Akademik

категории, характеризующие строение материи, а также процессы развития. Прерывность (дискретность) выражает пространственно-врем. локализованность составляющих, элементов, состояний нек-рого объекта, процесса и основывается на делимости объекта, процесса и на относительно самостоят. существовании его составляющих, элементов в рамках целого. Непрерывность выражает органич. единство, взаимосвязь и взаимообусловленность тех же составляющих, элементов, состояний и основывается на неделимости объекта как целого; благодаря такому единству только и возможно существование и развитие объекта, процесса как целого. Т.о., строение к.-л. объекта, процесса раскрывается как единство П. и н. Прерывность обусловливает саму возможность сложного и неоднородного строения объекта; "отделенность", локализованность того или иного элемента является необходимым условием выполнения этим элементом специфической для него функции в рамках целого. В сложном объекте только благодаря прерывности возможна взаимозаменяемость (и вообще заменимость) отд. элементов. В процессах развития прерывность выступает как относит. отграниченность отд. состояний, стадий развития и служит объективным основанием для вычленения и сопоставления этих состояний в познании. Непрерывность всегда реализуется в определ. системе связей (причем сами связи, в свою очередь, могут характеризоваться через понятия П. и н.); она составляет объективный базис, благодаря к-рому из частей образуется целое; конкретное воплощение непрерывности через систему связей объясняет факт неаддитивности целого сумме его частей. В процессах развития непрерывность обусловливает возможность перехода развивающегося объекта из одного состояния в другое без разрушения самого объекта, с бóльшим или меньшим сохранением его субстрата и осн. характеристик. Способом и вместе с тем воплощением единства П. и н. в процессах развития является скачок, для к-рого характерны одновременно как разрывность, так и преемственность, как изменение, так и сохранение.

П. и н. в м а т е м а т и к е рассматриваются гл. обр. как характеристики различных "пространств" (см. Пространство) и пространственных (точечных) множеств, а также множеств, состоящих из элементов "непространственной", напр. числовой, природы, но изоморфных пространственным (см. Изоморфизм). Исследование понятий П. и н. тесно связано с проблемой математической бесконечности, в частности с вопросом о мощностях множеств. Дискретным является всякое конечное множество и всякое с ч е т н о - б е с к о н е ч н о е множество (элементы к-рого можно располагать в виде последовательности, изоморфной натуральному ряду). Непрерывное множество непременно н е с ч е т н о. Напр., множество действит. чисел имеет мощность континуума. Но несчетность недостаточна для характеристики непрерывности: линейное несчетное множество может быть не только не непрерывным, но и "всюду разрывным" (т.е. таким, что его точки не заполняют целиком никакого отрезка) и даже "нигде не плотным" (т.е. внутри каждого отрезка, содержащего точки данного множества, найдется меньший отрезок, целиком свободный от его точек). Т.о., из непрерывности следует несчетность, а из конечности или счетности – дискретность.

Вопрос о П. и н. обсуждался еще в антич. философии и математике (концепция атомизма, проблематика апорий Зенона Элейского, "аксиома непрерывности" Евдокса Книдского – Архимеда и др.). В математике нового времени в связи с развитием математич. анализа центр. роль стала играть идея непрерывности. При этом обнаружились сложные, парадоксальные с т. зр. обычной математич. интуиции взаимоотношения понятий П. и н. Так, в классификации функций, построенной франц. математиком Р. Бэром, "нулевой" класс образуют непрерывные функции, а последующие классы – натуральных, а затем и трансфинитных порядков – функции различных "степеней разрывности". Об относительности противопоставления П. и н. свидетельствовала и работа по арифметизации (т.е. дискретизации!) математич. анализа, проведенная в 19 в.

Однако фундаментальное обоснование этой относительности было дано лишь в 20 в. В математике идея непрерывности проникла в области, являвшиеся ранее сферой чисто дискретных рассмотрений (теория непрерывных групп, непрерывных колец в алгебре и др.). В известном смысле как "науку о непрерывном" можно рассматривать топологию, т.к. в ней изучаются свойства множеств ("топологич. пространств"), сохраняющиеся при любых их "непрерывных деформациях". С др. стороны, нарастала тенденция, противостоявшая универсализации идеи непрерывности. Развитие интуиционизма, а затем конструктивного направления привело к разработке интуиционистских и конструктивных аналогов ряда понятий классич. математики, связанных с идеей непрерывности (напр., интуиционистский "континуум" Э. Л. Брауэра и Г. Вейля, а затем аналог континуума в совр. конструктивном математич. анализе, описываемый средствами теории рекурсивных функций или теории нормальных алгорифмов с т. зр. классич. математики не могут считаться континуумами хотя бы в силу своей счетности; однако в "атомистическом" и "счетном" континууме конструктивистов каждая конструктивная функция оказывается непрерывной). Эта неабсолютность понятий П. и н. связана с различиями в абстракциях, используемых, с одной стороны, классическим, а с другой – интуиционистским и конструктивным направлениями. Поэтому дискретное с классич. т. зр. непрерывно с интуиционистской или конструктивной т. зр., а классич.. непрерывность вообще лишена смысла для последних двух направлений.

Относительность (и взаимозависимость) П. и н. проявляется и в совр. физике: эти понятия, противопоставляемые на уровне одной физич. теории, оказываются "сосуществующими" и даже дополняющими одно другое в иных теориях или при иных подходах. В этой связи можно сказать, что нынешние попытки физиков установить наличие пространств. или врем. квантования мира, в случае их удачи, вряд ли приведут к поражению идеи непрерывности в физике, т.к. по самой своей природе они связаны с применением определ. науч. аппарата и соответствующих постулатов, а никакой науч. аппарат не может претендовать на универсальность. Развитие кибернетики и связанных с ней наук стимулирует разработку многочисл. отраслей "дискретной" ("конечной") математики (напр., теории конечных автоматов). Это связано с выдвижением все большего количества науч., технич., экономич. задач, решать к-рые целесообразнее по "дискретной" схеме. Так обстоит дело, напр., при моделировании любых, в т.ч. "непрерывных", процессов на электронных цифровых машинах. Представление о дискретности процессов управления и строения систем управления является одним из ведущих принципов кибернетики. Однако такой подход связан с известной идеализацией, огрублением функционирования реальных устройств и систем (таковы, напр., абстракции квантованных сигналов, дискретных шагов изменения времени и т.д.). Поэтому при применении нек-рого конкретного аппарата, содержащего абстракции, типичные для дискретного подхода, учитывается способность этого аппарата дать результаты, соответствующие фактич. положению вещей. Связанное с этим огрубление в принципе может быть снято дальнейшим развитием дискретного аппарата. "Не существует состоятельных аргументов в пользу принципиальной ограниченности возможностей дискретных механизмов по сравнению с непрерывными" (Колмогоров А. Н., Автоматы и жизнь, см. "Техника молодежи", 1961, No 10, с. 18–19). Однако наука и практика вынуждены учитывать реальные трудности создания чисто дискретных моделей высокосложных систем управления, связанные, в частности, с необходимостью оперировать с функциями от весьма большого числа переменных. Это породило идеи об отказе или ослаблении в том или ином направлении требования дискретности и введения в рассмотрение управляющих систем, трактуемых в виде сплошных непрерывных сред.

Лит.: Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. с франц.. М.–Л., 1932; Вейль Г., О философии математики, пер. с нем., М.– Л., 1934; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.–Л., 1937; Яблонский С. В., Осн. понятия кибернетики, в кн.: Проблемы кибернетики, вып. 2, М., 1959; Ляпунов А. А. и Яблонский С. В., Теоретич. проблемы кибернетики, там же, вып. 9, М., 1963; Гельфанд И. М. и Цетлин М. Л., О континуальных моделях управляющих систем, "ДАН СССР", 1960, т. 131, No 6; Кузнeцов Б. Г., Развитие физич. идей от Галилея до Эйнштейна в свете совр. науки, М., 1963; Колмогорова. Н., Жизнь и мышление как особые формы существования материи, в сб.: О сущности жизни, Μ., 1964; Кузнецов Б. Г., Очерки физической атомистики XX века, М., 1966.