Akademik

        филос. категория, характеризующая взаимозависимость элементов определ. системы. Диа-лектич. материализм исходит из того, что О. носит объективный и универс. характер. В мире существуют только вещи, их свойства и О., которые находятся в бесконечных связях с др. вещами и свойствами, В. И. Ленин отмечал верную мысль Гегеля о том, что всякая конкретная вещь состоит в различных О. ко всему остальному (см. ПСС, т. 29, с. 124). О. может выступать в роли свойства или признака вещей. Вещь, взятая в разных О., выявляет различные свойства. Т. о., свойства определяются О., последнее включает в себя проявление свойств.

        О. вещей и явлений друг к другу бесконечно многообразны: пространственные и временные, причинно-следственные, О. части и целого, формы и содержания, внешнего и внутреннего и др. Особый тип составляют общественные отношения.

        Категория 0. тесно связана с понятием закона — как выражением существенных отношений между вещами, явлениями, их свойствами и связями. Науч. познание раскрывает сущность вещей, закономерности их возникновения и развития через выявление их О. с др. вещами. Характеризуя элементы диалектики, Ленин указывал на необходимость исследования О.: «Вся совокупность многоразличных отношений этой вещи к другим», «отношения каждой вещи... не только многоразличны, но всеобщи, универсальны. Каждая вещь (явление, процесс...) связаны с каждой; ...бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений...» (там же, с. 202, 203).

        В совр. науке, в которой изучение устойчивых или повторяющихся взаимосвязей и О. между различными вещами, явлениями и процессами всё больше доминирует над описанием, классификацией и сопоставлением отд. свойств, значение категории О. существенно возрастает.

        Уемов А. И., Вещи, свойства и О., М., 1963; ?айбекас А. Я., Вещь, свойство, О. как филос. категории, Томск, 1977.

одна из осн. логико-филос. категорий, отражающая способ (род) бытия (и познания). Именно в этом или близком к этому смысле термин "О." был введен в философию Аристотелем.

Понятие об О. возникает как результат сравнения любых двух предметов (наз. субъектами или членами О.) по выбранному (или заданному) о с н о в а н и ю сравнения (признаку). Напр., сравнение по величине порождает понятие о числовых О.; сравнение по времени появления или исчезновения – понятие о временных О.; сравнение по участию в материальном произ-ве – понятие о производств. О. Аналогично складываются понятия о любых О. Имеется множество различных оснований сравнения (в частности, основанием сравнения может быть и к.-л. О., что приводит к понятию своего рода и е р а р х и и О.). Соответственно имеется и множество различных О.: "О т н о ш е н и е является то отношением двойного к половинному, тройного к третьей части и вообще кратного к кратной части, превосходящего к превосходимому, то отношением нагревающего к нагреваемому, режущего к разрезываемому и вообще действующего к страдающему; далее, отношение измеряющего к мере, познающего к познанию и чувствующего к чувственному восприятию" и т.д. (Аристотель, цит. по кн.: "Начала Евклида", кн. 1–6, М.–Л., 1950, с. 368).

Осн. филос. проблемой О. со времен схоластики является вопрос об онтологич. статусе О., к-рый формулируется примерно след. образом: если существуют предметы a и b, находящиеся между собой в отношении R, то существует ли само R и в каком смысле можно говорить, что R существует? Лейбниц считал, "...что отношение... в действительности находится вне субъектов и что оно должно быть чем-то чисто идеальным, поскольку не является ни субстанцией, ни акциденцией..." (Hauptschriften, "Phil. Bibl.", Bd 107/108, I, S. 185). Это вообще т.зр. объективного идеализма (платонизма). Однако реальность О. можно понимать и иначе, а именно в том смысле, что если основание сравнения не произвольно (если, так сказать, оно коренится в самих сравниваемых предметах), то и О. как результат сравнения по данному основанию также не произвольно, его онтологич. статус в данном случае выражается в существовании основания (при этом само О. можно рассматривать как св-во этого основания). Здесь, говоря о реальности (или существовании) к.-л. О., конечно не приходится подразумевать при этом, что оно "в действительности находится вне субъектов" (членов О.).

С диалектико-материалистич. т.зр. понятие об "О. вообще" возникает как результат абстракции от конкретных О. между вещами, а эти последние никогда не познаются изолированно. "О телах, – говорил Энгельс, – вне движения, вне всякого отношения к другим телам, ничего нельзя сказать" (Маркс К. и Энгельс Ф., Избр. письма, 1953, с. 283). Дгаалектич. понимание единства вещи и О. приводит к необходимости считать, что вещи не более реальны, чем О., поскольку реальная природа св-в вещи может проявиться лишь в О., во взаимодействии, в связи о др. вещами. О. существуют как О. вещей, но и вещей нет вне О.Только в абстракции это "...единство вещи и о т н о ш е н и я... р а з д в а и в а е т с я на: 1) вещи и 2) отношения. Для выделения последних в чистом виде нельзя устранить, однако, вещи, а нужно сделать их (вещи.– Ред.) переменными" (Яновская C. A., Идеализм и математика, см. Сб. статей по философии математики, 1936, с. 65). В замене постоянных переменными и в выделении (абстрагировании) О. состоит, по существу, один из осн. познават. процессов – процесс обобщения, или (если выделяются существ. О. – связи) процесс познания законов.

С т.зр. объективного идеализма, выделенные в виде законов (логич., математич., физич. и др.) О. как бы выражают не только род существования удовлетворяющих им объектов, но и род (априорной) необходимости, образуя мир т.н. "вечных истин" (по Лейбницу; см. Логическая истинность). Однако идеалистич. постулирование особой реальности О. – их "надвещественности" лишается смысла (так же, впрочем, как и номиналистич. отрицание к.-л. их реальности, см. об этом в ст. Номинализм в философии математики), если помнить, что категории вещи, св-ва и О. отражают гносеологич. факт нашего представления о структуре мира в соответствии с нашей практикой и являются результатами абстракции. В пределах этой абстракции можно говорить о реальности О. в том же смысле, в каком мы говорим обычно о реальности "конкретных св-в" и "конкретных вещей".

В содержат. формулировках естеств. языков О. выражаются обычно сказуемыми фраз, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или неск. дополнений). В зависимости от числа этих подлежащих (или подлежащих и дополнений) различают б и н а р н ы е (двуместные, двучленные), тернарные (трехместные, трехчленные), вообще n-арные (n-местные, n-членные) О. Эти содержат, представления реализуются в точных терминах на различных уровнях абстракции и формализации. Простейший из них – теоретико-множественный. В терминах теории множеств бинарным (n-арным) О. наз. множество упорядоченных пар (соответственно n-ок); если упорядоченная пара х, у> принадлежит О. R, то говорят также, что x находится в О. R к у [символически: R (х, у) или xRy]. Множество первых элементов, входящих в к.-л. О. R упорядоченных пар, наз. о б л а с т ь ю (определения) R, множество вторых элементов – конверсией областью (или о б л а с т ь ю з н а ч е н и й); объединение этих двух множеств наз. полем данного О.

Аналогичные понятия вводятся и для многоместных (многочленных) О.

С т.зр. (математической) логики О. суть не что иное, как многоместные предикаты (одноместные предикаты – это свойства отд. предметов), т.е. пропозициональные функции от n (n≥2) переменных, или, в др. терминах, пропозициональные формы., обращающиеся при подстановке на их пустые места имен (названий) предметов из нек-рой фиксированной для данного контекста области предметов в предложения, каждое из к-рых принимает одно и только одно из двух истинностных значений (истина и ложь).

Понятие О. служит исходным для определения нек-рых др. важных для математики и логики понятий, в первую очередь – понятия функционального отношения (n+1) местным функциональным О. или n-арной операцией, или n-местной функцией (отображением) наз. о д н о з н а ч н о е (n+1)-местное О.,т.е. такое О. R, для к-рого из R (xl х2, ..., хn, у) и R (x1 х2, ..., хn, z) следует y=z; при этом у наз. з н а ч е н и е м ф у н к ц и и для данного набора з н а ч е н и й а р г у м е н т о в х1 х2, ..., хn, что обозначается, напр., через y=f(x1, x2, ..., хn). Для бинарного О. R отношение Q, имеющее место для всех тех и только тех упорядоченных пар у, х>, для к-рых имеет место [для соответств. пар х, у>] О. Д, наз. о б р а т н ы м к R (или конверсным к нему) и обозначается часто через R-1(x, y); R(x, y) ≡ R-1(у, х) (в др. обозначениях: xRy ≡ yR-lx). Если О., обратное к нек-рому бинарному функциональному О. R, является однозначным (т.е. также является функциональным), то его, в соответствии с общепринятой матем. терминологией, наз. функцией (отображением), обратной (-ым) к R. Само О. R (так же, как и R^-1) наз. в этом случае в з а и м н о - о д н о з н а ч н ы м о т о б р а ж е н и е м, или взаимно-однозначным соответствием. Легко видеть, что область (определения) R служит областью значений R^-1 (и обратно), так что введенная выше терминология представляется совершенно естественной и привычной. Аналогичным образом определяются понятия обратных функций для функций с более чем одним аргументом, а также являющееся естеств. обобщением понятия однозначной функции понятие многозначной функции. [Следует отметить, что терминология, связанная с теорией О., весьма разнообразна и разноречива; обычно – как и в связи с др. матем. и логич. вопросами – в употреблении и понимании терминов уславливаются в начале изложения; см., напр., по этому поводу цитируемую ниже литературу.]

Описанное здесь понятие (взаимно) обратных О. является примером О. между О. (т.е., так сказать, О. 2-го порядка; здесь естеств. образом возникает и е р а р х и я О., подобная, напр., той, к-рая связана с понятиями класса или предиката; ср. Теория типов). Для О. также определяются разл. операции, напр. понятие дополнительного (бинарного) О. к О., области определения и значений к-рого совпадают (в таких случаях говорят просто об О., определенном на нек-ром множестве – поле этого О.), т.е. О., имеющего место для тех и только тех пар предметов из поля исходного О., для к-рых исходное О. не имеет места; суммы О., т.е. для данных О. R и S такого О. Q, что Q(x, y)≡R(x, у) V S(x, y); п р о и з в е д е н и я О. (аналогично: Р(х, у) ≡ R(x, y)&S(x, y); к о м п о з и ц и и О., т.е. для данных R и S такого О. Т, что Т(х, у) ≡∃z[R(x, z)&S(z, y)] и т.д. Рассматривающая такого рода операции над О., св-ва О. и О., определенные над О., "алгебра О." (или логика отношений) есть, по существу, аналог алгебры классов и частный случай логики предикатов (ср. Алгебра логики), но в силу своей важности для мн. разделов математики и логики она сохраняет и самостоят. значение (поскольку чрезмерная общность, связанная с рассмотрением исчисления О. как частного случая предикатов исчисления, делает непосредств. приложения этих понятий неоправданно громоздкими).

Теория О., особенно ее (полу)формализованное изложение в виде т.н. исчисления О., была объектом пристального внимания мн. логиков. Первые ее систематич. изложения принадлежат О. де Моргану и Ч. С. Пирсу, наиболее полное – Э. Шрёдеру.

О конкретных св-вах О. и важных О. спец. видов см. Рефлексивность, Симметричность, Транзитивность, Равенство (в логике и математике), Тождество, Порядка отношение, Изоморфизм, Обращение. См. также Операция, Функция.

Лит.: Аристотель, Категории, М., 1939, гл. 5; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, гл. 5; Чёрч Α., Введение в матем. логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 03–06; Локк Дж., Избр. филос. произв., т. 1, М., 1960, гл. 25; Горский Д. П., Вопросы абстракции и образование понятий, Μ., 1961; Уёмов А. И., Вещи, свойства и отношения, М., 1963; Лазарев Ф. В., Сама вещь и ее отношения, в сб.: Ленин об элементах диалектики, Μ., 1965, гл. 2, §1; Шиханович Ю. Α., Введение в современную математику, М., 1965, гл. 5–7.

    ОТНОШЕНИЕ — связь между некоторой сущностью и тем, что с ней соотнесено. Считается, что категорию отношения в философию ввел Аристотель (Аристотель. Соч., т. 2. M., 1978, с. 66), писавший, что нечто “есть то, что оно есть”, лишь “в связи с другим или находясь в каком-то ином отношении к другому”. Для соотнесенного существовать — значит находиться в каком-либо отношении к другому. По Аристотелю, сущность есть условие возможности отношений. Подразумевается, что всякое отношение соотносит сущности определенных видов (или сортов, как принято говорить в прикладной логике). Однако еще до Аристотеля понятие отношения фактически рассматривалось другими эллинскими мыслителями, в частности Платоном. Для последнего отношение есть связь между идеями, благодаря к-рой они становятся доступными познанию. От Платона и Аристотеля идет комплекс проблем, связанных с бытием отношений: является ли отношение столь же реальным, что и объекты, в этом отношении находящиеся. Различные философские школы давали на этот вопрос разные ответы. Естественно считать, что отношения между вещами столь же реальны, как и сами вещи, — в том смысле, что нет вещей вне каких-либо отношений и нет отношений, которые не связывали бы какие-либо вещи (явления, события, процессы и т. п.).

    В современной логике отношения рассматриваются как многоместные (многочленные) предикаты — в отличие от свойств как одноместных предикатов. Различают двухместные (бинарные). трехместные (тернарные) и вообще п-арные отношения. Уточнение категории “отношение” возможно на различных уровнях абстракции и путем различных процедур формализации. Простейший подход — теоретико-множественный, когда отношение понимается как упорядоченное множество пар (для бинарного отношения), троек (для тернарного отношения), вообще п-ок предметов. Если задан упорядоченный набор (кортеж) Х|, x-i_,..., х„ >, где х, (i = 1, 2,..., η) — переменные из нек-рой предметной области или областей (из множества или множеств, на которых определены соответствующие переменные), то говорят, чтомежду предметами, представляемыми данными переменными, существует отношение R, и записывают это как R (х,, х^, ..., х,,}; при n = 2 — это бинарное отношение, обычно представляемое формулой Χι ΛΑ•?, — наиболее простой и вместе с тем весьма важный случай отношения, иллюстрируемый, напр., равенствами и неравенствами (XI=XJ, Xi^xs) для чисел и выводимостями (л'; => х^) дта высказываний. Совокупность первых элементов, входящих в какое-либо бинарное отношение х/ Rx^, называется областью (определения) отношения R, а совокупность вторых элементов — конверсией областью этого отношения, или противообластью. Область и противообласть могут не входить, а могут и входить в одно и то же множество и даже совпадать с ним (обозначим его через М). В этом случае бинарное отношение R на множестве M оказывается подмножеством Декартова произведения МхМ, коим является множество всех упорядоченных пар элементов из М. Это означает, что выполнение R для элементов х и у из At равносильно включению кортежа х, у> в R.

    Бинарное отношение как двухместный предикат, интерпретируемый как высказывание х/ R х^ относительно индивидных переменных х; и хд обращается в истину при выполнении отношения для некоторых предметов а и Ь, подставляемых на места переменных х/и х^. Для бинарных отношений естественно определяются операции дополнения, объединения и пересечения (аналоги соответствующих операций над классами), а также операция умножения (композиции) двух отношений — А/и Т?;; а именно RiR^ выполнено для х/и х; (т. е. верно высказывание х; R/R^x^), если, и только если, в множестве М существует элемент х^, для к-рого верны какх; RiXic, так и Xt R^Xi (если R) = R^, то данная операция порождает степень отношения Ri и обозначается Ri2). Для каждого бинарного отношения существует обратное ему отношение R.], обладающее свойством х/ R-ix^ XоRxi.

    Бинарное отношение R на множестве М геометрически интерпретируемо как граф, множеством вершин которого являются элементы множества М, а отношение х; R х^ изображается стрелкой (ориентированным ребром графа), к-рое выходит из вершины х/ и входит в вершину х^. Среди бинарных отношений особо важны отношения эквивалентности (типа равенства), толерантности (сходства) и порядка. Эти отношения различаются по тому, выполняются или не выполня

    ются для них свойства рефлексивности (или антирефлексивности), симметричности и транзитивности, имеющие следующий смысл: (1) рефлексивность: для любого объекта х; из М верно высказывание х/ R х„ т. е. всякий элемент х; находится сам с собой в данном отношении; (2) симметричность: для любых объектов х; и х^ из высказывания х/Лх^ следует высказывание x^Rxf, (3) антисимметричность: если верно, чтох/Дхд то обратное отношение x^Rxi верно, только если R рефлексивно; (4) транзитивность: если выполнены отношения XJ R х^ и х^ R XJ, то выполнено и отношение х/ R XJ.

    Рефлексивное и симметричное отношение R называется отношением толерантности (сходства) или просто толерантностью; антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка; рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (равенства) или эквивалентностью. Эквивалентность задает разбиение множества М на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), так что если для неких х/ и χ.; верно х/ R χι, то х/ и х^ принадлежат одному и тому же классу. Отношение толерантности порождает систему классов толерантности: выполнимость х/ R х^ для х/ и х^ означает в этом случае их попадание хотя бы в один общий класс.

    Важный случай составляют тернарные отношения, обладающие тем свойством, что для любых х, и х, существует единственный Xic, при котором х/, Ху, Χι> входит в R. Такое отношение называется (некоторой) операцией, элементы х, и х, — операндами, а элемент х^ — результатом операции х; = х, * х/, где * есть знак данной операции. Так, операция сложения чисел соответствует отношению, выполняемому на всех тройках чисел, для которых х^ = х; + ху.

    На заданной области Ai можно определить отношение и неопределенной арности, когда R состоит из кортежей разной длины. Напр., если М— множество слов, то можно задать отношение ранжированности, которое, по определению, выполняется для любого набора слов, в котором они перечислены в алфавитном порядке.

    Для создания т. н. реляционных баз данных полезно формальное описание связи между объектами разных сортов; в этом случае отношение R понимается как подмножество Декартова произведения, определяемого не на единственном множестве М, а на многих множествах Μι, М^,..., Mm.

    Лит.: ТарскийА. Введение в лотку и методологию дедуктивных наук. М-, 1948; Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971.

    Ю. А. Шрейдер, Б. В. Бирюков