Akademik

теория, в к-рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич. теорий; в терминах Т. м. были определены важнейшие понятия классич. математики: отношение, функция и др. (см. Математическая бесконечность); однако содержание Т. м. вскоре переросло первоначальные рамки, и она разделилась на несколько относительно самостоят. теорий, постепенно оформившихся в новые математич. дисциплины.

Самым "элементарным" разделом Т. м. является алгебра множеств, т.е. теория операций над абстрактными множествами, являющаяся, по существу, переформулировкой алгебры логики. Естеств. развитием "абстрактной" Т. м. (изучающей множества, элементы к-рых не индивидуализируются, не фиксируются) явилась теория "бесконечных чисел": кардинальных чисел - мощностей множеств и ординальных (порядковых) чисел. Мощность множества - это его количественная (см. Количество в математике) характеристика: мощность конечного множества есть число его элементов, мощность же бесконечного множества определялась Кантором как "то общее, что присуще всем эквивалентным ему множествам" (эквивалентными наз. множества, между элементами к-рых можно установить взаимно-однозначное соответствие). (В более совр. трактовке, уточняющей канторовскую, мощности вводятся - при помощи принципа абстракции - просто как классы эквивалентных множеств.) Минимальной бесконечной мощностью является мощность натурального ряда чисел; это наименьшее трансфинитное кардинальное число, обозначаемое, по Кантору, символом א0. Множества, эквивалентные натуральному ряду, наз. счетными, или перечислимыми (т.к. их элементы можно "пересчитать", "перенумеровать" числами натурального ряда). Кантор показал, что мощность всех отображений произвольного множества на себя (мощность множества всех его подмножеств, т.е. множеств, состоящих из нек-рых его элементов) больше мощности исходного множества, из чего следует неограниченность "шкалы мощностей" א0 א1 , א2. Множество всех подмножеств минимального бесконечного множества - натурального ряда -эквивалентно множеству всех действительных чисел; мощность последнего наз. мощностью континуума и обозначается с. Поставив вопрос о месте этой мощности в "последовательности алефов" א0 א1 , א2,… (т. и. континуум-проблема), Кантор высказал гипотезу, что c=אl (т.н. континуум-гипотеза).

Для характеристики подобных упорядоч. множеств (т.е. множеств, на к-рых введено порядка отношение, относительно к-рого они изоморфны - см. Изоморфизм) вводят т.н. порядковые типы. Называя порядковые типы вполне упорядоченных множеств (т.е. упорядоч. множеств, каждое непустое подмножество к-рых имеет первый элемент) порядковыми числами, получают еще одну "числовую систему" - систему порядковых (ординальных) чисел: за натуральными числами 1, 2, 3..., п, ... непосредственно следует первое трансφинитное порядковое число ω, затем ω+1, ω+2, ...; вообще, не только за каждым порядковым числом α непосредственно следует число а+1, но и за каждой последовательностью порядковых чисел, не имеющей последнего элемента, следует т.н. предельное порядковое число - "предел" этой последовательности. Комбинация двух порождающих принципов - перехода к непосредственно следующему порядковому числу и "перехода к пределу" - дает возможность получать все новые и новые порядковые числа, имеющие вид "многочленов" от ω, а затем и сколь угодно длинные итерации "степеней" вида ω^ωω… - но не только их: согласно второму из упомянутых порождающих принципов, за каждой возрастающей последовательностью порядковых чисел следует порядковое число, превосходящее все члены этой последовательности, т.е. шкала "ординалов" (еще один синоним для термина "порядковое число" - по аналогии с мощностями - "кардиналами") неограничена (причем каждое порядковое число α является индексом нек-рого кардинального числа אα). Между кардинальными и ординальными числами есть простая связь: кардинальные числа - это "наименьшие" ординальные числа, т.е. ординальные числа, не эквивалентные (в определенном выше для множеств смысле) никаким меньшим их ординальным числам; ординальные же числа, следуя Дж. Нейману, в настоящее время чаще всего определяют как члены последовательности, начинающейся с числа 0 (отождествляемого с пустым множеством), каждый член к-рой есть класс (множество) всех предшествующих членов этой последовательности. Индуктивный процесс порождения порядковых чисел (см. разд. Рекурсивные и индуктивные определения в ст. Определение) позволяет ввести т.н. трансфинитную индукцию – способ определения и доказательства свойств объектов, принадлежащих произвольным вполне упорядоч. множествам и занумерованным трансфинитными порядковыми числами. Трансфинитная индукция, являющаяся непосредств. обобщением метода обычной математической индукции, имеет разнообразные применения во мн. разделах математики (особенно в алгебре, топологии, функциональном анализе): это один из примеров того, как далеко развитая ветвь "общей" Т. м. – теория кардинальных и ординальных чисел – играет роль не только "логической базы" математики, но и является "рабочим инструментом" получения новых математических фактов.

Еще одним важным разделом Т. м. является теория т о ч е ч н ы х (пространственных, плоских, линейных) множеств, т.е. "тех самых" множеств, к-рые изучаются в математич. анализе. Эта теория входит в качестве "первой главы" во мн. разделы "высшего анализа", в частности в д е с к р и п т и в н у ю Т.м., изучающую структуру и свойства различных классов множеств, получаемых, исходя из точечных множеств сравнительно простой структуры (отрезки, интервалы, их объединения и пересечения), с помощью тех или иных операций. В дескриптивной Т. м., являющейся "общей теорией континуума" и развивавшейся гл. обр. трудами представителей Московской математич. школы Д. Ф. Егорова – Η. Η. Лузина и Парижской школы Р. Бэра, Э. Бореля и А. Лебега (см. Эффективизм), возникло особенно много таких проблем, к-рые, как и проблема континуума, дали основание Лузину высказать предположение об их принципиальной неразрешимости средствами канторовской Т. м. (т.е. в известном смысле о неполноте последней). Непротиворечивость ряда предложений дескриптивной Т. м., установленная позднее К. Гёделем, П. С. Новиковым, А. Мостовским, Дж. Аддисоном и др., и означает (вместе, конечно, с тривиальной непротиворечивостью отрицаний этих предложений) неразрешимость соответств. проблем. Дескриптивная Т. м. играла, т.о., важную роль в формировании идей и методов математической логики; в дальнейшем обнаружилось глубокое родство между осн. ее понятиями и результатами и их аналогами в теории рекурсивных функций и предикатов (точнее, первые сыграли роль прообразов для вторых; см. Предикатов классификации).

К началу 20 в. (а в глазах подавляющего большинства математиков, далеких от проблем обоснования, – и по наст. время; такова, напр., позиция Н. Бурбаки) Т. м. не только стала играть роль фундамента математич. теорий, но и проникать своими далеко идущими следствиями в их "верхние этажи". Единственная, по существу, ветвь "чистой" математики, не зависящая от принятия теоретико-множеств. взгляда – арифметика натуральных чисел, и та, по замыслу Фреге – Рассела (см. Логицизм), "погружалась в логику" в качестве части Т. м., а именно, теории конечных кардинальных чисел, с к-рыми (в отличие от аксиоматич. подхода Р. Дедекинда, Г. Грасмана и Дж. Пеано, уточняющего представление о конечном порядковом числе) и отождествлялись натуральные числа. Но именно в этом пункте Т. м. ожидало серьезное потрясение: в ней (исторически – в работе Фреге, посвященной основным законам арифметики) были обнаружены парадоксы (антиномии, противоречия, нек-рые из к-рых, как выяснилось позднее, были известны еще самому Кантору). Парадоксы Т. м. при всем различии их формулировок имели своей общей причиной неограниченное применение т.н. принципа свертывания (см. Принцип абстракции), согласно к-рому введение в рассмотрение множеств, охарактеризованных любым общим "свойством" их элементов (произвольным предикатом), есть вполне законная "мыслительная операция" Т. м. с неогранич. принципом свертывания (к-рый при неформализованном изложении к тому же, как правило, явно и не формулируется) принято называть "наивной" Т. м.

Противоречивость наивной Т. м. преодолевается в первую очередь при помощи различных формулировок аксиоматической Т. м. (см. Метод аксиоматический). В одной из первых (1908) систем аксиоматич. Т. м. – системе Цермело – Френкеля, обозначаемой обычно ZF, формулы к-рой получаются из т.н. "элементарных формул" вида χ∈y (читается: "х принадлежит у") средствами обычного предикатов исчисления, принцип свертывания заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой существования множества-пары {х, у} для любых (данных) множеств x и у; аксиомой существования объединения (суммы) всех элементов произвольного множества x в новое множество S(x), элементами к-рого будут все элементы элементов х; аксиомой существования множества Р(х) всех подмножеств произвольного множества х; аксиомой существования бесконечного множества и схемами аксиом: схемой выделения, согласно к-рой для всякого множества x и свойства φ, определенного в этом множестве, существует множество элементов x, обладающих свойством φ, и схемой подстановки, утверждающей, что для любого взаимнооднозначного отображения элементов произвольного данного множества х, описываемого на языке системы ZF, существует множество таких z, на к-рые отображаются эти элементы х. Не подпадает под схему принципа свертывания т.н. аксиома выбора (о существовании "множества представителей", т.е. множества, содержащего в точности по одному элементу из каждого из данных непустых попарно непересекающихся множеств). Как и во всякой др. системе аксиоматич. Т. м., в ZF постулируется также аксиома объемности (экстенсиональности), согласно к-рой множества, состоящие из одних и тех же элементов, совпадают (см. Объемности принцип). Иногда к ZF присоединяют и нек-рые др. аксиомы более спец. назначения, напр. т.н. аксиому фундирования (или регулярности), исключающую, в частности, возможность возникновения "патологических" множеств, для к-рых было бы x∈x, x∈y&y∈x и т.п., или аксиомы, постулирующие, наоборот, существование нек-рых спец. объектов, напр. т.н. недостижимых (хотя бы с помощью описанной выше конструкции) кардинальных и(ли) порядковых чисел. Последнее предполагает построение средствами ZF теории мощности и порядка, что легко осуществимо, так же как и построение этими средствами, по существу, всей классич. математики. Позднее были предложены многочисл. видоизменения ZF (А. Мостовский, Т. Сколем и др.) и системы, отличающиеся от ZF тем, что "плохие" (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе исключаются из рассмотрения (что в нек-ром роде не вполне естественно), а признаются "собственно классами", т.е. множествами, не могущими принадлежать в качестве элемента др. множествам (эта идея, идущая от Дж. Неймана, была развита П. Бернайсом, К. Гёделем и др.).

Системы эти, в отличие от ZF, могут быть заданы посредством конечного числа аксиом. Др. подход к преодолению парадоксов реализован в теории типов Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда и ее модификациях, в к-рых ограничения накладываются не на аксиомы свертывания, а на критерии "осмысленности" (законности, допустимости) фигурирующих в них "условий" (свойств), а также в системах, подобных NF Куайна, сочетающих оба упомянутых подхода (см. Типов теории).

Для различных систем аксиоматич. Т. м. и отдельных их аксиом существенным является вопрос об их (относительной) непротиворечивости. В 1940 К. Гёдель доказал относительную непротиворечивость аксиомы выбора (вызывавшей ранее ввиду своего неконструктивного, чисто экзистенциального характера, мн. сомнений и споров) и континуум-гипотезы для описанной им системы Σ (а тем самым и для ZF); в дальнейшем этот результат был перенесен на теорию типов (самую слабую из перечисленных систем), а затем и на NF (для ослабл. формы аксиомы выбора, поскольку, как показал в 1959 Э. Шпеккер, обычная ее форма в NF опровержима). В 1963 амер. математик П. Дж. Коэн доказал совместимость с ZF отрицаний континуум-гипотезы и аксиомы выбора (а тем самым и независимость этих предложений; вскоре близкие результаты были получены также чешскими логиками П. Вопенкой и К. Буковским). Установленная таким образом неразрешимость столь "естественно поставленных" проблем лишний раз подчеркнула зыбкость платонистских представлений об "объективности" описываемых ими "обстояний". Одним из серьезных источников установленных фактов является "парадокс Сколема", говорящий об относительности понятия мощности; этот парадокс вытекает из теоремы Лёвенхейма – Сколема о наличии моделей произвольной мощности у непротиворечивых систем, в силу к-рой понятие категоричности системы аксиом для сколь-либо богатых систем оказывается беспредметным.

Ни в одной из описанных систем Т. м. не возникают известные парадоксы. Однако проблема абсолютной их непротиворечивости, ввиду теоремы Гёделя о неполноте (см. Метатеория), казалась до последнего времени безнадежной. Только привлечение средств ультраинтуиционистской программы (см. A. S. Esénine-Volpine, Le programme ultra-intuitioniste des fondements des mathématiques, Infinitistic methods, Warsaw, 1961) позволило доказать непротиворечивость ZF (и теории типов). Но для NF эта проблема не решена до сих пор. Следует, наконец, отметить, что для представителей интуиционизма и конструктивизма (см. Конструктивное направление в логике и математике) проблема обоснования Т. м. в описанном выше смысле вообще не встает: классическая Т. м. неприемлема для них независимо от того, насколько она уязвима парадоксами, в силу основанного на абстракции актуальной бесконечности неконструктивного, неэффективного характера ее экзистенциальных утверждений. Для конструктивистских же версий Т. м. (или, как, следуя Брауэру и Гейтингу, ее называют, теории видов) принцип свертывания, взятый "во всей его силе", оказывается тривиальностью: интуиционисты попросту отождествляют "множества" и "свойства", что не порождает, однако, никаких новых проблем, ибо их "свойства", по определению, эффективно проверяемы.

Лит.: Френкель А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (библ.); Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; Εсенин-Вольпин А. С. К обоснованию теории множеств, в сб.: Логические исследования, М., 1959; Гейтинг Α., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Quinе W. О. V., Set theory and its logic, Ν. Υ., 1963.