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Symmetrie|operation,

 

Geometrie und Kristallographie: Bewegung oder Koordinatentransformation, mit der ein geometrisches Gebilde, v. a. das Raumgitter eines Kristalls, in sich selbst überführt wird. Symmetrieoperationen sind immer auch Deckoperationen (im Sinne von Kongruenzabbildungen, Bewegung), diese aber nicht immer auch Symmetrieoperationen (z. B. die jedem Raumgitter eigenen Translationen, durch die einander identischen Geraden einer Richtung, nicht aber solche verschiedener Richtung ineinander überführbar sind). Durch Symmetrieoperationen ausgezeichnete Punkte, Geraden oder Ebenen eines dreidimensionalen Objekts werden Symmetrieelemente genannt.

 

Man unterscheidet Symmetrieoperationen 1. Art, denen eigentliche Raumbewegungen entsprechen, von Symmetrieoperationen 2. Art, bei denen die Koordinatentransformation durch eine Spiegelung mit einer nachfolgenden eigentlichen Raumbewegung bewirkt wird. Einfache Symmetrieoperationen 1. Art sind Translationen und Drehungen, ihre Symmetrieelemente Geraden in Richtung der Translationsbewegung beziehungsweise die Drehachse. Ist α der kleinste Drehwinkel, mit dem bei einer Drehung das Objekt wieder mit sich zur Deckung gebracht wird, so wird x = 360º / α als die Zähligkeit der Drehachse definiert. Im Raumgitter und damit in den Kristallstrukturen können nur zwei-, drei-, vier- und sechszählige Achsen vorkommen. Die Schraubung (Symmetrieelement Schraubenachse) ist eine aus Translation und Drehung zusammengesetzte Symmetrieoperation 1. Art. Einfache Symmetrieoperationen 2. Art sind die Spiegelung an einem Punkt (Inversion) und die Spiegelung an einer Ebene. Symmetrieelemente der Inversion und der Spiegelung sind das Inversions- oder Symmetriezentrum beziehungsweise die Spiegel- oder Symmetrieebene. Zusammengesetzte Symmetrieoperationen 2. Art sind die Drehspiegelung oder Inversionsdrehung (Drehinversion), d. h. die Kopplung einer Drehung mit einer Spiegelung oder Inversion (Symmetrieelement zwei-, drei-, vier- oder sechszählige Drehspiegelachse), und die Gleitspiegelung, d. h. die Kopplung von Translation und Spiegelung (Symmetrieelement Gleitspiegelebene). Dabei lässt sich die Spiegelung an einer Ebene auch durch die aus Inversion und zweizähliger Drehung zusammengesetzte Symmetrieoperation darstellen, die Inversion durch die aus Spiegelung an einer Ebene mit zweizähliger Drehung zusammengesetzte Symmetrieoperation.

 

Da die Ausführung einer Symmetrieoperation das Objekt unverändert lässt, kann sie wiederholt, rückgängig gemacht oder an eine andere Symmetrieoperation angeschlossen werden, wobei die zusammengesetzte Koordinatentransformation ebenfalls eine Symmetrieoperation des Objekts ist. Die Menge aller Symmetrieoperationen eines Körpers hat daher die Struktur einer algebraischen Gruppe und wird als Symmetriegruppe dieses Körpers bezeichnet.

 

Drehung, Spiegelung sowie ihre Zusammensetzungen heißen Punktsymmetrieoperationen, da bei ihrer Ausführung mindestens ein Punkt des Körpers auf sich selbst abgebildet wird. Die Kombination der wirksamen Symmetrieelemente führt zu 32 verschiedenen Punktsymmetriegruppen (Punktgruppe), durch die sich sämtliche Kristalle bezüglich ihrer Gestalt (Morphologie) klassifizieren lassen (Kristallklasse). Die Symmetriegruppen dreidimensionaler periodischer Körper, die außerdem Translationen als Symmetrieoperationen enthalten, werden als Raumgruppen bezeichnet. Alle Kristalle lassen sich durch 14 Translationsgitter mit unterschiedlicher Symmetrie beschreiben (Bravais-Gitter). Die Gesamtheit aller Translationen lässt sich aus einem Tripel von drei linear unabhängigen Basisvektoren a, b, c erzeugen und bildet als Translationsgruppe eine Untergruppe der Raumgruppe. Man kann sieben kristallographische Achsensysteme (Achsenkreuze) mit Basisvektoren von verschiedener relativer Länge und Orientierung unterscheiden. Auf der Grundlage dieser Achsenkreuze definiert man die sieben Kristallsysteme. Im Gegensatz zur Punktgruppe existieren in der Raumgruppe außer Punktsymmetrieoperationen zusammengesetzte Symmetrieoperationen, z. B. die Schraubung oder die Gleitspiegelung, deren Einzelelemente (Drehung und Translation, Translation und Spiegelung) allein keine Symmetrieoperationen der Raumgruppe sind.