Akademik

        (лат. implicatio — сплетение, от implico — тесно связываю), в символич. логике — связка, обычно интерпретируемая как оборот «если..., то». И. наз. также образованные с помощью такой связки сложные высказывания. В импликативном высказывании различают антецедент — высказывание, которому предпослано слово «если», и консеквент — высказывание, следующее за словом «то». Обозначается И. чаще всего стрелками либо знаком ; последний обычно используют для обозначения одной из осн. связок классич. логики — материальной И. Высказывание A В с такой И. истинно во всех случаях, кроме одного: когда А истинно, а В ложно (содержание А и В при этом не имеет значения). В этом коренное отличие A В от выражения «если А, то В», которое всегда предполагает некоторую реальную связь между тем, о чём говорится в A и В. Иногда И. рассматривают как формальный аналог логического следования. В случае материальной И. при этом оказываются верными утверждения: «из ложного высказывания следует любое высказывание» и «истинное высказывание следует из любого высказывания», называемые парадоксами материальной И.

        ИМЯ в логике, выражение естественного или искусственного, формализованного языка, обозначающее предмет (собственное, или единичное, И.) или класс, множество предметов (нарицательное, или общее, И.). Обозначаемый (называемый) И. предмет или класс, по терминологии традиц. логики, есть объём (экстенсионал) понятия, «носящего» это И. В совр. формальной логике, придерживаясь терминологии Г. Фреге — А. Чёрча, принятой в логич. семантике, этот предмет (класс) наз. денотатом данного И., или его значением, отличая эту объёмную характеристику И. от содержательной (интенсиональной), представляющей совокупность характеризующих данное И. признаков и называемой его смыслом (и н т е н с и о н а л о м; по традиц. логич. терминологии — содержанием данного понятия). Формализов. языки строятся обычно так, что денотат есть однозначная функция смысла (в естеств. языках это условие может и нарушаться), но не наоборот (из чего и следует необходимость различения этих двух «способов реализации» И.). Напр., И. «утренняя звезда» и И. «вечерняя звезда» имеют очевидным образом различный смысл (фиксирующий время нахождения обозначаемого этими И. светила на небосводе), но общий денотат — планета Венера.

        см. также Семантика.

(лат. – спутанность)

логическое отношение, состоящее в том, что одна вещь «имплицирует» другую, т.е. включает ее в себя. Объект познания имплицирует др. объект познания, если второй с необходимостью вытекает из первого; напр., отношение имплицирует число, число имплицирует пространство, понятие отца имплицирует понятие ребенка и т. д. Относительно импликации и импликатора см. Логистика.

(от лат. implico – тесно связываю) – логич. операция, к-рой в естеств. языке соответствует связка "если..., то...", образующая из двух высказываний (предложений) А и В условное высказывание "Если А, то В". И. часто называют и само условное высказывание, а также его формализованные аналоги – формулы логич. исчислений, содержащие знак И. (напр., "⊃", "→") и имеющие вид U⊃B, где U и B – формулы исчисления.

Условное высказывание в содержат. мышлении отличается тем, что (I) предполагает связь по смыслу (содержанию) между антецедентом (посылкой, основанием условного высказывания) и консеквентом (его следствием, заключением) и (II) не может быть истинным, если при истинности антецедента консеквент является ложным. В логике условные высказывания можно рассматривать с разных сторон. Так, при логич. анализе условных высказываний науч. теорий (напр., математических) часто бывает целесообразно отвлекаться от смысловой связи между антецедентом и консеквентом, сосредоточивая все внимание на связи между ними с т. зр. истинности и ложности. В др. случаях приходится анализировать также (и прежде всего) смысловую сторону условных высказываний, учитывая, что последняя может быть различной (условно-сослагат. связь, причинное отношение между содержаниями консеквента и антецедента и т. п.). Для формализации различных сторон и видов условных высказываний построен ряд логич. исчислений, содержащих разные операции И., к-рые, однако, все отличаются тем, что условное высказывание (или форма высказывания), построенное из составляющих высказываний (или форм высказываний) А и В с помощью данной операции И., удовлетворяет требованию (II) или нек-рой достаточно естественной его модификации. И., удовлетворяющая т о л ь к о этому требованию (при условии, что рассматриваются высказывания, к-рые либо истинны, либо ложны), наз. м а т е р и а л ь н о й И.; она является одной из осн. операций классич. математич. логики. Существуют др. виды И. (строгие И. логич. исчислений К. И. Льюиса и В. Аккермана, интенсиональная импликация Э. Дж. Нельсона), разработанные с целью отражения в логике нек-рых сторон связи по смыслу между антецедентом и консеквентом. Для формализации причинной связи, выражаемой условным высказыванием, были предприняты попытки построения каузальной И. (А. Бёркс), а для формализации условно-сослагат. предложений – контрфактич. И. (см. Контрфактические предложения) Г. Рейхенбаха. В логику, получающуюся при конструктивном истолковании высказываний математики, вводится конструктивная И. Имеются и др. виды И. (натуральная И., предложенная Майхиллом, вероятностная импликация Рейхенбаха и др.).

В нек-рых исчислениях И. выступает в роли отношения между высказываниями; это имеет место тогда, когда высказывание, образованное из двух других высказываний с помощью операции И., не просто формулируется, но и утверждается (как истинное). В случае, когда И. входит в высказывание более чем один раз [напр.: (((А→В) →А) →А)], самая внутр. И. (обозначенная в приведенном примере "→") наз. И. 1-й ступени, следующая И. ("→") – И. 2-й ступени и т.д. Истолкованием И. различных ступеней занимался П. Лоренцен. Отличие И. как отношения (сопоставляющего формулам исчисления истину или ложь) от И. как операции (строящей из одних формул другие) хорошо видно при алгебраич. трактовке формальных систем, когда И. как отношение представляет собой отношение типа "меньше или равно" (≤, транзитивное отношение типа отношения порядка); И. же как операция (⊃) определяется так: a⊃b есть такая формула (высказывание с), что a·c≤b и, для любого d, если a·d≤b, то d≤c (роль умножения играет конъюнкция).

Материальная И. определяется таблицей:

(где "⊃" – знак материальной И.), согласно к-рой формула А⊃В принимает значение "ложно" (л), когда А принимает значение "истинно" (и), а В – значение "ложно"; в остальных случаях эта формула принимает значение "истинно". Это определение является семантическим, т. к. основано на (содержательных) понятиях истинности и ложности высказываний [см. Семантика(в логике)]. Из него следует, что при истинности А для истинности А⊃В необходимо, чтобы было истинным и В [что вытекает из требования (II)]. С другой стороны, из него получается, что выражение материальной И. с помощью связки "если..., то..." придает этой связке несколько отличный от обычного смысл, согласно к-рому такое, напр., высказывание, как "Если 2·2=4, то Москва – столица СССР" следует считать истинным, т. к. в нем истинны и антецедент и консеквент, и это несмотря на то, что они не связаны по содержанию. Из данного определения непосредственно следуют т.н. парадоксы материальной И.: из ложного высказывания следует (в смысле материальной И.) любое высказывание, а истинное высказывание следует (в том же смысле) из любого высказывания; т. о., следующие высказывания: "Если 2·2=5, то Москва – столица Польши" (антецедент и консеквент ложны) и "Если 2·2=5, то Москва – столица СССР" (антецедент ложен, а консеквент истинен) в смысле материальной И. истинны. Отметим, что в содержат. мышлении вопрос об истинности такого рода высказываний вообще не возникает, т. к. в них антецедент и консеквент не связаны по смыслу. Но поскольку в материальной И. отражена связь между антецедентом и консеквентом с т. зр. истинности и ложности, аппарата классич. математич. логики, содержащего эту операцию, достаточно для представления доказательств дедуктивных наук в формализованном виде. В классич. логике операцию И. можно выразить через др. логич. операции; именно, А⊃В эквивалентно (А&В) и А/В, где , & и / – знаки (соответственно), отрицания, конъюнкции и дизъюнкции (см. также Алгебра логики); последняя формула, читаемая "А неверно или В верно", хорошо передает смысл материальной И.

При аксиоматич. построении классич. математич. логики парадоксы материальной И. получаются из доказуемости (т.е. истинности в исчислении) формул (1) А⊃(В⊃А) и (2) A⊃(A⊃В). Действительно, пусть формула А истинна в исчислении. Тогда из истинной (в исчислении) формулы (1) по правилу modus ponens следует истинность (в исчислении) формулы B⊃A; последнюю, в силу произвольности В, можно, рассматривать как утверждение о том, что истинное высказывание (формула А) следует (в смысле материальной И.) из любого высказывания. Аналогично, используя формулу (2), мы получаем, что из ложного высказывания А (т.е. такого, отрицание к-рого, А, истинно в исчислении) следует любое высказывание. В естеств. языке мы говорим, что высказывание В логически следует из высказываний А1, А2,...,Аn, если, отправляясь от этих высказываний, с помощью правильных логич. рассуждений, понятие о к-рых в содержат. мышлении обычно не уточняется, мы получим В. При уточнении понятия логич. следования естественно считать высказывание В следствием из высказываний A1, А2, ..., Аn, если формула A1,& А2& ... & An ⊃ В доказуема в классич. логике для всевозможных значений переменных, входящих в А1, А2, ..., Аnи В. Известно, что др. уточнением содержат. понятия логич. следования является выводимость В из А1, А2, ..., Аn в нек-ром логич. исчислении [см. Вывод(в математической логике)]. Чтобы понятие вывода в исчислении могло быть приближением к понятию содержат. вывода, естественно требовать от первого, чтобы при содержат. истинности А1, А2, ..., Аn было содержательно истинно и В. Это требование выполняется, если аксиомы исчисления содержательно истинны, а правила вывода из содержательно истинных формул всегда порождают содержательно истинные формулы. Таким исчислением является, в частности, классич. исчисление предикатов, в к-ром связь между выводимостью и (материальной) И. дается теоремой о дедукции.

С материальной И. связана т.н. формальная И., выражающаяся через материальную И. и квантор общности (см. Кванторы) формулой ∀x(A(x)⊃B(x)). Если толковать А и В как свойства, то истинность этой формулы означает, что всякий предмет, обладающий свойством А, обладает и свойством В. Такое толкование верно и для тех случаев ее истинности, когда либо ни один предмет не обладает свойством А, либо всякий предмет обладает свойством В. Понятие о формальной И. естественно появляется при рассмотрении общих суждений вида "Все акулы – рыбы", к-рое можно представить как "Если x – акула, то x – рыба" (неявно подразумевается всеобщность).

В конструктивной логике И. определяется через семантич. понятие выводимости следующим образом: формула А⊃В выводима, если имеется алгоритм, к-рый по всякому конструктивному выводу формулы А позволяет построить конструктивный вывод формулы В. Формулы (1) и (2) верны и в конструктивной логике, поэтому для И. в этой логике имеют место аналоги "парадоксов материальной И." (по отношению к выводимости). В конструктивной логике И. не может быть выражена через другие логич. операции: конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание. Подобно классич. логике, связь между конструктивной И. и выводом в конструктивной логике дается теоремой о дедукции.

И., для к-рых полностью или частично устраняются "парадоксы материальной И.", получили название "строгих". Так, Льюис (совместно с Лэнгфордом) построил ряд исчислений, основанных на И., определяемой так: А В есть (А & В) (здесь – знак импликации Льюиса, U означает "U возможно"); последняя формула эквивалентна формуле (A⊃B) (знак ⊃ означает материальную И.), к-рую можно прочесть как "А⊃В необходимо". Импликация Льюиса является попыткой выразить связь по смыслу между антецедентом и консеквентом через модальное понятие возможности (или необходимости). Хотя в исчислениях Льюиса формулы A (ВА) и А(АВ) не доказуемы, но зато доказуемы формулы А(ВА) и А(АВ), из к-рых следует, что если А необходимо (т.е. А доказуемо), то А следует (в смысле импликации Льюиса) из любого высказывания, и если А невозможно (т.е. А доказуемо), то из А следует любое высказывание. Т. о., хотя Льюису и удалось устранить "парадоксы материальной И." для обычной истинности и ложности, для его И. сохраняются аналоги "парадоксов материальной И." в случае "усиленной" истинности и ложности высказывания А – для его (логической) необходимости или невозможности.

В. Аккерман (1956) построил два исчисления, основанные на др. варианте строгой И. Как показал Д. Г. Лахути, в них справедливо положение, согласно к-рому формула U → B доказуема только тогда, когда U и B содержат по крайней мере одну общую переменную. Поскольку для любой формулы U всегда можно найти формулу B, не содержащую ни одной переменной из U, то из этого положения следует, что в исчислении Аккермана не существует формулы, к-рая следовала бы (в смысле импликации Аккермана) из любой формулы, а также формулы, из к-рой следовала бы (в том же смысле) любая формула. Т. о., в исчислении Аккермана полностью устраняются "парадоксы материальной И.", поэтому его И. можно рассматривать как нек-рое дальнейшее приближение к отражению в логике связи по смыслу между частями условного высказывания.

Подход к изучению различных видов И. имел место уже в Др. Греции, особенно у философов мегарской и стоич. школ. Диодор Крон выделял условные высказывания вида "Если Солнце зашло, то темно", к-рые естественно выразить с помощью формальной И. с квантором по времени. Филон из Мегары рассматривал условные высказывания в смысле таблично определенной материальной И. В работах стоиков анализировались высказывания, считавшиеся истинными, если антецедент был логически несовместимым с отрицанием консеквента (Льюис считает это антич. формой строгой И.). Боэций в книге "О гипотетическом силлогизме" различает случайное следование и следование по закону; это различение в известном смысле предвосхищало совр. работы по каузальной и контрфактич. И. Изучение различных видов и сторон условных высказываний было продолжено схоластич. логиками, к-рые рассматривали И. и как отношение (выводимости), и как операцию.

В 19 в. Фреге было построено исчисление предикатов, основанное на материальной И. и отрицании. У Рассела появляется термин "формальная И.". Начиная с 20-х гг. 20 в. предпринимаются попытки построить такие виды И., к-рые отражали бы связь по смыслу между частями условного высказывания. В связи с интуиционистской логикой появилось понятие интуиционистской И. В работах сов. ученых, в частности Н. А. Шанина, И. была истолкована с конструктивной т. зр.

Лит.: Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947, с. 19–22, 233–54; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ч. 2, 4; Шанин Η. Α., О конструктивном понимании математических суждений, "Тр. математического ин-та им. В. А. Стеклова", 1958, т. 52, с. 226–311; Чёрч Α., Введение в математическую логику, [т.] 1, пер. с англ. М., 1960; Lewis C. I. and Langford С. Η., Symbolic logic, N. Y.–L., [1932]; Nelson Ε. J., Intensional relations,"Mind", 1939, v. 39, No 153, p. 440–53; MсКinsey J. С. С. and Τarski Α., Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting, "J. Symb. Logic", 1948, v. 13, No 1, p. 1–15; Ackermann W., Begründung einer strengen Implikation, там же, 1956, v. 21, No 2; его же, Über die Beziehung zwischen strikter und strenger Implikation, "Dialectica", 1958, v. 12, p. 213– 22; Вurks A. W., Logic of causal propositions, "Mind", 1951, v. 60, p. 363–82; Вennett J., Meaning and implication, там же, 1954, v. 63, No 252, p. 451–63; Mates В., Stoic logic, Berkley–Los Ang., 1953; Reichenbach H., Nomological statements and admissible operations, Amst., 1954; Lorenzen P., Einführung in die operative Logic und Mathematik, В.–Gött.–Hdlb., 1955, Tl 2; Bochenski I. M., Formale Logik, Freiburg–Münch., 1956, § 20, 24, 30, 41, 43, 49.

    ИМПЛИКАЦИЯ — см. Логические связки.