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Binärsystem

 

(binäres Zahlensystem). Das Binärsystem kommt mit zwei Zahlenzeichen (geschrieben 0 und 1) aus, die das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein einer bestimmten Potenz von 2 in einer darzustellenden Zahl zum Ausdruck bringen. Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig im Binärsystem schreiben, beispielsweise:

 

58 = 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹+ 0 × 2⁰; also hat die Zahl 58 in der Schreibweise des Binärsystems die Form 111010.

 

Große praktische Bedeutung erlangte das Binärsystem für die Entwicklung der modernen Computer, da sich die Alternative »Vorhandensein« oder »Nichtvorhandensein« technisch besonders leicht realisieren lässt (im einfachsten Fall durch Ein- oder Ausschalten eines Schalters).

Binärsystem

 

(Dualsystem), Zahlensystem, das auf der Basis 2 beruht. Das bedeutet, dass nur die beiden Ziffern 0 und 1 zur Darstellung einer binären Zahl verwendet werden können. Dadurch werden binäre Zahlen wesentlich länger als ihre dezimalen Entsprechungen. Die Zahl 57 lautet beispielsweise im Binärsystem 111001. Jede einzelne Ziffer einer solchen Zahl stellt ein Bit dar.

 

Die Wertigkeit der Stellen einer Binärzahl wird genauso behandelt wie bei Dezimalzahlen. Demnach ist die am weitesten rechts liegende Stelle diejenige mit der niedrigsten Wertigkeit. Man schreibt sie auch in Potenzschreibweise 2⁰, die daran anschließende Stelle beinhaltet die Wertigkeit 2¹ usw. Im Dezimalsystem entspricht dies der Schreibweise 10⁰ bzw. 10¹. Jede Wertigkeit wird noch mit dem Wert der Stelle (die dort befindliche Ziffer) multipliziert. Auf diese Weise lassen sich Binärzahlen einfach in Dezimalzahlen umrechnen, indem man alle binären Ziffern entsprechend ihres Stellenwerts aufaddiert. Am Beispiel der Zahl 57 führt dies auf die Addition 1 × 2⁰ + 0 × 2¹ + 0 × 2² + 1 × 2³ + 1 × 2⁴ +1 × 2⁵ also 1 + 0 + 0 + 8 + 16 + 32.

 

Um umgekehrt eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, teilt man die Zahl so lange durch zwei, bis man bei der Eins oder der Null angekommen ist, und schreibt jeweils den Divisionsrest, also den Teil hinter dem Dezimalkomma, als Null bzw. Eins auf. Bleibt bei der Division kein Rest, notiert man eine null, ansonsten eine eins. Danach streicht man den Teil hinter dem Dezimalkomma und rechnet mit dem Ergebnis weiter. Wandelt man die Zahl 57 auf diese Weise um, erhält man als Rechenschritte:

 

57/2 = 28,5 Rest 1

 

28/2 = 14,0 Rest 0

 

14/2 = 7,0 Rest 0

 

7/2 = 3,5 Rest 1

 

3/2 = 1,5 Rest 1

 

1/2 = 0,5 Rest 1

 

Wie man sieht, wird bei diesem Verfahren die Binärzahl von ihrem niedrigsten Wert zum höchsten (also von rechts nach links) aufgebaut. Mit Binärzahlen lässt sich genauso rechnen wie mit normalen Zahlen. Man kann sie addieren (binäre Addition), subtrahieren (binäre Subtraktion), multiplizieren und dividieren.

 

Das Binärsystem eignet sich hervorragend für elektronische und Computeranwendungen, da man durch die Abfolge der Nullen sofort abprüfen kann, ob beispielsweise eine Schaltung geöffnet (Binärwert 0) oder geschlossen (Binärwert 1) ist bzw. den Inhalt einer Speicheradresse bitweise nutzen kann, um Schaltzustände im Computer hervorzurufen. Soll etwa das fünfte Bit einer Speicheradresse einen Schaltvorgang auslösen, muss sich dort die Ziffer Eins befinden.

 

In der Informatik und Computertechnik haben sich im Laufe der Zeit beim Umgang mit Binärzahlen einige Besonderheiten herausgebildet. So spielen Vielfache der Zahl 2 eine große Rolle: Man kann damit Gruppen aus Binärzahlen bilden oder sich verkürzte, übersichtlichere Schreibweisen von Binärzahlen überlegen.

 

Eine Gruppe von vier Bits wird z. B. als ein Nibble bezeichnet, acht Bits werden als ein Byte zusammengefasst.

 

Bei der Beschreibung von Binärzahlen greift man oft zu einem Trick, der zu mehr Übersichtlicheit verhelfen soll: Man verwendet das Hexadezimalsystem, um eine Binärzahl verkürzt wiederzugeben. Anstatt beispielsweise 111001 (für die Dezimalzahl 57) zu schreiben, notiert man 39h, anstatt 11111111 (für die Dezimalzahl 255) kurz FFh. Im Hexadizimalsystem werden vier Bits durch ein hexadezimales Zeichen ersetzt. Der Zusatz h kann auch weggelassen werden, wenn klar ist, dass es sich um eine Angabe im Hexadezimalsystem handelt. Ein typisches Beispiel für die Verwendung der Hexidezimalschreibweise als Kurzform der Binärdarstellung ist die ANSI-Tabelle, in der jedes Zeichen mit seinen zugeordneten Dezimal- und Hexadezimalwerten (also eigentlich Binärwerten) angegeben ist.

 

Viele Programmiersprachen, aber auch Taschenrechner, die für Informatiker gedacht sind, enthalten Funktionen, mit denen die Binär-, Dezimal- und Hexadezimalsysteme ineinander umgerechnet werden können.