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Relation

 

[lateinisch »Bericht(erstattung)«, zu relatum, vergleiche relativ] die, -/-en,  

 1) bildungssprachlich für: Beziehung, Verhältnis.

 

 2) Mathematik und mathematische Logik: jede Aussageform (Aussage), die eine Beziehung zwischen bestimmten Dingen, Sachverhalten, Größen, Zahlen u. a. widerspiegelt.

 

Je nach der Anzahl der in Beziehung zueinander stehenden Variablen liegt eine zwei-, drei- oder mehrstellige Relation vor. Bei einer zweistelligen (binären) Relation steht ein Element m aus einer Menge M₁ in der Beziehung R zu einem Element n aus einer Menge M₂, wenn R ein (als Relator bezeichnetes) zweistelliges Prädikat ist, das den Objekten m und n in bestimmter Reihenfolge zukommt, geschrieben R (m, n), auch mRn (»m steht in Relation R zu n«). In mengentheoretischer Auffassung wird als Relation die Klasse der geordneten Gegenstandspaare (x, y), mit x ∈ M₁, y ∈ M₂, bezeichnet, die in dieser Reihenfolge die Bedingung R (x, y) erfüllen. Die Menge M₁ wird als Vorbereich von R, die Menge M₂ als Nachbereich bezeichnet; die Klasse aller x ∈ M₁, für die mindestens ein y ∈ M₂ mit xRy existiert, ist der Definitionsbereich von R, die Klasse aller y ∈ M₂, die zu einem x ∈ M₂ in der Beziehung R stehen, der Wertebereich von R. Die Vereinigung von Definitions- und Wertebereich wird auch Feld der Relation genannt. Beispiele für Relationen sind die Gleichheit, die Inklusion, die Ordnungsrelation und jede Abbildungsbeziehung. Ganz entsprechend zu den zweistelligen Relationen werden mehrstellige Relationen erklärt. Mengentheoretisch sind die n-stelligen Relationen die Klassen von n-Tupeln von Elementen und erfassen die extensionale Bedeutung von n-stelligen Prädikaten. Umgekehrt gelangt man durch intensionale Abstraktion von zwei- oder mehrwertigen Prädikaten zu Relationsbegriffen (Relation als intensionale Bedeutung von zwei- oder mehrstelligen Prädikaten). Eine zweistellige Relation R in einer Menge M heißt:

 

reflexiv, wenn aRa für alle a ∈ M gilt (d. h., jedes Element von M steht mit sich selbst in der Relation R);

 

antireflexiv (irreflexiv), wenn kein Element zu sich selbst in Relation steht;

 

symmetrisch, wenn aus aRb auch bRa folgt (d. h., stehen zwei Elemente zueinander in Relation, so stehen sie auch in umgekehrter Reihenfolge in Relation zueinander);

 

antisymmetrisch (identitiv), wenn aRb und bRa höchstens im Falle a = b gilt;

 

transitiv, wenn aus aRb und bRc stets aRc folgt.

 

Eine zweistellige reflexive, symmetrische und transitive Relation wird Äquivalenzrelation genannt.

 

Die Beziehungen von Relationen zueinander sind Gegenstand der Relationslogik, die heute im Rahmen der Prädikatenlogik (Logik) behandelt wird. Ihre Anfänge gehen auf G. W. Leibniz zurück; erste systematische Untersuchungen zur Relationslogik stammen von A. De Morgan (1859) und C. S. Peirce (ab 1870). Zu einem gewissen Abschluss gelangten diese im dritten Band der »Vorlesungen über die Algebra der Logik« (1895) von Ernst Schröder.

 

 

 3) Philosophie: Beziehung, eine Kategorie, die den Zusammenhang zweier Begriffe (als Subjekt-Objekt), zweier Dinge (als Ursache-Wirkung), zweier Bewusstseinsmomente (als Noesis-Noema) u. Ä. betrifft, die in ihrem räumlichen, zeitlichen, sachlichen und bedeutungsmäßigen Zusammensein aufeinander angewiesen sind und sich wechselseitig bestimmen. Auch Urteile sind nach ihrer Relation einzuteilen (I. Kant), d. h. nach dem Verhältnis oder der Art der Beziehung zwischen Subjekt und Prädikat, nämlich in kategorische (unbedingte), hypothetische (bedingte) und disjunktive (nicht entscheidende) Urteile. Die Relation tritt auf als »Relatio accidentalis« (zufällige Beziehung), »Relatio essentialis«(wesentliche Beziehung), »Relatio rationis« (denkgesetzte Beziehung), »Relatio realis« (denkunabhängig bestehende Beziehung). Objektiv vorliegende und subjektiv geltende Relationen sind die Grundlage der Erkenntnis.

 

Relation

 

[dt. Beziehung, Verhältnis], in der Mathematik und in der Logik eine Aussageform, die eine Beziehung zwischen bestimmten Größen, Zahlen, Objekten, o.Ä. widerspiegelt. Eine besondere Rolle spielt der Begriff bei den relationalen Datenbanken. Hier beschreiben Relationen, wie die verschiedenen Tabellen eines Datenbanksystems miteinander verknüpft sind.