинственными. Натуральный ряд чисел содержит в себе ярко выраженные правильности, гармонически-периодич. соотношения. Но ведь люди, создавшие числа и расположившие их в естеств. (натуральную) последовательность, вовсе не заботились о том, чтобы вложить в нее эти правильные соотношения. Откуда же они там взялись? Религиозно-мистич. традиция подсовывала готовый ответ, объявляя загадочные свойства чисел и числовых рядов божеств. природой числа. Пифагорейская мистика чисел и есть не что иное, как отсутствие объяснения, принятое за объяснение, или постановка действит. проблемы, выданная за ее решение. В наблюдениях пифагорейцев был зафиксирован также и тот загадочный факт, что "правила", обнаруженные в числовых рядах, затем открываются и в явлениях внешнего (чувственно созерцаемого) мира, напр. в соотношениях длин звучащих частей струн и т.п. Этот факт также был отнесен к числу божественных. Отсюда прямо вытекало и пифагорейское понимание задачи рацион. познания. Оно сводилось к тому, чтобы обнаруживать в чувственно воспринимаемых явлениях те самые соотношения и закономерности, к-рые были до этого обнаружены в числах как таковых. Однако обожествление числа очень скоро привело пифагорейскую школу к ряду противоречий. Оказалось, напр., что невозможно найти путем подбора такие целые числа, к-рые выражали бы сформулированное самим Пифагором правильное соотношение между квадратом гипотенузы и квадратами катетов, когда катеты равны (т.е. когда гипотенузой служит диагональ квадрата). Это "атеистическое" свойство квадрата настолько обескуражило священнослужителей пифагорейского союза, что его решили держать в строжайшей тайне. Ни к чему не привели и старания выразить через целое число соотношение радиуса и окружности. Пифагорейцы в итоге оказывались перед альтернативой – либо отказаться от священных основоположений, либо закрыть дорогу свободному математич. исследованию. Тайны и мистич. обряды, к-рыми пифагорейцы окружили число, превратились очень скоро в тормоз развития антич. математики.

Еще острее выявились трудности, связанные с числом, в исследованиях элейской школы. Здесь число было поставлено на очную ставку с чувственно воспринимаемым фактом движения тел, перемещения тела в пространстве. Между выражением этого факта через число как отчетливо выраженную дискретную величину и столь же отчетливо выраженной непрерывностью движения тела в пространстве и времени был зафиксирован неразрешимый конфликт, апория. У числа появился новый грозный враг – бесконечность. Оказывалось, что любая конечная величина (тела, пройденного им пути или отрезка времени, в течение к-рого этот путь проходится), будучи выражена через число, выглядит как бесконечная величина, как нечто неисчислимое. До исследований элейцев К. выступало в сознании только в виде числа, выражающего определ. величину, т.е. как нечто всецело дискретное, многое. Апории Зенона остро зафиксировали, что число и величина суть формы выражения чего-то иного, притом такие формы, к-рые бессильны выразить это иное. То, что выражается в числе как многое, как прерывное, на самом деле есть "одно", "единое", "непрерывное". Объективно только здесь и мог встать вопрос о том, что такое К. независимо от его выражения в числе, т.е. как особое понятие, отличное от понятий числа и величины. Рассуждения элейцев разрушали представление о божеств. природе числа. По существу они доказывали, что число, связанное с представлением о дискретности бытия, есть лишь субъективно произвольная форма, извне налагаемая на бытие, к-рое на самом деле непрерывно и едино, и что поэтому число и числовые соотношения выражают не подлинное бытие, а лишь видимость, пестрое марево чувственно воспринимаемых фактов. Тем самым математика попадала, по классификации элейцев, в сферу "мнения". По этой причине элейская школа не могла противопоставить пифагорейской мистике чисел своего принципа математич. мышления.

Единственно плодотворным для конкретного исследования количеств. аспекта действительности принципом оказалась в этих условиях атомистика Левкиппа – Демокрита. Более того, сам атомистич. принцип возник, по-видимому, именно как единственно возможный выход из трудностей, до предела обостренных столкновением пифагорейской и элейской школ. Представление об атоме как о мельчайшей, физически неделимой частице позволяло сохранить в составе представления о реальном мире оба взаимно исключающих друг друга момента количеств. (пространственно-временного) аспекта действительности – и прерывность и непрерывность, и неделимость и делимость, и единое и многое, и бесконечное и конечное (т.е. величину). Атомистика позволяла истолковать число, выражающее форму и порядок тел в пространстве и времени, как чисто объективную характеристику материального мира, не зависящую от произвола людей или богов. Согласно учению Левкиппа – Демокрита, любое чувственно воспринимаемое тело состоит из очень большого (отнюдь не бесконечного) числа атомов, "неделимых". Поэтому величина есть функция от числа неделимых. Неделимое выступает, Т.о., как естеств. единица, как реальное основание измерения и счета. Осн. понятия математики (арифметики и геометрии) выстраивались, Т.о., в строгую систему, построенную к тому же на чисто материалистич. фундаменте. И прерывность и непрерывность, и делимость и неделимость, и единство и множество, и бесконечность и конечность определялись здесь как одинаково объективные свойства и характеристики "тела", ибо понятие тела формально объемлет как "атом", так и чувственно воспринимаемое тело. Реальностью К. тем самым оказывалась телесность, а не нек-рые "бестелесные" сущности вроде единицы, точки, линии или поверхности. Эта установка атомистики отнюдь не была только философско-гносеологич. принципом. Она являлась также могучим эвристич. принципом развития собственно математич. построений. Идея Демокрита позволяла перекинуть мост между бытием и его образами в чувств. созерцании, в частности между числами и геометрич. фигурами. Толкуя, напр., окружность как многоугольник с очень большим числом сторон, равным числу "неделимых", Демокрит теоретически разрешил проблему числа "пи". При этом толковании бесконечность частичной дроби выступала как показатель того факта, что масштаб (мера) измерения взят неточно, приближенно, огрублено. В том случае, когда единицей измерения оказывается "неделимое", число "пи" должно выразиться в целом конечном числе. Рассматривая атом как естественный объективно допустимый предел деления тел, как естеств. единицу измерения, Демокрит ставил математику на прочный фундамент физич. реальности. Именно в атомистич. строении тел обнаруживалась та однородность и одноименность, к-рая вообще позволяет рассматривать тела любой формы и вида как математически соизмеримые, как различающиеся между собой только количественно. По существу только здесь было обосновано право математики рационально соотносить и сравнивать между собой линию с точкой, линию – с поверхностью, поверхность – с объемом, кривую – с прямой, число – с фигурой и т.д. К. только здесь переставало быть просто собират. названием для совершенно разнородных понятий и выступало как тот общий для всех математич. понятий предмет, без к-рого они, строго рассуждая, должны рассыпаться.

Атомистика, направленная своим острием против спиритуалистич. концепций внешнего мира, будто внешний (телесный) мир так или иначе состоит из бестелесных, непротяженных точек, из линий, лишенных толщины, и поверхностей, лишенных глубины, и оформляется бестелесными же числами, попадала в естеств. конфликт с официальной греч. математикой [ср. Аристотель: "Постулируя неделимые тела, они (Демокрит и Левкипп) вынуждены впасть в противоречие с математикой" ]. Греч. геометров смущало, что при допущении мельчайшей, даже мысленно неделимой частицы оказывается невозможным разделить точно пополам отрезок, состоящий из нечетного числа неделимых. Две половины такого отрезка никогда не могут быть "равными", "конгруэнтными", а будут только казаться таковыми в силу грубости наших чувств, слабой разрешающей силы глаза. Но тем самым "равенство", "конгруэнтность" и им подобные понятия, на к-рых геометрия основывала свои доказательства, оказывались, строго рассуждая, лишь приблизительными, лишь огрубленными образами. Отстоять свою "абсолютность" геометрия в этих условиях могла, только провозгласив суверенность геометрич. образов и построений от внешнего мира, причем не только от чувственно воспринимаемого многообразия эмпирии, но и от бытия в филос. смысле, от физич. реальности в смысле Демокрита. Интересы геометров в этом пункте прямо смыкались с интересами филос. учений, враждебных атомистике. Офиц. математика поэтому шла в общем и целом в фарватере идеалистич. филос. систем и получила от них ярлык точнейшей из наук и квалификацию своих аксиом как вечных и неизменных.

Школа Платона попыталась усвоить идеи атомистики, отвергая в то же время материализм, представление о телесно-физич. природе неделимых. Вместо неделимого тела она приняла неделимую, минимальную поверхность и далее неделимый бестелесный контур – треугольник, к-рый, подобно идеям, оформляет бесформенную материю. Тем самым прерывность, оформленность, ограниченность чувственно воспринимаемых тел приписывались действию бестелесных математич. идей, а чистая геометрия получала полную независимость от материи, от физич. (качеств.) характеристик. Материя, представленная в этой концепции как нечто киселеобразное, как "апейрон", внутри себя абсолютно однородна и не может быть представлена как определ. К., как величина, число или фигура. Это – чистая возможность количеств. различений, полагаемых в нее извне, со стороны царства "идей"; опосредующим же звеном между идеями и материей выступают как раз "математич. предметы", непосредственно воплощающиеся в виде чувственно воспринимаемых контуров, очертаний и фигур определ. величины и числа, короче говоря – в виде многообразных тел в пространстве. Тем же путем была лишена предметного смысла и "единица", основа счета и измерения. Числовые пропорции и отношения вновь, как у пифагорейцев, начинают представляться абсолютно самостоят. сущностями, т.е. особого рода вещами, к-рые существуют несмотря на то, что у них нет тела.

Аристотель попытался впервые зафиксировать и рассмотреть К. как особую категорию, не совпадающую с числом, величиной, фигурой и другими специально математич. понятиями.

"К о л и ч е с т в о м – называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это – величина, если его можно измерить" (Met. V, 13, 1020 а 7–14; рус. пер., М., 1934). "Между количествами одни раздельны, другие – непрерывны, и одни состоят из находящихся в них частей, имеющих определенное положение друг к другу, а другие из частей, не имеющих такого положения. Раздельными являются, например, число и речь, непрерывными – линия, поверхность, тело; а кроме того еще время и пространство" (Cat., VI, 4 b.; pyc. пер., M., 1939). Уже формальная (словесная) дефиниция весьма характерна, она обнимает не только "разнородные", но и прямо взаимоисключающие, противоположные друг другу предметы рассмотрения; К. выступает как высший род, содержащий внутри себя противоположности, как единство этих противоположностей. Рассмотрение этих диалектич. трудностей и попытки найти им решение осуществляются Аристотелем не в общей форме, а в его обычной манере двигаться "от частного к частному". Сила аристотелевского гения вообще обнаруживается не в дефинициях и итоговых выводах, а именно в способе рассмотрения трудностей, в поиске, в постоянных поворотах мысли, точки зрения, постановки вопроса и т.д. В качестве примеров непрерывных К. фигурируют линия, поверхность, тело, "а кроме того еще время и пространство". Все эти примеры просто ставятся рядом, как равноценные. Но анализ показывает, что линия и поверхность ни в коем случае не суть самостоятельно существующие вещи, а только определ. характеристики тела. Кроме того, Аристотель категорически отвергает и самостоят. существование пространства, т.е. представление о нем в виде пустоты, и толкует пространство также в качестве определ. характеристики того же "тела". Т.о., все непрерывные К. по существу сводятся к одному образу – к образу пространственно определенного тела. Время тоже рассматривается им как "число движения", т.е. тоже как определение тела, поскольку то движется, перемещается в пространстве. Непрерывное К. тем самым толкуется уже не как у элейцев, т.е. не как неразличенная сплошность, в к-рой отсутствуют какие бы то ни было границы. Это непрерывное К. само внутри себя различено, разграничено, т.е. состоит из частей. Но части непрерывного К. соприкасаются друг с другом, т.е. имеют общую (одну на двоих) границу и между ними нет промежутка, заполненного инородным телом или инородной "сущностью". Раздельные же (прерывные) К. характеризуются тем, что их части не имеют общей границы. В качестве примеров раздельных К. фигурируют число и речь, единицы и слоги. Иными словами, пока речь идет о реальной, вне человека сущей, действительности, Аристотель допускает в ней только непрерывные К., т.е. такие К., составные части к-рых всегда имеют общую границу. В итоге вопрос об отношении прерывных и непрерывных К. у Аристотеля фактически сводится к вопросу об отношении числа и речи к реальному чувственно воспринимаемому миру или знаков к вещам, этими знаками обозначаемым. Число, как постоянно повторяет Аристотель в ходе своей полемики с пифагорейско-платоновским идеализмом, ни в коем случае нельзя рассматривать как особую вещь, имеющую отдельное, обособленное от чувств. (телесных) вещей существование (см. Met. XIV, 6 1093 b 24–29).

Комментируя рассуждения Аристотеля, Ленин особо выделяет эту мысль "Метафизики": "Наивное выражение "трудностей" насчет "философии математики" (говоря по современному): книга 13, глава 2, § 23:

"Далее, тело есть субстанция, ибо оно обладает известной законченностью. Но как могли бы быть субстанциями линии? Они не могли бы таковыми быть ни в смысле формы и образа, подобно, например, душе, ни в смысле материи, подобно телу: ибо очевидно, что ничто не может состоять из линий, или из плоскостей, или из точек...".

К н и г а 1 3 , г л а в а 3 разрешает эти трудности превосходно, отчетливо, ясно, м а т е р и а л и с т и ч е с к и (математика и другие науки абстрагируют о д н у из сторон тела, явления, жизни). Но автор н е в ы д е р ж и в а е т последовательно этой точки зрения" ("Философские тетради", в кн.: Соч., т. 38, с. 371).

"Количеством в собственном смысле называется только то, что указано выше; все же остальное называется так лишь> привходящим образом: в самом деле, имея в виду те величины>, которые были указаны, мы называем количествами и остальные предметы; так, например, белое называется большим, потому что велика поверхность, и дело – продолжительным, потому что оно совершается (происходит) долгое время, и точно также движение – значительным: все это называется количеством не само по себе. В самом деле, если человек указывает, сколь продолжительно данное деяние, он определит это посредством времени, называя такое деяние одногодичным или как-нибудь подобным образом; также указывая, что белое есть некоторое количество, он определит его чрез посредство поверхности: как велика поверхность, такую величину припишешь ты и белому. Поэтому только указанное выше называется количеством в собственном смысле и само по себе; из всего же остального ничто не называется так само по себе, а если и называется, то – привходящим образом" (Cat., VI, 5 b). К. здесь весьма явственно толкуется как пространственная, временная, или пространственно- временная определенность того предмета, о к-ром идет речь. Но для Аристотеля совершенно ясно, что эта (количеств.) характеристика никогда не исчерпывает полной действительности предмета. Напр., исследователь чисел рассматривает человека не поскольку он человек, а поскольку он – единое и неделимое. С др. стороны, геометр не рассматривает его ни поскольку он человек, ни поскольку он неделим, а поскольку это – тело (см. Met. XIII, 3). Но человек является "единым и неделимым" именно постольку, поскольку он – человек. По той же причине он есть вполне определенное геометрически тело, а не просто тело. Иными словами, Аристотель отмечает здесь, что человек в его "полной действительности" есть всегда нечто большее, чем его изображение в арифметике (в числе) и в геометрии (в виде пространственно-определенной фигуры). Здесь же ясно видна и принципиальная разница между Аристотелем и атомистикой. Аристотель в качестве примера "единого и неделимого" приводит здесь человека, точнее – индивидуума, понимая это в том смысле, что индивидуум есть предел деления рода "человек". При делении человека пополам получаются не две половинки "человека", а две половинки трупа. Это значит, что каждый род действительности имеет свою "меру", т.е. свою "естеств." единицу. "И мера всегда должна быть дана как что-то одно для всех предметов данной группы>, например, если дело идет о лошадях, то мера – лошадь, и если о людях, то мера – человек. А если мы имеем человека, лошадь и бога, то мера> здесь, пожалуй – живое существо, и то или другое> их число будет числом живых существ. Если же мы имеем человека, белое и идущее, здесь всего менее можно говорить об их числе, потому что все эти определения принадлежат тому же самому предмету и одному по числу, но все же число таких определений будет числом родов, или здесь надо взять какое-нибудь другое подобное обозначение" (Met. XIV, 1 1087 b 33–1088 а 14). Число тут явно понимается как мера, повторенная много раз, т.е. как математич. выражение качества предмета. Аристотель, как отмечает Ленин, не выдерживает последовательно материалистич. т. зр. на математич. предметы. Это связано с тем, что, кроме тела, в его философии важнейшую роль играет активная форма как самостоят. сущность, и с тем, что он постоянно путается в диалектич. трудностях, касающихся отношений общего и единичного, чувственно воспринимаемого и умопостигаемого. Но сама эта путаница не плод недомыслия, а выражение того факта, что проблема К. на самом деле ведет к др. общефилос. проблемам и решается, в конце концов, только в общефилос. контексте, и ни в коем случае не внутри математики.

Схоластика, почву для к-рой подготовили уже стоики своей предельно формалистич. логикой, в общем не дала почти ничего для постановки и решения проблемы К. Это было связано, в частности, и с тем, что на протяжении средних веков почти не двинулись вперед исследования в области математики. Логика стоиков и схоластов не могла послужить сколько-нибудь плодотворным средством развития математики или способом объяснения существа ее методов и результатов. Ни стоики, ни схоласты не выделили из своей среды ни одного крупного математика, а их разработки носили по большей части характер формальных спекуляций по поводу готовых результатов математич. исследования или философствования по поводу "основ математики".

Дальнейшее продвижение вперед стало возможно только вместе с подъемом математич. естествознания в 16 в. и было связано с именами Кавальери, Декарта, Ньютона, Спинозы. Проблема К. естественно выступала на первый план по той причине, что естествознание 16–18 вв. было преимущественно математическим или, если охарактеризовать его методологич. и мировоззренч. характер, механистическим. Особый интерес в этом плане представляет фигура Декарта, соединившего в себе, впервые после Демокрита, математика и философа. Его открытия в области математики в значит. мере обусловлены его философией, и в частности – его анализом проблемы К. как филос. категории. Математич. естествознание 16–17 вв. стихийно склонялось к др.-греч. атомистике, возрожденной почти без корректив; однако Декарт в своей реконструкции атомистич. принципа сделал важнейший шаг вперед по сравнению с Демокритом. В его представлениях о К. сказывается сильнейшее влияние филос. диалектики, идей Аристотеля. Декарт отвергает представление о пространстве как о бестелесной пустоте и также представление об абс. пределе деления тел. Но это как раз те два пункта, к-рые разделили Аристотеля и Демокрита. В этих пунктах Декарт решительно стал на сторону Аристотеля и тем самым против традиции, к-рая связана с именами Ньютона и Гоббса, против некритич. репродукции древней атомистики. В качестве единственно объективных форм действительности здесь признаются только пространственно-геометрич. формы чувственно созерцаемых тел и отношения тел в пространстве и времени, выражаемые числами. Поэтому категория К. становится здесь центр. категорией мировоззрения и метода.

Декарт ставит проблему К. в "Правилах для руководства ума". Прежде всего, он обращает внимание на отношение математич. форм выражения К. к реальному предмету математич. исследования. Солидаризируясь с Демокритом и Аристотелем, Декарт возражает против представления, будто число и величина и далее – точка, линия и поверхность, представляют собой нечто действительно существующее отдельно от тел. Он выступает здесь против иллюзии, к-рая характерна для профессионально-одностороннего математич. мышления, принимающего субъективный образ предмета за сам предмет. Эта иллюзия замыкает мышление в кругу уже ранее идеализированных свойств подлинного предмета математич. исследования и делает мышление неспособным к действит. приращению математич. знания. Задача теоретически-математич. исследования на почве этой иллюзии неизбежно ограничивается чисто формальными преобразованиями уже ранее полученного знания. В итоге получается, как выражается Декарт, не математик, исследующий реальный предмет, а "счетчик", бессмысленно оперирующий с готовыми знаниями. Декарт подчеркивает, что предметом математич. исследования являются не "числа", "линии", "поверхности" и "объемы", т.е. не та или иная уже известная форма или вид К., а самое реальное К., к-рое и расшифровывается как реальная пространственная и временная определенность тел. Поэтому К. только выражается через число, меру, величину и т.д., но ни в коем случае нельзя сказать, что К. это и есть число, мера, величина и пр. Это значило бы принять математич. средства выражения К. как предмета математики за самый предмет и превратиться из математика в "счетчика". "Счетчик" просто заучивает словесно-знаковые формулы математики, не умея соотнести их с тем реальным предметом, в исследовании к-рого они возникли и зафиксированы. Поэтому реальный предмет загорожен от счетчика непроницаемой для его умств. взора стеной слов, знаков, с к-рыми он и манипулирует, постоянно принимая слова за предметы, сочетая и разделяя их по правилам, заданным ему др. людьми как штампы, как догмы, проверить и понять к-рые он не в состоянии.

Различение, к-рое проводится между "протяжением" и "телом", счетчик принимает за реальное различие между двумя вещами. "...Большинство придерживается ложного мнения, что протяжение содержит в себе нечто отличное от того, что обладает протяжением...", – т.е. от протяженного тела (Декарт Р., Избр. произв., M., 1950, с. 148). Для ума счетчика характерно, что он, встречая три слова, выражающих одну и ту же вещь, строит в своем воображении три разные вещи и никак не понимает, как и почему эти три вещи связаны между собой. Поэтому-то "очень важно различать выражения, в которых слова протяжение, форма, число, поверхность, линия, точка, единица и др. имеют столь строгое значение, что иногда исключают из себя даже то, от чего они реально не отличаются, напр., когда говорят, что п р о т я ж е н и е или фигура не есть тело, число не есть сочтённая вещь, поверхность есть предел тела, линия есть предел поверхности, точка есть предел линии, единица не есть к о л и ч е с т в о и т.д. Все такие положения и другие, подобные им, должны быть совершенно удалены из воображения, как бы они ни были истинны" (там же, с. 148–49). Поэтому как протяжение, так и К. не следует представлять себе в виде нек-рой "вещи", существующей реально отдельно от протяженных тел, находящихся в тех или иных отношениях друг к другу. "Нужно обратить особое внимание на то, что во всех других положениях, где эти названия хотя и удерживают то же самое значение и таким же образом абстрагируются от предметов, но не исключают, однако, или не отрицают ничего в той вещи, от которой они реально не отличаются, мы можем и должны прибегать к помощи воображения, ибо если интеллект имеет дело только с тем, что обозначается словом, то воображение должно представлять себе действительную идею вещи, для того чтобы интеллект мог по мере надобности обращаться и к другим свойствам, которые не выражены в названии, и опрометчиво не считал бы их исключёнными. Так, например, если речь идёт о числе, мы представляем себе какой-нибудь предмет, измеряемый многими единицами, но хотя наш интеллект мыслит здесь только о множественности этого предмета, мы, тем не менее, должны остерегаться, чтобы он не сделал вывода, будто измеряемая вещь считается исключённой из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства, – чистейший вздор, к которому они не питали бы такого доверия, если бы не считали число отличным от исчисляемой вещи" (там же, с. 149). Данное рассуждение Декарт продолжает далее и по отношению к "фигуре", "величине" и т.д. Здесь, как и везде, Декарт предполагает понимание материи (телесной субстанции), как тождественной с протяженностью. Поэтому и К. есть в общем и целом одно и то же, что и материя, только рассматриваемая под аспектом ее численной измеримости; иными словами, К. есть численно измеримое протяжение. Оспаривая схоластич. определение материи, Декарт говорит, что все трудности, испытываемые философами в вопросе о материи, происходят "...только оттого, что они хотят отличать материю от её собственного количества и её внешней протяжённости, то есть от её свойства занимать пространство" (там же, с. 196). Собственное понимание Декарт формулирует так: "...Количество описанной мною материи не отличается от численно измеримой субстанции", "истинной формой и сущностью" к-рой является протяженность и ее свойство занимать пространство (см. тамже). Спиноза, излагая философию Декарта, также формулирует в числе ее аксиоматич. определений ту мысль, что протяжение не есть что-либо отличное от К. (Quantitas) (см. "Принципы философии Декарта", ч. 2, определение 1). С этой идеей как раз и связана у Декарта идея "всеобщей математики", лишь частями к-рой должны являться арифметика и геометрия, исследующие только частные виды К., т.е. телесной субстанции, понимаемой как безграничная протяженность. Именно этот взгляд позволил Декарту разорвать узкие рамки предшествующей и современной ему математики и вывести математику в принципиально новые области исследования, заложить основы аналитич. геометрии, дифференциального и интегрального исчисления и т.д.

Принципиально тот же, глубоко верный в филос. отношении, но парадоксальный для узко-формально мысливших математиков взгляд на природу К.развивал и Спиноза. "„;Количество представляется нами двояким образом: абстрактно или поверхностно, а именно, как мы его воображаем, или же как субстанция, что может быть сделано только интеллектом. Таким образом, если мы рассматриваем количество, как оно существует в воображении, что бывает часто и гораздо легче, то мы находим его конечным, делимым и состоящим из частей; если же мы рассматриваем его, как оно существует в интеллекте, и представляем его как субстанцию, что очень трудно, то мы находим его бесконечным, единым и неделимым. Это будет достаточно ясно для каждого, кто умеет различать между воображением и интеллектом“. – "Этика", ч. 1, теорема 15-я, схолия..." (цит. по кн.: Гегель, Наука логики, в кн.: Соч., т. 5, М., 1937, с. 202; см. также Б. Спиноза, Избр. произв., т. 1, М., 1957, с. 376). Данное положение Спинозы на первый взгляд просто воспроизводит позицию элейской школы. Однако Спиноза вовсе не отрицает фактич. разделенности природы в целом (субстанции) на отд. тела. Отд. тела и границы между ними существуют, по Спинозе, отнюдь не только в воображении, а лишь познаются с помощью воображения. Отрицает Спиноза совсем другое, – то представление, будто эта фактич. ограниченность (конечность) отд. тел свидетельствует об их принципиальной, субстанциальной разнородности.

Смысл этого рассуждения в том, что реальные границы между телами, служащие, в частности, основанием для математич. выражения (для измерения и счета), суть границы между принципиально однородными частями или границы внутри одной и той же субстанции – внутри естественно-природной материи, а не между материей и чем-то ей противоположным, именно пустотой.

Лейбниц, возражавший Декарту и Спинозе по ряду других принципиально важных пунктов, в вопросе об отношении материи и К. выразился хотя и более осторожно, но достаточно определенно: "Не совсем невероятно, что материя и количество суть в действительности одно и то же" (цит. по кн.: Гегель, Наука логики, в кн.: Соч., т. 5, с. 203). Лейбниц соглашается с тем, что величина и фигура суть пространств. определения тела (см. Избр. филос. соч., М., 1908, с. 4). Однако дело сразу же оборачивается по-иному, как только вопрос встает не о пространстве и К. вообще, а об определенном К., об определенной величине и фигуре: "...Из природы тел их о п р е д е л е н н а я величина или фигура объяснена быть не может" (там же, с. 5). Точно также остается без объяснения и движение. Лейбниц делает следующий вывод: "...тела могут иметь определенную фигуру и величину, а также движение, только при предположении невещественного Существа... Но почему это невещественное Существо избрало именно такую, а не иную, величину, фигуру и движение – это можно объяснить лишь в том случае, если Оно разумно, мудро, – в виду красоты вещей, а всемогуще – в виду повиновения их его мановению" (там же, с. 9). Здесь и заключается секрет отношения Лейбница к общей линии механистич. материализма – Гассенди, Декарта, Гоббса и др.: "Я принимаю общее всем этим реставраторам правило, что в телах все должно объяснять только посредством величины, фигуры и движения" (там же, с. 15).

Однако количеств. определенность сама требует объяснения и его приходится искать вне тел, вне материи, вне вещества. Тело при этом представляется как нечто само в себе абсолютно неопределенное, неограниченное, сплошное и киселеобразное, к тому же лишенное движения. Поэтому в теле самом по себе нельзя найти основания для счета, для измерения, и математика лишается своего веществ. фундамента. Все различения и границы в телесную субстанцию вносит, посредством движения, разум. В итоге получается такая картина: "Итак, материя есть бытие в пространстве или бытие, сопротяженное с пространством. Движение есть перемена пространства. Фигура же, величина, положение, число и т.д. суть не бытия, реально отличные от пространства, материи и движения, но лишь отношения между пространством, материей и движением и их частями, созданные привзошедшим разумом. Фигуру я определяю как границу протяженного, в е л и ч и н у – как число частей в протяженном. Ч и с л о я определяю как единица + единица + единица и т.д., т.е. как совокупность единиц. П о л о ж е н и е сводится к фигуре, так как оно есть конфигурация нескольких вещей. В р е м я есть не что иное, как величина движения. А так как всякая величина есть число частей, то нет ничего удивительного, что Аристотель определил время как число движения" (там же, с. 32). Итак, все количеств. (пространственные и временные) различия и соотношения между телами – это различия, привнесенные в материю деятельной силой разума. Протяженная, но неопределенная, неразличенная в себе "материя" играет здесь роль экрана, на к-рый проецируются различия, границы и соотношения, заключенные в нематериальном начале, определяющемся в конце концов как монада, как "энтелехия" – субъект "действующей силы". Монада есть подлинная "единица", "единое и неделимое" и тем не менее, заключающая внутри себя все многообразие мира, все его прошлое, настоящее и будущее. Арифметическая же единица делима (дробь). Следовательно, все те количеств. (геометрич. и арифметич.) определения, в к-рых исчерпывается понимание внешнего, телесного мира, суть только внешние способы выражения внутр. определенности монады, имманентной ей "живой силы". Все богатство необходимых математич. истин, т.е. вся количеств. определенность мироздания, заключается, согласно концепции Лейбница, внутри монады, и тем самым в "душе" математика, сопричастной, в силу предустановленной гармонии, к универсальному миропорядку. "И хотя все частные явления природы могут быть объяснены математически и механически тем, кто их понимает, тем не менее, общие начала телесной природы и самой механики носят скорее метафизический, чем геометрический характер, и коренятся скорее в известных неделимых формах и натурах, как причинах явлений, чем в телесной или протяженной массе" (там же, с. 79). Это в общем очень похоже на Платона, на к-рого Лейбниц не устает ссылаться в своей полемике с Декартом, Спинозой и представителями механистич. естествознания.

Следующим принципиально важным этапом филос. анализа проблемы К. является нем. классич. философия конца 18 – нач. 19 вв. Кант, в значит. мере опираясь на Лейбница, связывает проблему К. с пониманием пространства и времени как априорно-трансцендентальных форм чувств. созерцания, т.е. как имманентно присущих субъекту форм его деятельности, с помощью к-рых субъект конструирует в своем представлении внешний мир. Формы созерцания тел в пространстве и времени (в т.ч. "величина", "фигура", "число", "положение", "последовательность" и т.д.) суть, по Канту, именно условия, и ни в коем случае не следствия опыта относительно тел. Этот тезис Кант обосновывает тем соображением, что иначе чистая математика протяженности (т.е. геометрия) не могла бы претендовать на всеобщее и необходимое значение своих аксиом и конструкций и все ее положения имели бы характер лишь эмпирич. истин типа "все лебеди белы", т.е. находились бы под постоянной угрозой опровержения со стороны фактов чувств. опыта. Но даже сам чувств. опыт свидетельствует о том, что между телами, абсолютно тождественными друг другу по величине и взаимному расположению частей, существует принципиальное пространств. различие: левая и правая рука различаются друг от друга, – они "инконгруэнтны", хотя никакого различия между ними ни по величине, ни по взаимному положению их частей нет. Это различие между ними существует лишь по отношению к "абсолютному пространству". Следовательно, пространство подлежит исследованию совершенно независимо от исследования наполняющих его тел, от свойств материи вообще. Это исследование и есть геометрия. В "Критике чистого разума" Кант производит дедукцию осн. понятий чистой математики, исходя из своего понимания пространства и времени. Так, величина (quanta) определяется Кантом след. образом: "Все явления содержат, что касается формы, наглядное представление в пространстве и времени, лежащее в основе их всех a p r i o r i. Поэтому они могут быть аппрегендированы, т.е. восприняты в эмпирическое сознание не иначе, как посредством синтеза многообразия, который создает представления определенного пространства или времени, т.е. посредством сложения однородного и сознания синтетического единства этого многообразного (однородного). Но сознание многообразного однородного в наглядном представлении вообще, поскольку посредством него впервые становится возможным представление объекта, есть понятие величины" ("Критика чистого разума", П., 1915, с. 130). "Величина" представляется здесь как понятие, характеризующее не вещь вне сознания, обладающую пространственно-временными границами, а результат действия силы воображения, выделяющей из хаоса чувств. впечатлений нек-рую его часть и превращающей эту часть в объект внимания, очерченный пространственно-временными границами. Здесь речь ни в коем случае не идет ни об "измерении", ни о "счете", ни о каких бы то ни было специфически математич. действиях и их результатах. Здесь рассматриваются исключительно трансцендентальные (общепсихологич.) предпосылки действий математика, ни от каких специально математич. представлений не зависящие, или условия опыта относительно явлений вообще: "так как чистое наглядное представление во всех явлениях есть или пространство или время, то всякое явление, как наглядное представление, есть экстенсивная величина, так как оно может быть познано только посредством последовательного синтеза (от части к части) в аппрегензии. Уже поэтому все явления наглядно представляются как агрегаты (множество заранее данных частей)..." (там же, с. 131). Но пространство и время в конструкции Канта играют не одинаковую роль. Если пространство есть априорная форма внешнего чувства или форма созерцания внешних явлений, то время есть априорная форма единства (синтеза) всех чувств вообще, форма созерцания явлений вообще, как внешних, так и внутренних. Поэтому именно время выступает как более общий и чистый образ величины вообще, включая сюда не только экстенсивные, но и интенсивные величины. "Чистый образ всех величин (quantorum) пред внешним чувством есть пространство, а чистый образ всех предметов чувств вообще есть время. Чистая же схема в е л и ч и н ы (quantitatis) (собственно К. – Ред.) как понятия рассудка, есть число, т.е. представление, объединяющее в себе последовательно присоединение единицы к единице (однородного). Следовательно, число есть нечто иное, как единство синтеза многообразия однородного наглядного представления вообще..." (там же, с. 121). В качестве чистого понятия рассудка, т.е. категории, К. и выступает как род единства явлений в пространстве и времени или как принцип действий рассудка, позволяющий объединять различные представления как однородные, т.е. связывать их в составе суждения, на том основании, что все они – величины. К. в этом плане выступает как класс, состоящий из трех категорий – единства, множества и всеобщности (в смысле цельности, совокупности), а в проекции общей логики как группа видов суждений – общих, частных и единичных, т.е. различающихся между собой по объему. К., как и любая др. категория, выступает у Канта как чистая форма субъективной деятельности, содержание к-рой задается только эмпирич. опытом, только ощущением. Т.о., между К. вообще и определ. К. (величиной) остается зиять та же самая пропасть, к-рая вообще разделяет у Канта умопостигаемое от чувственно-эмпирического. Тем не менее проблема К. у Канта уже достаточно определенно была поставлена как проблема единства многообразных явлений в пространстве и времени или пространственно-временного аспекта единства многообразного (т.е. конкретного). Тем самым количеств. аспект любого предмета науч. исследования был истолкован как необходимый, но отнюдь не единственно исчерпывающий аспект (категория) науч. мышления. Под этим углом зрения проблема К. рассматривается и в диалектике Гегеля.

Гегель рассматривает К. как логич. категорию, т.е. как фазу или ступень, через к-рую необходимо проходит мышление, созидающее и воспроизводящее внешний мир. К. представляется здесь как снятое качество, т.е. как более глубоко и строго понятое качество – "тождественная с бытием непосредственная определенность". "К о л и ч е с т в о (Quantität) есть чистое бытие, в котором определенность положена уже больше не как тождественная с самим бытием, а как снятая или б е з р а з л и ч н а я" (Соч., т. 1, М.–Л., 1929, с. 170). Иными словами, это – та же самая определенность, к-рая выступала ранее как качество; но если на ступени качества мышления не различало бытие от его определенности, непосредственно отождествляя одно с другим, то в результате анализа оказалось, что бытие вообще безразлично к какой бы то ни было чувственно воспринимаемой определенности, т.е. к любой из бесконечно многих конечных, отграниченных друг от друга вещей. Но в таком случае от определенности вообще остается лишь внешняя отграниченность одного от другого, от многих других таких же одних, без указания на то, что же именно заключено внутри этих границ. К последнему определенность бытия как К. совершенно безразлична, внешня. В представлении К. поэтому выступает как величина, как определ. К., и поэтому "прежде всего надлежит отличать чистое количество от него же, как о п р е д е л е н н о г о количества, от Quantum" (там же, с. 197). В качестве примеров чистого количества Гегель приводит материю вообще, а также пространство и время. Между "материей" и "К." Гегель ставит знак равенства: "...Эти понятия отличаются друг от друга лишь тем, что количество есть чистое определение мысли, а материя есть это же определение мысли во внешнем существовании" (там же, с. 203). Но при таком обороте мысли одним и тем же оказываются также односторонне количеств. миропонимание и материализм, квалифицируемый Гегелем как т. зр., сводящая все различия между предметами к различиям в протяжении, фигуре, положении и к изменениям этих различий во времени, к механич. движению. "...Упомянутая здесь исключительно математическая точка зрения, с которой количество, эта определенная ступень логической идеи, отождествляется с самой идеей, ... есть не что иное, как точка зрения м а т е р и а л и з м а, и это в самом деле находит себе полное подтверждение в истории научного познания, в особенности во Франции, начиная с середины прошлого века" (там же, с. 172). Пространство и время Гегель толкует как два взаимно дополняющих образа "чистого К.". "Пространство есть непосредственное, налично сущее количество, в котором все остается существовать, и даже граница носит характер некоего существования" (там же, т. 2, М.–Л., 1934, с. 48), а время выступает как "отрицание" наличных пространств. границ, не выводящее, однако, за пределы пространства вообще и лишь заменяющее одни пространств. границы другими, пространственными же, границами. В силу этого К. выступает не просто в образе пространства как такового или же времени как такового, а только в образе пространственно-временного континуума, единства времени и пространства, т.е. "материи", к-рой свойственны многообразные формы движения, изменения пространств. границ во времени. Односторонне-количеств., "исключительно математич." аспект осмысления внешнего мира поэтому и состоит в том, что любой предмет во Вселенной рассматривается как абсолютно тождественный всякому другому в качестве "части" пространственно-временного континуума, только как "часть" пространства – времени (т.е. материи). Иными словами, чисто количеств. взгляд на мир вовсе не упраздняет категории качества – она и тут остается молчаливо принимаемой предпосылкой, гласящей, что во Вселенной существует на самом деле лишь одно единств. качество, а не бесконечно много качеств, и что все предметы по существу однородны, одноименны в качестве частей одного и того же пространственно-временного континуума.

Принципиальный недостаток односторонне-количеств. взгляда на мир и на его познание Гегель поэтому усматривает в том, что этот взгляд, стремясь уйти от бесконечно многих чувственно воспринимаемых качеств. различий, в к-рых он теряется, выбирает одно из них и объявляет его единственно реальным, а все остальные объявляет лишь иллюзиями восприятия. Поэтому, говорит Гегель, Пифагора и его единомышленников следует упрекать не в том, что они де "заходят слишком далеко", а как раз в противоположном – в том, что они не идут достаточно далеко по пути превращения чувственно воспринимаемой действительности в понятие, а ограничиваются тем, что выдают одно из бесконечно многих качественных (т.е. чувственно воспринимаемых) определений внешнего мира за его единств. определение или необходимую ступень развития мышления – за весь путь мышления. "Согласно всему здесь сказанному, следует признать отыскивание, как это часто случается, всех различий и всех определенностей только в количественном одним из предрассудков, наиболее мешающих как раз развитию точного и основательного познания" (там же, с. 173). Полная, конкретная определенность предмета познания не исчерпывается одним лишь "количественным"; она все время, несмотря на то что ее объявили лишь субъективной иллюзией восприятия, стоит за спиной математика и выступает в представлении, в созерцании в виде тех бесконечно многих "качеств", к-рые к одному единственному никак не сводятся, несмотря на все старания. Внутри же односторонне- математич. изображения идеи эта ситуация обнаруживается в виде неожиданно возникающих и принципиально неразрешимых чисто математич. средствами противоречий, антиномий. Сюда относятся, напр., апории Зенона и антиномии Канта. Поскольку К. есть снятое качество, постольку, хотят того или не хотят математики, в определениях К. всегда будут "высовываться" все те всеобщие определения, к-рые мышление с необходимостью выработало анализом качества, т.е. до и независимо от специально количеств. анализа. Таковы непрерывность и прерывность, единство и множество, бесконечное и конечное, безграничное и ограниченное и т.д. К. одинаково обладает, напр., моментом прерывности и непрерывности. И когда хотят во что бы то ни стало свести К. к одной дискретности (напр., к числу), то в числовом выражении тот момент, к-рый хотели бы видеть несуществующим, обнаруживает себя в бесконечности числового ряда. Примерами могут служить число "пи", отношение стороны квадрата к его диагонали и т.п. В дурной бесконечности числа "пи" выражается, в частности, тот факт, что прямая и кривая отличаются друг от друга качественно.

Эта качеств. несводимость одной к другой предстает в количеств. проекции именно как невозможность закончить числовой ряд, что и уводит в дурную бесконечность пространства и времени, в "чистое К.", вообще – в неопредел. К. Анализируя математич. операции и трудности, вытекающие из непонимания этого факта, Гегель доказывает, что определ. К. (величина как предмет математики) есть всегда, видят это или не видят, признают это или нет, выражение определенного же качества, и что поэтому в количеств. выражении всегда более или менее ясно и осознанно просвечивает вся та диалектика, к-рую логика обнаружила ранее в качестве. Вывод, к к-рому Гегель стремится привести через свой анализ всех этих фактов, гласит, что "истиной определенного К.", или образа К. в математике является мера – качественно определ. К., а не просто К.

Диалектич. моменты гегелевского анализа проблемы К. послужили исходным пунктом для диалектико-материалистич. решения этой проблемы у Маркса и Энгельса. В "Капитале", в анализе стоимости предполагается, хотя и не излагается систематически, в общей форме, совершенно строгое понимание природы К. и границ применимости категории К. к анализу действительности. В противоположность Гегелю, к-рый понимал К. как необходимый, но не единственный аспект, или фазу раскрытия "конкретной идеи", Маркс толкует К. как определ. абстрактный момент действительности, соответственно – как ступень ее логич. воспроизведения. Маркс четко различает К. и величину, это различение играет важнейшую методологич. роль в "Капитале", в ходе анализа экономич. категорий. Под величиной здесь также понимается определенный, тем или иным способом огранич. К.; К. есть то, что находит свое выражение в величинах, – то непрерывное и неразличенное "одно и то же", внутри к-рого возможны любые перерывы и границы, величины и их взаимные отношения, пропорции. К. выступает здесь отнюдь не как абстрактно-собират. название для разнообразных величин, хотя формально эту категорию можно при желании истолковать и так. Это то реальное общее в действительности, к-рое позволяет рассматривать как одно и то же не только разные, но и взаимоисключающие виды величин, позволяет, напр., приравнивать экстенсивную величину к интенсивной, хотя известно, что это – противоположные и взаимно исключающие друг друга выражения одного и того же К. Величина необходимо бывает либо прерывной, либо непрерывной; либо интенсивной, либо экстенсивной, но эти различия не касаются К. Величина поэтому выступает всегда как абстрактный образ К., к-рое остается всегда чем-то более богатым и содержательным, чем его собств. выражение в тех или иных величинах и их соотношениях. С этим различением связано одно из фундаментальных положений политич. экономии Маркса: "... величина стоимости данной потребительной стоимости определяется лишь количеством труда, или количеством рабочего времени, общественно необходимого для её изготовления" ("Капитал", т. 1, 1955, с. 46). В данном выражении нелепо и неправильно было бы говорить о "величине труда" или о "величине рабочего времени" уже потому, что рабочее время одной и той же величины (т.е. продолжительности) может заключать в своих границах труд самой различной интенсивности (производительности), а тем самым и разные К. труда. С др. стороны, труд одной и той же интенсивности может совершаться в течение разных отрезков времени, и его К. вследствие этого опять-таки окажется не одинаковым. Одно и то же К. труда может выражаться (опредмечиваться) в зависимости от бесконечно многообразных и постоянно меняющихся условий, в самых различных К. продуктов и величинах меновых стоимостей, в них представленных. К. выступает здесь как то инвариантное, что определяет собой величины и их взаимные отношения, и ни в коем случае не наоборот, не величины определяют К., хотя люди определяют – в смысле измеряют – К. именно величинами и их пропорциями. О величине труда или рабочего времени, общественно необходимого для изготовления определ. товарной стоимости, говорить невозможно по той причине, что эта величина остается сама по себе неопределенной и определяет себя только через бесконечный ряд величин. Напр., простая форма стоимости ("20 аршин холста = 1 сюртуку") говорит лишь о том, что в двух обмениваемых товарах содержится одно и то же К. овеществленного труда. Но какое именно, какова его собственная величина – этого в эквивалентной форме стоимости прочитать нельзя: "в действительности эквивалентная форма товара не содержит никакого количественного определения стоимости" (там же, с. 63). Поэтому количеств. определенность самой стоимости обнаруживается только через неопределенно большой, никогда и нигде не завершающийся ряд пропорций, уравнений, отношений между величинами меновых стоимостей, но как таковая, как особая величина, на поверхность не выступает нигде. Поэтому бурж. экономисты, мышление к-рых с самого начала ориентировано узким практицизмом, обращают внимание исключительно на количеств. определенность менового отношения, на те пропорции, в к-рых выступают величины меновых стоимостей, и приходят в итоге к выводу, что говорить о каком-то "количестве труда" или о "количестве рабочего времени" значит вообще заниматься "несуществующими вещами". "Поверхностное понимание этого факта, – что в стоимостном уравнении эквивалент имеет всегда только форму простого количества известной вещи, известной потребительной стоимости, – ввело в заблуждение Бэйли и заставило его, как и многих из его предшественников и последователей, видеть в выражении стоимости только количественное отношение" (там же, с. 62–63). Эта односторонне-количеств. трактовка, продикто-ванная прагматич. взглядом на вещи, естественно согласовалась с позициями англ. эмпиризма в логике и теории познания; последний также истолковывал К. просто как абстрактно-собират. название, как "термин", обозначающий величины и их отношения.

Плоско-эмпирич., абстрактно-математич. взгляду на стоимость Маркс противопоставляет требование выяснить прежде всего реальные предпосылки чисто количеств. рассмотрения экономич. явлений, величин стоимости и их пропорций. "Чтобы выяснить, каким образом простое выражение стоимости одного товара содержится в стоимостном отношении двух товаров, необходимо прежде всего рассмотреть это последнее независимо от его количественной стороны. Обыкновенно же поступают как раз обратно и видят в стоимостном отношении только пропорцию, в которой приравниваются друг другу определённые количества различных сортов товара. При этом забывают, что различные вещи становятся количественно сравнимыми лишь после того, как они сведены к известному единству. Только как выражения известного единства они являются одноимёнными, а следовательно, соизмеримыми величинами" (там же, с. 56). "Что предполагает чисто к о л и ч е с т в е н н о е различие вещей? Одинаковость их к а ч е с т в а" (Архив Маркса и Энгельса, 4, 1935, с. 119). Иными словами, количеств. анализ явлений предполагает вовсе не слепоту к качеству, не абстракцию от всех и всяких качеств. различий, а как раз наоборот, четкое усмотрение тех качеств. границ, внутри к-рых этот анализ производится, или выделение того одного качества, количеств. выражение к-рого должно быть в данном случае найдено. Когда бурж. политич. экономия видит в действительности экономич. отношений лишь количеств. отношения и остается слепой к качеств. структуре произ-ва, она заходит в итоге в тупик и в самом количеств. анализе. Ибо одно дело сознательно отвлекаться (абстрагироваться) от качеств. различий там, где это диктуется специфич. природой дела, а совсем другое – просто закрывать глаза на все и всякие качеств. различия; это самый верный способ запутаться в неразрешимых антиномиях и парадоксах, с необходимостью возникающих в результате неправомерных, неоправданных математич. экстраполяций. Общеметодологич. корень всех иллюзий бурж. политич. экономии в отношении стоимости Маркс видит в недостаточности анализа величины стоимости: "... ей и в голову не приходит, что чисто количественное различие видов труда предполагает их качественное единство или равенство, следовательно их сведение к абстрактно человеческому труду" ("Капитал", т. 1, с. 86, прим.). Вся трудность проблемы стоимости заключается в том, что здесь все качественно различные виды труда выступают просто как формы выражения одного и того же труда, труда одного и того же качества, и что труд этого совершенно определ. качества становится здесь формой выражения своей собств. противоположности, – труда, лишенного каких бы то ни было качеств, – абстрактно-всеобщего, однородного, "бес-качественного" труда, а потому определяется лишь количественно. Односторонне-количеств. понимание экономич. явлений предполагает, Т.о., не игнорирование всех и всяческих качеств. определений, а молчаливо допущенное сведéние всех качественно различных видов труда к одному единственному. Что это за труд, каково его "качество", об этом бурж. наука предпочитала не распространяться. На самом же деле это вполне определенный историч. образ труда – труд "простой" необученный, неквалифицированный, труд просто как затрата определ. образом дрессированной природной силы человека, – "...п р о с т о й труд, которому может быть обучен каждый средний индивидуум и который он, в той или другой форме, должен выполнять" (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 13, с. 17). Любой труд, вид труда приравнивается к простому труду и меряется его мерой. Но поскольку реальные качеств. различия между разными видами труда при этом из действительности не исчезают, постольку такое приравнивание совершается "за спиной" людей и неведомыми для них способами. Но если такое сведéние всех качественно различных видов труда к труду одного качества предположено, то различные виды труда могут отличаться друг от друга лишь как разные К., лишь в количеств. проекции. "Как количественное бытие движения есть время, точно так же количественное бытие труда есть рабочее время. Различие в продолжительности самого труда является единственным различием, свойственным ему, предполагая данным его качество... Рабочее время суть живое бытие труда, безразличное по отношению к его форме, содержанию, индивидуальности; оно является живым количественным бытием труда и в то же время имманентным мерилом этого бытия" (там же, с. 16). Соответственно меновые стоимости товаров выступают здесь просто как порции, величины, определ. К. "застывшего рабочего времени"; только как порции этого времени товары и могут рассматриваться с чисто количеств. т. зр., как меновые стоимости. Рабочее время, имеющееся в распоряжении общества, выступает как единственный чисто количеств. аспект "субстанции" стоимости, или субстанция как К., могущее делиться на бесконечно многообразные порции одного и того же качества, на однородные и потому одноименные величины. Другое дело, что бурж. общество не имеет возможности измерять К. общественно-необходимого труда прямо и непосредственно рабочим временем, т.е. его имманентной мерой, а вынуждено прибегать к окольному его измерению через весовые единицы золота, через "внешнюю меру". Но весовые величины благородных металлов имеют здесь значение своеобразных проекций величин рабочего времени, значение "пространств. эквивалента" величин времени. Поэтому всеобщее рабочее время в свою очередь представляется как особая вещь, как товар, существующий наряду со всеми другими товарами и вне их всех. Тот специфич. товар, к-рый начинает представлять собой всеобщее рабочее время и играть роль его специфич. воплощения, "... должен обладать способностью выражать чисто количественные различия, что предполагает тождественность, качественную однородность" (там же, с. 135). Поскольку все товары в своих ценах суть лишь мысленно представляемые количества золота разной величины, постольку "... возникает техническая необходимость относить их к определенному количеству золота как к единице и з м е р е н и я; последняя развивается далее в масштаб, благодаря тому, что она делится на равные части, которые, в свою очередь, опять-таки делятся на равные части" (там же, с. 55). В свете своего понимания количества Маркс разбивает характерную для бурж. науки иллюзию, будто единица измерения, через к-рую выражаются пропорции величин меновых стоимостей, представляет собой чисто произвольное установление и потому могла бы существовать даже в том случае, если бы на свете не существовало никакой субстанции стоимости. Обосновывая это понимание денег, бурж. экономист Дж. Стюарт ссылался на практику геометрич. измерений и задавал риторич. вопрос – какова нормальная величина градуса, секунды, метра. Действительно, если речь идет только о сравнении величин стоимостей, о чисто количеств. стороне дела, то здесь совершенно безразлично как собств. содержание денежной единицы, так и ее название. Фиксируя этот поверхностный аспект практики измерения, Стюарт отрицает вообще к.-л. рацион. связь между единицей измерения и качеств. свойством меры: "так как товары благодаря превращению своих меновых стоимостей в цены выступают как одноименные величины, то он отрицает качественную особенность меры, которая и делает их одноименными; так как в этом сравнении различных количеств золота величина того количества золота, которое служит единицей измерения, условна, то он отрицает, что эта величина вообще должна быть установлена. Вместо того, чтобы ¹/360 часть круга называть градусом, он может назвать градусом ¹/180 часть; тогда прямой угол равен был бы 45 градусам вместо 90, и соответственно изменилось бы измерение острых и тупых углов. Тем не менее мерой угла по-прежнему осталась бы, во-первых, качественно определенная математическая фигура – круг и, во-вторых, количественно определенный отрезок круга" (там же, с. 64–65).

Выявить то полное понимание категории К., к-рое предполагается анализом стоимости в "Капитале", остается первоочередной задачей при конкретной разработке диалектики как логики и теории познания марксизма. Эта важнейшая задача в филос. литературе еще не разрешена с той степенью конкретности, к-рой она заслуживает.

Общие контуры решения проблемы К. в связи с развитием естествознания были освещены Энгельсом в ряде сочинений, прежде всего в "Диалектике природы" и "Анти-Дюринге". Универсальное значение количеств. определений действительности, соответственно количественно-математич. обработки опытных данных, универсальную применимость математики и ее методов Энгельс обосновывает тем, что любая из возможных в природе форм движения "...заключает в себе механическое движение, перемещение больших или мельчайших частей материи" ("Анти Дюринг", 1957, с. 356), т.е. тем, что пространство и время суть всеобщие формы бытия движущейся материи. Как движение в общем смысле слова представляет собой способ существования материи, внутренне присущий ей атрибут, так и механич. движение – эта самая абстрактно-всеобщая из всех форм движения – представляет собой способ существования материи в пространстве и времени. Поэтому любая из форм движения материи, кончая высшими – жизнью и мышлением, всегда связана с механич. движением, выражается через него и потому всегда может быть проанализирована и описана с т. зр. ее пространственно-временных параметров, т.е. чисто количественно. Энгельс вместе с тем остро полемически выступает против известных иллюзий естествоиспытателей, связанных с непониманием диалектич. отношения механич. движения (т.е. пространств. изменения частей материи во времени) к другим, более сложным и конкретным формам движения, с представлением, будто бы лишь механич. движение и его продукты, фиксированные в пространстве, суть единственно объективные (т.е. вне и независимо от воли и сознания человека существующие) определения естественно-природных явлений, а все остальные непосредственно наблюдаемые факты – лишь субъективные иллюзии, создаваемые органами чувств человека. Односторонне-механич. (односторонне-количеств.) взгляд на природу неизбежно связан с превращением качества в чисто субъективную категорию, с отрицанием возможности применять ее к чему-либо, кроме мира чисто субъективных переживаний и самоощущений человеч. индивида, причем сам этот субъективный мир оказывается при таком предположении совершенно несоизмеримым с объективными характеристиками и невыразимым через них. Отмечая, что все виды и формы движения в природе заключают в своем составе механич. движение, т.е. пространств. изменение, совершающееся во времени, Энгельс продолжает: "познать эти механические движения является п е р в о й задачей науки, однако лишь п е р в о й ее задачей". "Можно охотно согласиться с тем, что современное течение в науке движется в этом направлении, но это не доказывает, что оно является исключительно правильным и что, следуя этому течению, мы до конца и с ч е р п а е м физику и химию" (там же).

Поэтому при всей справедливости истины, к-рая была высказана уже Кантом, а на материалистич. основе переосмыслена Марксом, что наука вообще достигает совершенства лишь там и в той мере, в какой ей удается взять на вооружение математику, это вовсе не означает, что чисто математич. описание явлений есть предел, цель и идеал совершенства теоретич. знания. Не выявив количеств. определенности явлений, наука остается при неполном и одностороннем их понимании. Но верно и обратное: если явления проанализированы только в плане К., их понимание не менее ущербно и абстрактно. Односторонне количеств. описание явлений природы исчерпывало бы задачу науки лишь в одном случае, если бы материя действительно представляла собой абсолютно тождественную, неразличенную внутри себя массу, а все различия и изменения внутри этой массы сводились бы к чисто пространств. перемещениям, протекающим во времени. В этом случае все науч. знание действительно свелось бы к ряду математич. уравнений, пропорций неименованных величин, чистых чисел, и пифагорейская философия могла бы претендовать на титул единственно науч. философии. Конечно, все это никак не снимает важности нахождения механич. эквивалентов всех многообразных форм движения; с этой задачей и связана неустранимая потребность и тенденция разрешить все многообразные физич. величины (массы, энергии и т.д.) в чистые пространственно-временные величины, к-рые можно затем рассматривать как неименованные величины, как чистые числа в составе уравнений, абстрактно-математич. пропорций. Это, однако, не значит, что они объективно к ней "сводятся" без остатка. "Остаток" получается весьма солидный, ибо этот "остаток" – качество, качественно-количеств. определенность с ее специфич. мерами. Несводимость качеств. различий к количественным Энгельс демонстрирует и на примерах из самой математики: "говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположности: мы имеем здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся количественно несоизмеримыми. Обычная несоизмеримость, например несоизмеримость круга и прямой линии, тоже представляет собою диалектическое качественное различие; но здесь именно к о л и ч е с т в е н н а я разность о д н о р о д н ы х величин заостряет к а ч е с т в е н н о е различие до несоизмеримости" ("Диалектика природы", 1955, с. 206–07). Именно поэтому теоретики, в к-рых бурж. общество воспитало подозрит. недоверие к диалектике, к логике противоречия, всегда испытывают враждебное чувство к понятию бесконечности, в виде к-рой в математич. выражении всегда выступает неразрешенное качеств. различие между объектами, измеряемыми одной и той же мерой. Анализируя взгляды Е. Дюринга, Энгельс показывает, что стремление уйти раз и навсегда от диалектич. противоречий в понятии бесконечности, в математич. описаниях времени, пространства и движения, всегда рано или поздно приводит к противоречиям нелепым, формальным, к-рые отнюдь не исчезают от того, что их маскируют искусств. способами выражения, разрешают чисто словесно.

Дальнейшую разработку и конкретизацию т. зр. диалектич. материализма на проблему К. получила в работах Ленина, в связи с "новейшей революцией в естествознании" и с критикой философско-гносеологич. спекуляций на трудностях развития физики, открывшей на рубеже 19–20 вв. дверь в мир субатомных структур. Проблема К. встала в этих условиях существенно по-новому в связи с тем, что углубляющаяся математизация физики сочеталась здесь с кризисом традиц. механистич. представлений и понятий. "Новая физика, найдя новые виды материи и новые формы ее движения, поставила по случаю ломки старых физических понятий старые философские вопросы" (Ленин В. И., Соч., т. 14, с. 266) и, в частности, вопрос об отношении пространства, времени и движения к материи, к "субстанции". Механистич. представления о материи не позволяли уже сколько-нибудь удовлетворительно объяснить свойства и поведение частиц, пространств. размеры, скорости, массы и энергии к-рых оказывались несоизмеримыми с величинами классич. физики, а попытки выразить одно через другое стали то и дело приводить к парадоксам. Именно с этим и был прежде всего связан т.н. "кризис в физике" и попытки найти из него выход на пути физич. идеализма. В качестве первой причины "физич. идеализма" Ленин назвал математизацию физики: "Крупный успех естествознания, приближение к таким однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическую обработку, порождает забвение материи математиками. "Материя исчезает", остаются одни уравнения" (там же, с. 294). В основу односторонне-количеств. идеала познания Мах положил свою субъективно-идеалистич. концепцию пространства и времени: "пространство и время суть упорядоченные (или гармонизированные...) системы рядов ощущений" (цит. по кн.: Ленин В. И., там же, с. 165); количественно-математич. анализ явлений этим был сведен к субъективной операции, к упорядочивающему описанию рядов ощущений, а математика – к "языку" этого описания. Не случайно и то, что неопозитивизм – прямое продолжение махизма в философии – сделал субъективно-идеалистич. "обоснование математики" осн. руслом своей работы и фундаментом всех своих построений, а идеалистически истолкованную математику – осн. оружием против материализма вообще, против материалистич. решения проблемы К. в частности. Следуя по этому пути, неопозитивизм по существу расписался в полной капитуляции перед трудностью проблемы, заявив устами Б. Рассела, что математика – это доктрина, в к-рой мы не знаем ни того, о чем мы говорим, ни правильно ли то, что мы говорим. Проблема К. (или количеств. определенности реальной действительности) как реального основания количественно-математич. описания явлений природы, Т.о., в неопозитивистской философии оказалась фактически снятой с повестки дня и подменена совсем другой, подчиненной ей, проблемой формальной структуры языка математики, способов знаково-символич. изображения К. в математике. Опровергая субъективно-идеалистич. спекуляции на математизации естествознания, Ленин доказывает ту истину, что количественно-математич. описание физич. явлений всегда было, есть и остается формой отражения материальных, т.е. в пространстве и времени существующих, тел. Отвечая Богданову, к-рый вслед за Махом утверждал, что "понятие материи сводится к выступающему в уравнениях механики коэффициенту массы, а этот последний при точном анализе оказывается обратной величиной ускорения при взаимодействии двух физических комплексов – тел", Ленин формулирует: "Понятно, что если какое-нибудь т е л о взять за единицу, то движение (механическое) всех прочих тел можно выразить простым отношением ускорения. Но ведь "тела" (т.е. материя) от этого вовсе еще не исчезают, не перестают существовать независимо от нашего сознания. Когда весь мир сведут к движению электронов, из всех уравнений можно будет удалить электрон именно потому, что он везде будет подразумеваться, и соотношение групп или агрегатов электронов сведется к взаимному ускорению их, – если бы формы движения были так же просты, как в механике" (Соч., т. 14, с. 275).

В пользу диалектико- материалистич. взгляда на количественно-математич. аспект анализа (отражения) естественно-природных явлений Ленин приводит также многочисл. высказывания тех физиков, к-рые сохранили стихийно-материалистич. взгляд на вещи. В плане анализа количеств. стороны дела в физике Ленин цитирует свидетельство Больцмана: "Если не делать себе иллюзий насчет значения дифференциальных уравнений, то не может быть сомнения в том, что картина мира (посредством дифференциальных уравнений) все-таки необходимо будет атомистическая, картина того, как по известным правилам будут изменяться во времени громадные количества вещей, расположенных в пространстве с тремя измерениями" (там же). Иными словами, объективным прообразом дифференциальных уравнений оказывается и с т. зр. Больцмана именно пространственно-временная определен-ность материальных тел, дискретных частей единой материи. Этот взгляд Больцмана Ленин приводит сочувственно, как совпадающий в главном с т. зр. диалектич. материализма.

Огромную роль придавал Ленин и количественно-математич. анализу в социальных науках, называя статистику "...одним из самых могущественных орудий социального познания..." (Соч., т. 16, с. 400). В то же время Ленин показывал на фактах, насколько важна при статистич. анализе качеств. сторона дела, качеств. критерии систематизации цифрового материала. Без тщательнейшего внимания к этим критериям статистика "...превращается... в уродство, в статистику ради статистики, в игру" (там же), под к-рой чаще всего кроется отнюдь не бескорыстно-математич. цель.

Разработка проблемы К. с позиций диалектич. материализма остается актуальнейшей задачей марксистской философии как в связи с продолжающимся расширением роли количественно-математич. методов анализа во всех областях науки, так и в связи с тем, что гл. направление атак неопозитивизма на диалектико-материалистич. логику и теорию познания находится как раз на линии математики и ее роли в науке. Полное и конкретное решение проблемы К. как важнейшей категории диалектич. логики, связанной с диалектико-материалистич. пониманием "оснований математики", является поэтому одной из актуальнейших задач диалектики как логики и теории познания марксизма.

Количество (в математике) – филос. категория, причисленная впервые к числу категорий Аристотелем и являющаяся прежде всего соотносительной с категорией качества. Будучи категорией, т.е. одним из осн. понятий, К. не определяется формально через другие, более широкие, понятия: выясняется только его отношение к др. категориям или понятиям, таким как качество, мера, число, величина, множество, вещь ("одно"), дискретность, непрерывность, возможность и др.

Так, у Аристотеля читаем: "К о л и ч е с т в о м – называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это – величина, если его можно измерить. Множеством при этом называется то, что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною – то, что делится> на части непрерывные" (Met. V, 13, 1020 а 7–14).

Хотя на первый взгляд в этом пояснении термина "К." нет, в действительности, однако, эта категория скрыта уже за "чем-то одним, данным налицо". Пусть, напр., тем "что может быть разделено на составные части, каждая из которых... является чем-то одним, данным налицо", является семья, состоящая из отца, матери, бабушки, дочери и сына. Ясно, что для того, чтобы трактовать каждого из членов этой семьи как нечто "одно, данное налицо", нужно отвлечься от всех качеств. особенностей каждого из этих лиц; нужно видеть в каждом из них только одного из членов семьи, однородного (в этом смысле) со всеми остальными, но в то же время отличимого от них настолько, чтобы никаких сомнений в числе различных членов семьи не могло быть. Наилучшим выражением такой "семьи" как К. будет поэтому, напр., "слово" IIIII, состоящее из "букв" "I", по качеству совершенно однородных, но в то же время полностью отличимых друг от друга.

Выражением К. в этом его смысле будет, очевидно (натуральное) число, 1, 2, 3, 4, 5, ... (об обобщении понятия числа на пустое слово нуль см. Число). Выражением К. в смысле величины также служит число (действительное); отношение же к качеству опять оказывается скрытым за требованием возможности деления на однородные (по качеству) части. Т.о., в пояснении К., данного Аристотелем, действительно содержится определ. информация о ситуациях, в к-рых применение категории К. имеет смысл.

Гораздо более трудно понять, что именно хотел сказать автор, – даже если им является Кант, – в "определениях" вроде следующего: "...сознание многообразного однородного в наглядном представлении вообще, поскольку посредством него впервые становится возможным представление объекта, есть понятие величины (Quanti)" ("Критика чистого разума", 1915, с. 130).

По Гегелю ("Наука логики"), К. отличается от качества тем, что в то время как последнее однозначно характеризует (специфицирует) вещь, так, что при изменении качества вещи (индивидуума) она становится другой вещью (другим индивидуумом – вещью другого рода), – количественное изменение вещи может и не делать ее другой вещью; лишь при накоплении количественных изменений наступает критический момент, когда К. переходит в качество.

В соч. классиков марксизма-ленинизма категория К. рассматривается прежде всего в связи с установлением количеств. (математич.) закономерностей, связанных с качеств. изменениями объектов; закон "перехода количества в качество и обратно", – писал Энгельс, – содержит в себе тот смысл, что "...невозможно изменить качество какого-нибудь тела без прибавления или отнятия материи либо движения, т.е. без количественного изменения этого тела. В этой форме таинственное гегелевское положение оказывается... не только вполне рациональным, но даже довольно-таки очевидным" (Mapкс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 385). (См. Переход количественных изменений в качественные). Как замечает Энгельс, наличие этих закономерностей может быть прослежено во всех областях науки, в т.ч. и в биологии, и в истории человеч. общества, где закон перехода К. в качество "...подтверждается на каждом шагу..." (там же, с. 389). А т.к. количеств. отношения действит. мира изучаются математикой, то из этого непосредственно следует применимость математики ко всем наукам. По мнению Энгельса, только недостаточным развитием техники точного измерения может быть объяснено отсутствие строгих количеств. закономерностей в тех или иных областях науки. Так, в применении к биологии Энгельс пишет (по поводу закона перехода К. в качество и обратно): "этот же самый закон имеет силу и для живых тел, но в живых телах он проявляется в весьма запутанных условиях, и количественное измерение здесь для нас в настоящее время часто еще невозможно" (там же, с. 386). С тех пор, как были написаны эти слова (1879), наука и техника сделали такой шаг вперед, что это замечание Энгельса звучит теперь как полностью оправдавшееся предвидение применимости математич. методов в биологии. Конечно, из этого не следует, будто качеств. различия поддаются объяснению лишь постольку, поскольку они могут быть сведены к количеств. различиям (т. зр. механистич. материализма).

В связи с вопросом о единстве К. и качества нужно отметить исторически возникающую необходимость расширения смысла категории К. (и понятия "количеств. соотношение"), связанную с пониманием математики как науки о количеств. соотношениях действит. мира. Дело в том, что совр. математика не есть уже только наука о числах и величинах. В то же время для всей математики, в т.ч. и современной, особое значение имеет понятие К. в применении к множествам объектов. Если мы имеем дело с множеством жестких (т.е. подчиняющихся закону "А = А", т.е. не изменяющихся) объектов, "безразличных", как говорил Гегель, друг к другу (т.е. не меняющихся, когда они вступают в отношения друг с другом), то количеств. характеристика этого множества объектов настолько не специфирует последние, что остается неизменной при замене каждого из них на любой другой жесткий объект, "безразличный" к остальным. Одно и то же число 5 является количеств. характеристикой любого множества из пяти жестких предметов: будут ли это пальцы рук, или стороны выпуклого пятиугольника, или лепестки цветка, или какие угодно др. предметы, образующие множество из пяти элементов.

Выражением К. элементов к.-л. множества является число этих элементов. Два разных множества имеют одно и то же число элементов, если эти множества можно привести во взаимно-однозначное соответствие, сопоставив каждому элементу одного из них один, и только один, элемент другого. Такие два множества наз. равномощными (их можно было бы называть также равночисленными или равноколи-чественными). Так, множества букв (знаков) в словах "отец" и "мать" равноценны. Их можно привести во взаимо-однозначное соответствие, сопоставив, напр., следующим образом их элементы: м ↔ о, а ↔ т, т ↔ е, ь ↔ ц (слева от знака соответствия ↔ стоят буквы слова "мать", справа – соответств. буквы слова "отец").

Поскольку К. элементов множества не определяется их качеств. особенностями (существенно только, чтобы их можно было отождествлять и различать), – с чем связано и то обстоятельство, что при определении числа (количества) элементов к.-л. (конечного) множества их можно заменять любыми достаточно жесткими предметами, – люди еще со времен антич. древности научились пользоваться счетными приборами и инструментами, в к-рых операции производились над камушками (лат. слово calculus – "камушек" – означает на мн. совр. языках исчисление), косточками (см. рус. выражение "скостить со счета"), буквами (цифры, тоже можно рассматривать как буквы в нек-ром алфавите) и т.п. жесткими объектами, с помощью к-рых и создавались математич. исчисления.

Роль букв особенно существенна. Достаточно напомнить роль буквенных обозначений в математике. Суть дела в том, что уже простая замена вещей буквами, – рассматриваемыми при этом не как знаки для фонем (т.е. не в фонетич. смысле), а только как нек-рые объекты, к-рые мы умеем различать и отождествлять, – помогает нам отвлечься от качеств. особенностей вещей, выявить (и выразить) их количеств. соотношения. Простейшими из последних являются, напр., уже упомянутое выше соотношение равномощности двух множеств; соотношения порядка (больше, меньше); соотношения, определяемые оперированием с множествами (их объединением, пересечением, дополнением и др.). Но можно пойти и дальше. Все, что относится к области соотношений, верных для неспецифицированных ближе объектов (к-рые мы тем не менее умеем различать и отождествлять), и что поэтому может быть выражено с помощью букв, – при условии, что с последними мы умеем оперировать по точным правилам, характерным для математич. исчислений, – можно считать примером К. или количеств. соотношений. Это является тем более обоснованным, что всякое буквенное исчисление допускает т.н. арифметизацию, с помощью к-рой его операции превращаются в нек-рые вычислимые функции (см. Алгоритм).

Поскольку формальная логика также не специфицирует объектов тех предметных областей, к рассуждениям о к-рых должны быть применимы ее правила [не случайно еще Аристотель выражал общие правила логики (см. "Аналитики...", I 4, 25 b 37–26 а 20; рус. пер., М., 1952) с помощью букв ], не приходится удивляться тому, что и к ней оказываются применимыми математич. методы, с помощью к-рых и строится математич. логика. Именно этой применимостью математики и логики к любым объектам, рассматриваемым в отвлечении от их качеств. особенностей (в пределах нек-рой предметной области), и объясняется исключит. общность этих наук и плодотворность их применения в др. науках. Достаточно напомнить в этой связи, что нет такой мысли, к-рая не могла бы быть выражена (закодирована) с помощью букв к.-л. алфавита (и притом так, что операциями с этими буквами и образованными из них словами выражаются соотношения между закодированными в них объектами). С др. стороны, ясно, что всякий код имеет смысл лишь постольку, поскольку мы умеем расшифровывать, т.е. понимать его. Попугай умеет повторять слова, но он не умеет пользоваться ими для выражения и сообщения мысли, в к-рой отражаются предметы и явления окружающего нас мира (в т.ч. и наши собств. переживания). Всякое практич. применение нек-рого кода связано с к.-л. интерпретацией его "слов", в к-рой последние не являются уже только комбинациями из неспецифицированных объектов ("букв"), но становятся обозначениями качественно определяемых предметов (в т.ч. и процессов) или же их конкретных свойств или соотношений. Во всяком таком применении мы имеем уже дело поэтому с нек-рым единством К. и качества, в к-ром количеств. закономерности могут характеризовать, в частности, узловые точки, где происходит изменение качества предмета.

О единстве К. и качества приходится говорить и в применении к самим количеств. соотношениям. Дело в том, что абстрагирование от качеств. особенностей рассматриваемых предметов не означает в действительности полного исключения всего связанного вообще с качеств. характеристиками. Бесконечные множества, рассматриваемые даже только как становящиеся, т.е. потенциально (см. Множеств теория), могут быть заданы лишь с помощью указания общих свойств ("качеств") их элементов, (в т.ч. и способа их построения). А ведь уже натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4..., с изучения к-рого начинается вся математика, есть бесконечное множество (каждый элемент к-рого есть, к тому же, качественно определ. индивидуум). Различные количеств. соотношения, хотя они и являются соотношениями между неспецифицированными (индивидуально!) предметами, сами отличаются уже друг от друга качественно, т.е. представляют собой индивидуальные – хотя и абстрактные – предметы. (Свойства и отношения в этой связи также могут рассматриваться как предметы, напр. как предметы исследования). Уже в этом, Т.о., проявляется диалектич. единство К. и качества. Поэтому не приходится удивляться тому, что в математике существуют даже такие названия дисциплин, как "качественная теория дифференциальных уравнений", или что в топологии числа играют лишь вспомогат. роль, величин же вообще нет.

Еще Аристотель связывал категорию К. с измерением величин и рассматривал в этой связи вопросы соотношения непрерывного и дискретного. В совр. науке эта проблематика рассматривается в связи с измерением величин или общими понятиями числа (особенно действительного) и меры (в т.ч. и меры множества). См. Мера.

    КОЛИЧЕСТВО — философская категория, отображающая общее в качественно однородных вещах и явлениях. Чтобы выявить в них это общее, необходимо, во-первых, установить их однородность, т. е. показать, в каком именно отношении они эквивалентны между собой, во-вторых, выделить то свойство или отношение, по которому рассматриваемые вещи сравниваются, и абстрагироваться от других их свойств. Поскольку количественная сторона мира стала предметом исследования математики, то в дальнейшем философские представления о количестве связывались именно с результатами изучения тех видов или форм количества, которые существовали в математике.

    Простейшей формой количества является целое положительное число, которое возникает в процессе счета предметов. Изучая отношения между числами такого натурального ряда, пифагорейцы первыми обратили внимание на то, что такие отношения определяют закономерности между свойствами предметов внешнего мира. Отсюда они пришли к признанию божественной роли числа. Однако открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной вызвало глубокий кризис в пифагорейской школе, т. к. с помощью целых чисел оказалось невозможным установить простейшие отношения между геометрическими величинами. Хотя в дальнейшем это противоречие было внешне преодолено остроумной теорией пропорций Евдокса, оно продолжало оказывать влияние на обобщение и развитие понятия числа.

    Первое развернутое определение количества, явно ориентированное на опыт древнегреческой математики, было дано Аристотелем. “Количеством называется то, что может быть разделено на части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто. Всякое количество есть множество, если оно счислимо, и величина — если измеримо” (Met. V 13,1020 а 7—10; Соч., т. l. M„ 1975).

    Это определение в тех или иных вариациях повторялось другими философами и до сих пор не потеряло своего значения, хотя в нем недостаточно ясно выражена связь между количеством vi качеством.

    КАЧЕСТВО, СВОЙСТВО И КОЛИЧЕСТВО. Различие между предметами и явлениями уже на уровне чувственного познания непосредственно отображается с помощью свойств, которые выражают отдельные их особенности, признаки и отношения. Сравнение и измерение свойств и отношений предполагает выделение качественно однородного и одинакового в вещах, а именно тождественных их свойств и отношений. Поскольку первичным в познании является ощущение, а в нем неизбежно содержится качество, то анализ количества начинается именно с выявления качественно однородных свойств вещей. Эти свойства в науке называют величинами, и они могут быть сравнимы или измеримы. В первом случае между ними устанавливается отношение, выражаемое терминами “больше”, “меньше” или “равно”. Во втором случае выбирается определенная общая единица измерений (напр., длина, масса, температура и т. п.) и значение соответствующей величины определяется ее отношением к единице измерения, т. е. числом. Это число может оказаться целым, дробным или даже иррациональным. Важнейшая цель познания заключается в открытии законов, которые выражают инвариантные, устойчивые, регулярные связи между величинами, характеризующими определенные процессы в мире. Количественно эти связи отображаются с помощью различных математических функций, определяющих зависимость одних величин (функций) от других независимых величин (аргументов). Если с помощью элементарной математики постоянных величин можно было изучать фиксированные связи между ними, то с введением переменных величин стало возможным исследовать разнообразные функциональные отношения, а тем самым математически отображать движение и процессы. Создание дифференциального и интегрального исчислений дало в руки ученых мощное средство для количественного исследования различных процессов, и прежде всего изучения движения земных тел в механике и небесных тел в астрономии. В дальнейшем математика создала еще более эффективные методы количественного анализа: она не ограничилась изучением величин, а перешла к исследованию более общих абстрактных структур, среди которых анализ величин занимает весьма скромное место, хотя в прикладных исследованиях по-прежнему он продолжает играть важную роль. Не случайно поэтому иногда математику определяют как науку о косвенных измерениях величин.

    КОЛИЧЕСТВО И АБСТРАКТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. Процесс дальнейшего абстрагирования от качественной природы исследуемых объектов и точного описания их специфических количественных отношений получил наиболее ясное выражение в математической структуре, в которой органически объединены представление о множестве ее элементов и аксиоматическом методе, описывающем их количественные отношения посредством точно перечисленных аксиом. Все дальнейшие заключения о такой структуре могут быть получены чисто дедуктивно. “Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся ее элементы,..; затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их “природы”)” (Бурбаки Н. Архитектура математики. — В кн.: Он же. Очерки по истории математики. М-, 1963, с. 251). Такой взгляд на абстрактные структуры и математику как совокупность подобных структур последовательно разрабатывался начиная с 1930-х гг. группой французских математиков, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки. В последние годы выдвигается еще более общее понятие алгебраической категории, которое может содержать в качестве объектов не только элементы, но и множества. Достоинства подобного подхода очевидны: в абстрактных структурах и категориях представлены современные формы количества, которые сложат готовыми орудиями исследования ученого. Как только он заметит, что изучаемые им объекты удовлетворяют отношениям, сформулированным в аксиомах той или иной математической структуры, он сразу же может воспользоваться всеми теоремами, которые для них доказаны. Это избавляет его от необходимости самому заниматься этим трудным делом, требующим немалых творческих усилий. Не случайно поэтому структурный подход сравнивают с системой Тейлора в математике. Действительно, он служит не только эффективным средством для математизации современного научного знания, основанной на применении количественных форм современной математики, но рационализирует также и поиск новых идей в самой математике, где решающую роль играет интуиция.

    ПРЕИМУЩЕСТВА КОЛИЧЕСТВЕННОГО ЯЗЫКА Этот язык впервые начал систематически применять в своих исследованиях Г. Галилей. Быстрый прогресс науки в течение последних столетий был бы невозможен без использования количественных методов. Первое и очевидное их преимущество заключается в упрощении научного словаря. Вместо того чтобы различные значения определенной величины, напр. температуры, обозначать разными качественными терминами (холодная, теплая, более теплая, горячая и т. д.), достаточно сопоставить с ними соответствующие числа — и различие между ними будет выражено в точных количественных понятиях. Это избавляет нас от необходимости помнить многочисленные слова, обозначающие довольно неопределенные ощущения температуры.

    Важнейшее же преимущество такого языка заключается в том, что он дает возможность формулировать в точных количественных терминах научные законы. С их помощью можно, во-первых, яснее представить взаимосвязи между явлениями, во-вторых, полнее и точнее объяснить существующие факты и явления, как количественные следствия из законов, а самое главное — достоверно или с большей степенью вероятности предсказать новые, ранее неизвестные явления и прогнозировать возникновение будущих событий и процессов. Не менее важное преимущество законов, выраженных в количественной форме, состоит в том, что к ним проще применить весь тот аппарат, которым располагает современная математика в форме абстрактных структур и категорий.

    Поскольку количество тесно связано с качеством, то все процессы и формы движения материи в принципе могут изучаться математическими методами, но роль последних в разных науках различна. “...Процесс познания конкретного, — подчеркивает А. Н. Колмогоров, — протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления” (Математика.— В кн.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988, с. 7). История математики может служить убедительным свидетельством того, как под воздействием сначала непосредственных потребностей общественного производства, а затем проблем, выдвинутых естественными, техническими и общественными науками, совершенствовались и расширялись формы и методы количественного анализа явлений. Переход от математики постоянных величин к математике переменных величин, а от последних — к абстрактным структурам и категориям современной математики — в такой общей схеме можно охарактеризовать прогресс в изучении количественных отношений и структур реального мира. Если раньше математика анализировала их под воздействием запросов производства, техники и естествознания, то в дальнейшем она создает новые формы и количественные методы исследования про запас, раньше, чем они будут применяться в науке и технике. Конические сечения, открытые в античной геометрии, только в 17 в. начали использоваться в астрономии, мнимые и комплексные числа лишь полтора столетия спустя — в электротехнике, а неевклидовы геометрии через столетие — в обшей теории относительности и космологии.

    Успех количественного анализа явлений в существенной мере зависит от их изучения на качественном уровне, который осуществляется в конкретных науках с помощью экспериментальных и теоретических методов исследования. Поэтому в научном познании должны применяться количественные и качественные методы, конкретные и абстрактные, содержательные и формальные способы изучения явлений.

    Г. И. Рузавчн