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Wellengleichung,

 

allgemein jede Differenzialgleichung (DGL), deren Lösung(en) in Form einer beziehungsweise mehrerer Wellenfunktionen jeweils eine Welle beschreiben; speziell jede lineare partielle DGL 2. Ordnung vom hyperbolischen Typ. Beispiele für Wellengleichungen sind die Telegrafengleichung (Leitungsgleichungen) in der Elektrotechnik und die Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik. Im engeren Sinn wird als Wellengleichung die homogene hyperbolische DGL

 

bezeichnet, die auf viele verschiedene ungedämpfte Wellenvorgänge in quellfreien (Quellfreiheit) homogenen isotropen Medien anwendbar ist (z. B. Schallausbreitung, elektromagnetischer Wellen). Darin ist u die Wellenfunktion, Δ der Laplace-Operator, ▯ der d'Alembert-Operator, c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle (Phasengeschwindigkeit) und t die Zeit. Die allgemeine (d'alembertsche) Lösung dieser DGL für den Fall ebener Wellen ist u (x, t) = F (x — c t ) + G (x + c t ), für den Fall von Kugelwellen ist u = r^-1 [F (r — c t ) + G (r + c t )]; F und G sind beliebige Funktionen. Der erste Term dieser Wellenfunktionen steht jeweils für eine in positiver, der zweite für eine in negativer Richtung laufende Welle.

 

Durch Hinzunahme eines in ∂u / ∂t linearen Dämpfungsglieds und eines in u linearen Glieds zur Berücksichtigung der Dispersion, speziell für den eindimensionalen Fall, erhält man die Telegrafengleichung. Bei Vorhandensein von Quellen für den jeweiligen Wellenvorgang in dem zu beschreibenden Gebiet muss die homogene Wellengleichung durch Hinzunahme einer entsprechenden Quellenverteilungsfunktion zu einer inhomogenen Wellengleichung erweitert werden. - Für die spezielle Lösung einer Wellengleichung müssen die Anfangs- und Randbedingungen bekannt sein, durch die z. B. die Funktionen F und G festgelegt werden.

 

Nichtlineare Wellengleichungen enthalten nichtlinear von der Wellenfunktion u abhängige Glieder; sie beschreiben u. a. Stoßwellen und Solitonen.