Akademik

        направление в филос. основаниях математики, ставившее своей задачей переосмысление «платонистской» концептуальной основы содержат. (канторовской) теории множеств с т. зр. принципов эмпиризма. Выдвинуто в кон. 19 — нач. 20 вв. в работах франц. математиков А. Пуанкаре, Э. Бореля, Р. Бэра, А. Лебега и др. Филос. значение Э. определялось его оппозицией к осн. абстракциям канторовского учения о бесконечном (актуальности, выбора, трансфинитной индукции и др.), в чём Э. явился предтечей интуиционизма и конструктивного направления. Не отказываясь от теоретико-множеств. методов мышления вообще, Э. предложил программу параллельного исследования достигнутых с их помощью результатов. При этом он опирался только на «реалистические» (эф-фективистски приемлемые) абстракции как гносеологически более ценные, поскольку они предполагают понятия об эффективных методах построения (порождения, вычислимости или индивидуальной определимости) математич. объектов. В частности, эффективное построение основы арифметики (множества натуральных чисел) вполне обеспечивается абстракцией потенциальной осуществимости операции сложения (прибавления единицы) и её предполагаемым однозначным смыслом, определяемым по индукции. Аналогично (не прибегая к абстракции актуальности бесконечного) возможно эффективное введение понятия о трансфинитных ординалах (т. е. бесконечных порядковых числах) на основе эффективного понятия о росте функций. Однако эффективное введение трансфинитов в целом или всех элементов континуума (числовой основы анализа) невозможно. Отсюда проистекает вопрос о конструктивном смысле теоретико-множеств. понятий и филос. аспект проблемы оснований, изученный Э.: как и в каких пределах непрерывное (континуум) можно отобразить дискретными средствами (арифметизиро-вать). С целью решения этих задач на основе теоретикопознават. установок Э. была создана дескриптивная теория множеств (функций), развитии которой в 20— 30-х гг. существенно связано с работами математиков моск, математич. школы, руководимой Н. И. Лузиным.

        Гейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики, М.— Л., 1936, § 2; Гливенко В. И., Кризис основ математики на совр. этапе его развития, в кн.: Сб. статей по философии математики, М., 1936; Лузин H. H., Собр. соч., т. 2, М., 1958; Новиков II. С., Избр. тр., М., 1979, с. 96— 116; Вorel E., Lecons sur la theorie des functions, P., 19283.

направление в филос. основаниях математики, выступающее за пересмотр осн. классич. теоретико- множественных понятий и принципов с т. зр. возможностей их эффективной (конструктивной) определимости (осуществимости). Э. известен с 1904. Его осн. представители: Э. Борель, Р. Бэр, А. Лебег, H. H. Лузин и др. Вот что писал о предпосылках, приведших к появлению Э., сов. математик Н. Лузин: "Современное состояние математического анализа убедительно доказывает, насколько важно установить точное разграничение между математическими сущностями, которые рассматриваются как с у щ е с т в у ю щ и е , и д р у г и м и, реальность которых лишь кажущаяся. С одной стороны, логическое направление в современной теории множеств есть источник неисчислимого количества математических сущностей, существование которых, в действительности, лишь чисто словесно. С другой стороны, в последние годы, становясь на почву непротиворечивости, по методу Гильберта, пытаются легализировать эти сущности, отождествляя то, что не противоречиво в с е б е, с тем, что имеет неоспоримую реальность. Именно это разграничение и было содержанием знаменитых Пяти писем по теории множест в (см. "Bull. de la Soc. Math. de France", декабрь 1904. – M. H.) Адамара, Бэра, Лебега и Бореля, и на необходимости этого разграничения Э. Борель настаивал с крайней точностью в своих дальнейших трудах" (Собр. соч., т. 2, 1958, с. 23). Т.о., по направленности своей критики Э. предваряет интуиционизм и конструктивное направление, однако, в отличие от них, Э. не отказывается от классич. математики вообще; он ставит своей задачей переосмысление ее "идеалистического" концептуального аппарата на базе "реалистически" (эффективистски) приемлемых принципов. При этом переосмысливаются только те классич. понятия, к-рые имеют, с т. зр. Э., объективный гносеологич. смысл. Если же понятие, изменяясь от математика к математику, имеет чисто субъективный характер, то оно находится "вне математики" и от него приходится отказаться. Напр., объективный гносеологич. смысл понятия трансфинитного числа (о трансфинитных числах см. Теория множеств) определяется матем. фактом существования различных вполне упорядоченных счетных множеств – и только. Никакого постулирования независимого априорного существования трансфинитного при этом не предполагается: "Трансфинитные "числа" не являются настоящими числами. Они не существуют сами по себе. То, что при современном состоянии науки мы называем трансфинитным числом, является только м е т к о й для того, чтобы узнавать и отличать промежуточный шаг неограниченного регулярного процесса, употребляемого для получения решения предложенной математической проблемы" (там же, с. 343). Очевидно, что филос. значение Э., как особой т. зр. на основания математики, определяется его борьбой с т.н. матем. "платонизмом", а именно, с канторовской теорией множеств, к-рая дала повод говорить о зависимости классич. логики и математики от онтологии платонизма. В этой борьбе эффективисты заняли последовательно эмпирическую – и в целом материалистическую (хотя часто в форме традиц. номинализма) – позицию. Распространенная в сов. филос. лит-ре 30–40-х гг. оценка Э. как течения субъективно-идеалистического обязана в лучшем случае неосведомленности. Позиция Э. основана на признании объективной модели матем. понятий, п р е д в а р я ю щ е й матем. мысль, поэтому и логика Э. строится на онтологическом принципе (а не на эпистемологическом, как, напр., интуиционистская логика); она включает, в частности, принцип исключенного третьего. Тот факт, что не существует универсального способа разрешения формулы (D / D), эффективисты объясняют ограниченностью самих способов (конечно же субъективных (!), соответствующих уровню "наших" возможностей – возможностей совр. науч. практики). Заметим, что еще в 1938, характеризуя философию математики А. Лебега, Колмогоров писал: "Положительной стороной этой позиции (позиции Лебега, как, впрочем, и всего Э. – М. Н.) является признание Лебегом материалистического положения о неразрывности теории и практики, познания и деятельности. Положение это принимается Лебегом как в его историческом аспекте (все развитие математики определяется предъявляемыми к ней требованиями практики), так и в логическом аспекте (математические предложения являются концентратом нашего опыта, относящегося к действительному миру, руководящим нашей дальнейшей практической деятельностью, а не относятся к особому миру идеальных математических сущностей или не являются продуктом свободного творчества нашего духа)" (Предисловие к кн.: Лебег Α., Об измерении величин, М., 1960, с. 13). Признавая важность и оригинальность формальной программы Д. Гильберта (см. формализм), Э. главным все же считает содержат, анализ понятий, полагая, что чисто формальные методы исследования "...не могут никогда быть успешными вследствие грубости и бедности формальных средств" (Лузин Η. Η., Собр. соч., т. 2, с. 562–63) и что, напротив, концепции интуитивного или эксперимен- тального характера, если даже они логически несовершенны, имеют много преимуществ для прогресса науки в смысле своей эвристич. ценности. Рассматривая вопросы существования матем. объектов с т. зр. "натуралистического" принципа – только в свете эффективного построения этих объектов, эффективисты (как и интуиционисты, и представители конструктивного направления) придают весьма малое значение проблеме непротиворечивости: "Я считаю, что не приходится бояться того, что кто-нибудь впоследствии в один прекрасный день откроет, что математика противоречива" (там же, с. 563).

Историч. заслуга Э. заключается не только в отмеченной выше по существу филос. роли – Э. положил начало многим матем. исследованиям, в т.ч. исследованиям в области дескриптивной теории множеств (функций) – принципиально очень важному направлению, позволившему глубже понять основы матем. анализа, соотношение в нем "конструктивного" и "неконструктивного", уточнить методы и возможности (границы методов) теории множеств и прийти к выводам, многие из к-рых (напр., относительно неразрешимости нек-рых ее проблем) были позднее подтверждены уже средствами математической логики. В этой работе особенно велика заслуга московской матем. школы Д. Ф. Егорова – Н. Н. Лузина и их учеников: М. Я. Суслина, П. С. Новикова, А. Н. Колмогорова, П. С. Урысона, П. С. Александрова, Е. А. Селивановского, М. А. Лаврентьева, Л. В. Келдыш, Л. В. Канторовича, А. А. Ляпунова и др.

Лит.: Гливенко В. И., Кризис основ математики на совр. этапе его развития, в кн.: Сб. ст. по философии математики, М., 1936; Новиков П. С. и Келдыш Л. В., От редакторов тома [предисл.], в кн.: Лузин H. H., Собр. соч., т. 2, М., 1958; Борель Э., Вероятность и достоверность, пер. с франц., М., 1961; его же, Quelques remarques sur les principes de la théorie des ensembles, "Math. Annalen", 1905, Bd 60; eго же, Philosophie mathématique et l'infini, "Revue du Mois", 1912, août; его же, L'infini mathématique et la réalité, там же; его же, Lecons sur la théorie des fonctions, P., 1914, note 4; eго же, Les paradoxes de l'infini, P., 1946; его же, Les paradoxes de l'axiome du choix, "Compt. rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences", 1947, t. 224, p. 1537–38; его же, Éléments de la théorie des ensembles, P., 1949; Бурбаки H., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965, с. 338–39; Lebesgue H., Les controverses sur la théorie des ensembles et la question des fondements, "Les Entretiens de Zürich sur les fondements et la methode des sciences mathématiques", 1941, p. 109–22; Sierpinski W., L'axiome du choix et l'hypothèse du continu, там же, р. 125–34; Bouligand G., Les erises de l'unité dans la mathématique, "Revue générale des sciences pures et appliquées", 1942/45, No 11–12; Destouches-Février P., Esquisse d'une mathématique intuitioniste positive, "Compt. rendus hebdomadaires des séances de l'Academie des sciences", 1947, t. 225, No 25; Heyting A., Les fondements des mathématiques. Intuitionnisme. Théorie de la démonstration, P., 1955.

    ЭФФЕКТИВИЗМ, полуинтуиционизм— направление в философских основаниях математики, сложившееся в начале 20 в. во французской школе теории функций и множеств (Э. Борель, А, Лебег, Р. Бэр и др.) как реакция на крайнюю абстрактность канторовской множеств теории, претендовавшей на исчерпывающее обоснование математического анализа (теории пределов) да и всей математики. Это обоснование “хотя и дало интересные и очень творческие результаты, но не привело к уверенности в строгости, т. к. сама общая теория множеств, развиваемая чисто логически, вошла в столкновение с парадоксами, остановившими ее бурное развитие” {Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 3. М., 1959, с. 312). Т. о., философские установки эффективизма определялись его оппозицией к основным (подозрительным) абстракциям канторовской теории — актуальной бесконечности, произвольного выбора, трансфинитной индукции. Не отрекаясь от теоретико-множественных методов мышления вообще, эффективисты попытались переосмыслить эти абстракции на основе принципов, близких к позиции эмпиризма. В частности, они считали реальными только такие абстрактные объекты математики, которые прошли проверку на их конечную определимость (выразимость) и индивидуацию. В этом смысле вещественный континуум не был строго определенным понятием, не говоря уже о континуумах более высокого порядка (напр., всех вещественных функций). Поэтому эффективисты в качестве реальных множеств признавали только счетные (как доступные опыту), а все другие (трансфинитные) рассматривали (еще до гильбертовского формализма) как идеальные объекты, возможно полезные (в качестве символов) для классификации математических реалий, но лишенные эмпирического содержания. В итоге главной философской заслугой эффективизма является конструктивное осмысление континуума без ясной идеи самих конструктивных методов. По существу эффективизм и положил начало осознанию важности этих методов в математике. Он первый (при отсутствии точного понятия алгоритма) ввел понятие вычислимых точек континуума и отделил “счетность” множества от его “перечислимости” (Борель). Правда, оценивая рассуждения о трансфинитном только как faзon de parler, связанные с некритическим использованием абстракции актуальной бесконечности, эффективизм (в отличие от интуиционизма и конструктивного направления) недооценил роль логики в признании допустимости тех или иных рассуждений. Встав на путь построения “конструктивной теории множеств”, он не отказался от классической логики, полагая, что существование многих логик было бы для математики “печальной роскошью” (Лузин). Тем не менее именно философские установки эффективизма позднее иници- Лит.: ГейтичгА. Обзор исследований по основаниям математики.

    ировали многие исследования в области логики и металогики М.—Л., 1936, § 2; Гливенко В. И. Кризис основ математики на совре- (А. Тарский, Т. Скулим, П. С. Новиков). Усилиями эффективистски мыслящих математиков была создана и дескриптивная теория множеств (функций), развитие которой в 20-30 гг. связано

    менном этапе его развития- В кн.: Сб. статей по философии математики. М„ тб; Лузин Н. Н. Собр. соч.,т. 2. M., 1958; Медведев Φ. Α. французская школа теории функций "MHњKecTB на РУ6^019- прежде всего с работами участников Московской математической школы, руководимой H. H. Лузиным. 20ВВ• м••1976; BwelE Leçons sur la théorie des fonctions. P., 1928.

    M. M. Новосёлов

    Ю—У (кит., наличие/бытие — отсутствие/небытие) — антонимичная пара основополагающих категорий китайской философии, функционально аналогичная европейской оппозиции “бытие — небытие”, но включающая в себя более узкие понятия — наличного и неналичного бытия. Этимологические значения “ю” — “правая рука, держащая мясо”, “у” — “танцор с перьями в руках”, лексические — соответственно “иметь” и “не иметь” (относятся к сфере обладания, а не бытия). Ю — совокупность всех имеющихся в мире предметов и явлений, включая человеческие дела (ши). Поэтому ю может квантифицироваться как “десять тысяч наличии” (вань ю), чтосинонимично “десяти тысячам вещей” (вань у) как всеохватному множеству. Термину “ю” присущ ценностный смысл — “имущество, достояние, богатство, собственность, ценность” (ср. франц. avoir), отражающий аксиологичность и прагматичность китайской философии, доходящую до самого высокого онтологического уровня. У—не имеющая конкретных вещественных форм подоснова мироздания, сходная с платоновско-аристотелевской первоматерией. В качестве философских категорий ю и у впервые появились в “Дм дэ цзине”, где, однако, их взаимосвязь представлена противоречиво: “Десять тысяч вещей Поднебесной рождаются из имеющегося (ю), имеющееся рождается из отсутствующего (у)”; “имеющееся и отсутствующее рождают друг друга”. В “Чжуан-цзы” (гл. 2) с помощью итерации этих терминов произведено различение уровней реальности: “Имеется имеющееся (ю ю). Имеется отсутствующее (ю у). Имеется еще не начавшее иметь отсутствие. Имеется еще не начавшее иметься в качестве еще не начавшего иметь отсутствие”. Использование китайскими философами таких сочетаний, как “наличие наличия” (ю ю), “наличие отсутствия” (ю у), “отсутствие наличия” (у ю) и “отсутствие отсутствия” (у у), свидетельствует о том, чтопонятия “ю” и “у” не находятся друг с другом в отношении противоречия, подобно “бытию” и “небытию”. Видимо, в связи с проникновением в Китай буддизма соотношение ю — у стало центральной проблемой философии сюань сюэ. В его рамках Ван Би объявлял у “корнем” (бэнь) и “сущностью” (ти) всего сущего, отождествляя т. о. с дао, а Пэй Вэй (3 в.) в сочинении “Чун ю лунь” (“О почитании наличия/бытия”) опровергал данную точку зрения, доказывая, что ю — это самородная сущность, по отношению к которой у выступает лишь как отсутствие или недостача. Последнюю трактовку поддерживал Го Сян, который отрицал возможность “рождения имеющегося из отсутствующего”, впервые осознав, что это может быть понято как однократный акт, т. е. “творение из ничего”. В китайском буддизме категория “ю” была использована для определения чувственной реальности, противоположной “пустоте” — шунье (кун).

    Лит.: КобзевА. И. Учение о символах и числах в китайской классической литературе. М., 1994, с. 214—27; Сыма Вэнь. Ю юй у (“Наличие/бытие” и “отсутствие/небытие”).— “Чжунго чжэсюэ ши яньцзю”, 1981, № 4; Гао Чжэньнун. Кун юй ю (“Пустота” — шунья и “наличие/бытие”).— Там же, 1984, № 4; Гэн Жунцзинь. Чжунго чжэсюэ фаньчоу ши (История категорий китайской философии). Харбин, 1987, с. 99—129; Graham А. С. “Being” in\\estern Philosophy Compared with Shih/Fei and Yu/Wu in Chinese Philosophy— “Asia Major”, 1959, ν. 7, Ν 1-2.

    А. И. Кобзев