Akademik

- свойство кристаллов совмещаться с собойпри поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинацииэтих операций. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметриейего атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойствкристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца; 3 - ось симметрии 3-го порядка,- оси 2-го порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия; m - плоскостьсимметрии.

На рис. 1 а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3он может быть совмещён сам ссобой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, б )преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальноеравенство). Если - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространствеили к.-л. его свойство, а операция осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g являетсяоперацией, или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиб. общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность)объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теорияС. к.- теория симметричных преобразований в себя трёхмерного пространствас учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов дискретная, трёхмерно-периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуетсякак жёсткое целое. Такие преобразования паз. ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричномобъекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерномпространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла(см. Зонная теория), при анализе процессов дифракции рентгеновскихлучей, дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллахс использованием обратного пространства (см. Обратная решётка )ит. п.

Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, анеск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а )совмещаетсяс собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi), нои при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g₂),& также при поворотах на 180° вокруг осей 2 _Х, 2 _у,2_W (операции g₃, g₄, g₅).Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр.,ось 3 или оси 2_x, 2 _у, 2_w являютсяосями симметрии, плоскость т (рис. 1,б) - плоскостью зеркальнойсимметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g₁, g₂,..., g_n} данного кристалла образует группу симметрии в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операцийсимметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначаюткак произведение операций:.Всегда существует операция идентичности g₀, ничего неизменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствуетнеподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Числоопераций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу . измерений пространства, в к-рых они определены; по числу . измеренийпространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают ),и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различныегруппы симметрии, из к-рых важнейшими являются точечные группы симметрии ,описывающие внеш. форму кристаллов; их наз. также кристаллографич. классами;пространственные группы симметрии ,описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются:повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис.2, а); отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение, рис. 2, б); инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты (комбинация поворота на угол 360°/N с одноврем. инверсией, рис.2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентныеим зеркальные повороты Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяютту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точкаобъекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаютсявсе элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к различным точечным группам, даны на рис.3.

Рис. 2. Примеры операций симметрии: а - поворот; б - отражение; в- инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот4-го порядка; е - скользящее отражение.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам(кристаллографическим классам): а - к классу m (одна плоскость симметрии);б - к классу (центр симметрии или центр инверсии); а - к классу 2 (одна ось симметрии2-го порядка); г - к классу (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии описываются линейными ур-ниями

или матрицей коэффициентов

Напр., при повороте вокруг оси х ₁ на угол -=360°/N матрица D имеет вид:

а при отражении в плоскости х ₁ х ₂ D имеетвид:

Число точечных групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможнытолько операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го;в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. спомощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаютсясимволами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси (центрсимметрии или центр инверсии), (она же - плоскость симметрии т), (рис. 4).

Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а -кружок - центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа;б - ось 2, параллельная плоскости чертежа; в - оси симметрии, параллельныеили косо расположенные к плоскости чертежа; г - плоскость симметрии, перпендикулярнаяплоскости чертежа; д - плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа.

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть)возникнут в результате взаимодействия порождающих. Напр., для кварца (рис.1, а) порождающими операциями являются 3 и одна из операций 2, а всегоопераций в этой группе 6. В международные обозначения групп входят символыпорождающих операций симметрии. Точечные группы объединяются по точечнойсимметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, Ь, с и углами ) в 7 сингоний (табл. 1).

Группы, содержащие кроме гл. оси N плоскости симметрии т, обозначаются как N/m, если или Nm, если ось лежит в плоскости т. Если группа помимогл. оси имеет неск. проходящих через неё плоскостей симметрии, то она обозначается Nmm.

Табл. 1.- Точечные группы (классы) симметрии кристаллов

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие толькоиз совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отраженияили инверсионные повороты, описывают кристаллы, в К-рых есть зеркальноравные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой»,каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально-равныхдруг другу (см. Энантиоморфизм).

Группы С. к. несут в себе геом. смысл: каждой из операций соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Нек-рые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правилавзаимодействия операций в данной группе (но не их геом. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфнымидруг другу. Таковы, напр., группы 4 и , тт2,222. Всего имеется 18 абстрактных групп, изоморфных одной илинескольким из 32 точечных групп С. к.

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечныхфигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографииточечная симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Для описания регулярнойструктуры сферич. вирусов, в оболочках к-рых соблюдаются принципы плотнойукладки молекул, и нек-рых неорганич. молекул оказались важными икосаэдрич. точечные группы 532 и (см. Биологический кристалл). Икосаэдрич. симметрия наблюдаетсятакже в квазикристаллах.

Предельные группы. Ф-ции, к-рые описывают зависимость различных свойствкристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначносвязанную с группой симметрии огра-нения кристалла. Она либо совпадаетс ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип).

В отношении макроскопич. свойств кристалл может описываться как однороднаянепрерывная среда. Поэтому многие из свойств кристаллов, принадлежащихк тем или иным точечным группам симметрии, описываются т. н. предельнымиточечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемыесимволом .Наличие оси означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в т. ч. бесконечно малый, угол. Таких групп 7 (рис. 5). Т. о., всего имеется 32+ 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Знаягруппу симметрии кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствияв нём нек-рых физ. свойств (см. Кристаллофизика).

Рис. 5. Стереографические проекции 32 кристаллографических и 2 икосаэдрическихгрупп. Группы расположены в колонки по семействам, символы которых даныв верхнем ряду. В нижнем ряду указана предельная группа каждого семействаи изображены фигуры, иллюстрирующие предельную группу.

Пространственные группы симметрии. Пространственная симметрияатомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии . Они наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова;эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом (A. Schoenflies).В противоположность точечным группам, к-рые были получены как обобщениезакономерностей форм кристаллич. многогранников (С. И. Гессель, 1830, А. В. Гадолин, 1867), пространственные группы явились продуктом математическо-геом. теории, предвосхитившей эксперим. определения структуры кристаллов с помощьюдифракции рентг. лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3некомпланарные трансляции а, b, с , к-рые и задают трёхмернуюпериодичность кристаллич. решётки. Кристаллич. решётка рассматриваетсякак бесконечная во всех трёх измерениях. Такое матем. приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Переносструктуры на векторы а, Ь, с или любой вектор где p₁, p₂, р ₃ - любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операциейсимметрии (трансляционная симметрия).

Физ. дискретность кристаллич. вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы - это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретногопространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространствасимметрически равны друг другу, напр. атом одного и атом др. сорта, ядрои электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, чтопространственные группы - трёхмерно периодические, т. е. любая группа содержит подгруппу трансляций Т- кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операцийточечной симметрии в группах кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующиеим элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси различныхпорядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е).

В соответствии с точечной симметрией формы элементарной ячейки (элементарногопараллелепипеда) пространственные группы, как и точечные, подразделяютсяна 7 кристаллографических сингоний (табл. 2). Дальнейшее их подразделениесоответствует трансляц. группам и соответствующим им Враве решёткам. Решёток Браве 14, из них 7 - примитивные решётки соответствующих сингоний, они обозначаются Р (кроме ромбоэдрической R). Другие-7 центриров. решёток: базо (боко) - центрированные А (центрируется грань bc),В (грань ас), С (аb); объёмноцентрнрованные I, гранецентрированные(по всем 3 граням) F. С учётом центрировки к оперирации трансляций t добавляются соответствующие центру центрирующие переносы t_c. Если комбинировать друг с другом эти операции t+ t _с и с операциями точечных групп соответствующей сингоний, то получаются 73пространственные группы, наз. симморфными.

Табл. 2.-Пространственные группы симметрии

На основе определённых правил из симморфных пространственных групп можноизвлечь нетривиальные подгруппы, что даёт ещё 157 несимморфных пространственныхгрупп. Всего пространственных групп 230. Операции симметрии при преобразованииточки х в симметрично равную ей (а значит. и всего пространства в себя) записываются в виде:, где D - точечные преобразования,- компоненты винтового переноса или скользящего отражения,- операции трансляц. группы Браве. Операции винтовой симметрии и соответствующиеим элементы симметрии - винтовые оси имеют угл. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) и трансляционную t_s = tq/N, где t- трансляция решётки, поворот на происходит одновременно с трансляцией вдоль оси Ж, q - индексвинтового поворота. Общий символ винтовых осей N_q (рис.6). Винтовые оси направлены вдоль гл. осей или диагоналей элементарнойячейки. Оси 3₁ и 3₂, 4₁ и 4₃,6₁ и 6₅, 6₂ и 6₄ соответствуютпопарно правым и левым винтовым поворотам. Кроме операции зеркальной симметриив пространственных группах возможны также плоскости скользящего отраженияа, Ь, с: отражение сочетается с переносом на половину соответствующегопериода решётки. Переносу на половину диагонали грани ячейки соответствуетт. н. клиноплоскость скольжения n, кроме того, в тетрагональных и кубич. группах возможны «алмазные» плоскости d.

Рис. 6. а - Графические обозначения винтовых осей, перпендикулярныхплоскости рис.; б - винтовая ось, лежащая в плоскости рис.; в - плоскостискользящего отражения, перпендикулярные плоскости рис., где а, b, с - периодыэлементарной ячейки, вдоль осей которой происходит скольжение (трансляционнаякомпонента а/2), п - диагональная плоскость скользящего отражения [трансляционнаякомпонента (а + b)/2], d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка.

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных группв соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечнойсимметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных группмакроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая осьв огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простаяповоротная ось. Поэтому каждая из 230 групп макроскопическисходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечнуюгруппу - ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственнойточечной группы (напр.,, табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически порядковый номер, напр. . В международныхобозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметриикаждой группы -и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл.2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу)в обозначениях Шёнфлиса.

На рис. 7 дано изображение пространств. группы - Рпта согласно Интернациональным кристаллографич. таблицам. Операции(и соответствующие им элементы) симметрии каждой пространственной группы, указываемые для элементарной ячейки, действуют на всё кристаллич. пространство, всю атомную структуру кристалла и друг на друга.

Рис. 7. Изображение группы -Рпта в Интернациональных таблицах.

Если задать внутри элементарной ячейки к.-н. точку х (x₁x₂x₃), то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точкиво всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное множество. Нодостаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупностьуже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимыхиз данной операциями g_i группы G - х ₁,x₂,...,x_n-1, наз. правильной системой точек (ПСТ).На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы ,слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения- это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметриипространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. Точки, расположенные на элементе (или элементах) точечной симметрии, образуютПСТ частного положения и обладают соответственной симметрией, количествоих в целое число раз меньше кратности ПСТ общего положения. На рис. 7 слевакружками указаны точки общего положения, их внутри элементарной ячейки8, символы «+» и «-», «1/2+» и «1/2-» означают соответственно координаты+z, -z, 1/2 + z, 1/2 - z. Запятые пли их отсутствие означают попарное зеркальноеравенство соответствующих точек относительно плоскостей симметрии т, имеющихсяв данной группе при у= 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскостьт, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, и число (кратность) таких точек частного положения 4, их симметрия -m.То же имеет место при попадании точки в центры симметрии.

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильнаясистема точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТчастного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональныхтаблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристикикаждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, чтов любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе, атомы или центры молекул располагаются по ПСТ (одной или нескольким). Приструктурном анализе распределение атомов по одной или неск. ПСТ даннойпространственной группы производится с учётом хим. ф-лы кристалла и данныхдифракц. эксперимента, позволяет находить координаты точек частных илиобщих положений, в к-рых расположены атомы. Поскольку каждая ПСТ состоитиз одной или кратного числа решёток Браве, то и расположение атомов можнопредставлять себе как совокупность «вдвинутых друг в друга» решёток Браво. Такое представление эквивалентно тому, что пространственная группа содержитв себе как подгруппу трансляц. группу Браве.

Подгруппы групп симметрии кристаллов. Если часть операции к.-л. группы сама образует группу G_r(g₁,...,g_m),, то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2. Также и средипространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группымогут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственныхгрупп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами болеенизкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Большинство пространственных групп симметрии кристаллов различны междусобой и как абстрактные группы; число абстрактных групп изоморфных 230пространственным группам равно 219. Абстрактно равными оказываются 11 зеркально-равных(энантиоморфных) пространственных групп - одна лишь с правыми, другие слевыми винтовыми осями. Таковы, напр., P3₁21 и P3₂21.Обе эти пространственные группы гомоморфно отображаются на точечную группу32, к к-рой принадлежит кварц, но кварц соответственно бывает правый илевый: симметрия пространственной структуры в этом случае выражается макроскопически, но точечная группа в обоих случаях та же.

Роль пространственных групп симметрии кристаллов. Пространственныегруппы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии, дифракционныхи иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии, позволяет установить симметрийные и геом. характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно и самойструктуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарнуюячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционныхрефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или инойпространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находятпо совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии. Определеноболее 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов, хотяодни из них встречаются чаще, другие реже. Имеется статистика распространённостипространственных групп по различным видам хим. соединений. Пока не найденысреди исследованных структур лишь 4 группы: Рсс2, P4₂cm,P4nc₁, Р6тп. Теория, объясняющая распространённость техпли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуруатомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных»элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощьюматриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов2-го рода пространственнаягруппа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы являетсяподгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переходсвязан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричнойфазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллическойрешётки, её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиенияпространства на равные области, в частности полиэдрические.

Симметрия проекций, слоев и цепей. Проекции кристаллич. структурна плоскость описываются плоскими группами ,их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут бытьиспользованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. структур и молекул. Напр., группы описываютстроение биологич. мембран, группы -цепных молекул (рис. 8, а), палочкообразных вирусов, трубчатых кристалловглобулярных белков (рис. 8, б), в к-рых молекулы уложены согласноспиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатыйкристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение220 000).

Структура квазикристаллов. Квазикристалля (напр., А1₈₆ Мn₁₄ )имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. решётке. Дальний порядок в квазикристаллах - квазипериодический, описываемыйна основе теории почти периодич. ф-ций. Структура квазикристаллов можетбыть представлена как проекция на трёхмерное пространство шестимерной периодич. кубич. решётки с осями 5-го порядка. Квазикристаллы с пятимерной симметриейв высшем измерении могут иметь 3 типа решёток Браве (примитивную, объёмноцентрированнуюи гранецентрированную) и 11 пространственных групп. Др. возможные типыквазикристаллов - укладки в стопку двумерных сеток атомов с осями 5-, 7-,8-, 10-, 12-го ... порядков, с периодичностью вдоль третьего перпендикулярногосеткам направления.

Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятиеравенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически)объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр.,распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можноописать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределениев нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся а н т и с и м м е т р ия и цветная сниметрия.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарнойячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии.

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х ₁,х ₂, х ₃ вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна»- изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии (шубнпковскиегруппы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48), то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. структур.

Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведеныи все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства иболее высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерногопространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. структуры (см. Несоразмерная структура).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частейфигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия.

Лит.: Шубников А. В., К о п ц и к В. А., Симметрия в науке иискусстве, 2 изд., М., 1972; Федоров E.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М.,1951; International tables for X-ray crystallography, v. 1 - Symmetry groups,Birmingham, 1952; Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственныхгрупп, К., 1961; В е й л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Современнаякристаллография, т. 1 - Вайнштейн Б. К., Симметрия кристаллов. Методы структурнойкристаллографии, М., 1979; Г а л и у л и н Р. В., Кристаллографическаягеометрия, М., 1984; International tables for crystallography, v. A - Spacegroup symmetry, Dordrecht - [a. o.], 1987. Б. К. Вайнштейн.