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Vollständigkeit,

 

1) mathematische Logik: Eine Menge X von Ausdrücken einer formalisierten mathematischen Theorie heißt semantisch vollständig (inhaltlich vollständig), falls jeder allgemein gültige Ausdruck aus X beweisbar ist, deduktiv vollständig (klassisch vollständig), falls für jede Aussage gilt, dass sie oder ihre Negation aus X beweisbar ist, syntaktisch vollständig (formal vollständig), falls nach Hinzunahme eines aus X nicht beweisbaren Ausdrucks aus der erweiterten Menge jeder Ausdruck beweisbar ist. Ist X semantisch widerspruchsfrei, so sind semantische und deduktive Vollständigkeit gleichwertig. Zwei wichtige Sätze, deren Gegenstand Vollständigkeit beziehungsweise Unvollständigkeit ist, wurden von K. Gödel formuliert (mathematische Logik).

 

 2) Topologie: die Eigenschaft eines uniformen Raumes (X, U ), dass jeder Cauchy-Filter auf X gegen einen Punkt aus X konvergiert (vollständiger uniformer Raum). Dabei heißt ein Filter F auf (X, U ) Cauchy-Filter auf X, falls zu jeder Nachbarschaft V ∈ U eine Filtermenge N ∈ F existiert, sodass N ☓ N V, und F ist konvergent gegen x ∈ X, falls in jeder Menge des Umgebungsfilters

 

von x eine Menge aus F liegt, wobei W (x) = {y ∈ X / (x, y) ∈ W }. Ist (X, T ) ein kompakter topologischer Raum, so ist die Familie aller offenen Umgebungen der Diagonale {(x, x) / x ∈ X }eine Basis der eindeutig bestimmten uniformen Struktur U auf X, welche die Topologie T induziert, und (X, U ) ist ein vollständiger uniformer Raum. Jeder abgeschlossene Unterraum eines vollständigen uniformen Raumes ist vollständig, und zu jedem uniformen Raum (X, U ) existiert ein bis auf uniforme Isomorphie eindeutig bestimmter vollständiger uniformer Raum (Y, Q ), sodass (X, U ) isomorph ist zu einem dichten Unterraum von (Y, Q ). Der Begriff der Vollständigkeit überträgt sich auf Skalarprodukträume, normierte Vektorräume und metrische Räume, denn Skalarprodukträume und normierte Vektorräume sind metrische Räume, und jeder metrische Raum ist ein uniformer Raum. Ein metrischer Raum (X, d ) ist dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X konvergiert. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banach-Raum, ein vollständiger, unendlich dimensionaler Skalarproduktraum heißt Hilbert-Raum.