Akademik

        логика, в которой приемлемыми считаются рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А — ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания. П. л. можно назвать, т. о., логикой без отрицания.

        Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в П. л., описываются и каталогизируются в соответствующих логич. исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единств. логич. операцией — импликацией и полное положит. исчисление

        высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией. Причём смысл этих операций детерминируется собств. постулатами П. л. Более сильные логич. исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода.Так, присоединение к импликативной П. л. правила reductio ad absurdum (сведения к абсурду) даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положит. исчислению высказываний — минимальную логику Йохансона (1936). Присоединяя к последней аксиому ex falso sequitur quod libet (противоречие влечёт произвольное утверждение) и аксиому tertium non datur (исключённого третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классич. логику высказываний.

        Т. о., все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классич. логике. Но смысл логич.. операций, входящих в законы П. л. как подсистемы др. логик, заимствуется из этих более сильных логик, т. е. по существу уже не является «положительным».

        Чёpч А., Введение в математич. логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Pасёва Е., Сикоpский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 11, § 2—6.

логика без отрицания; точнее – логическое исчисление, в языке к-рого отсутствует операция отрицания (и вообще нет средств для выражения логич. отрицания в любой его форме), так что в содержат. дедуктивной логике, являющейся моделью такого исчисления, разрешается "принимать" утверждения (по соответств. правилам исчисления), но не разрешается (правилами этого исчисления) к.-л. утверждение "опровергнуть". (Подразумевается, что "опровергнуть" утверждение А равносильно тому, что "принять" утверждение А, где – знак отрицания.)

Тем не менее часто считается, что если в числе осн. логич. связок к.-л. исчисления имеется и м п л и к а ц и я, "акт" отрицания в нем заведомо выразим в своего рода "положительной" форме, а именно в форме определения: 1.1) A = df A⊃f, где f – к.-л. ложное предложение. Но если при этом исходить из распространенного мнения, что истолкование предложения как ложного невозможно без использования отрицания (сказать "А – ложно" есть лишь др. способ утверждать "не-А"), то кажется, что в истолковании f фактически еще до определения предполагается идея (акт) отрицания, вводимого посредством 1.1), т.е. имеется очевидное petitio principii. [Сказанное не относится, конечно, к характерному для минимальной логики (в той ее формулировке, согласно к-рой используется только 1.1) в дополнение к аксиоматике П. л.) случаю истолкования f как пропозициональной константы (или, по И. Иоганссону (Йохансону), как переменной без права подстановки вместо нее).]

Вариант положит. исчисления может быть описан в терминах узкого предикатов исчисления, напр. с помощью след. схем аксиом: правила modus ponens и правил для кванторов полагая, что α обозначает связанную переменную, а β – отличную от α свободную переменную, к-рая для правил 1.12) и 1.13) не содержится ни в А (α), ни в С.

Кроме положит. исчислений, в формулировку аксиом (схем аксиом) и (или) правил вывода к-рых входят конъюнкция, дизъюнкция, импликация (и, возможно, э к в и в а л е н ц и я), рассматривают т.н. импликативные положительные исчисления с единственной логической операцией – импликацией. Импликативная П. л. высказываний может иметь, напр., только две аксиомы: 2.1) А⊃(В⊃А) и 2.2) А⊃(В⊃С)) ⊃ ((А⊃В) ⊃ (А⊃С)) (т.н. аксиомы Лукасевича); или два правила вывода (и никаких аксиом): правило введения импликации (аналог теоремы о дедукции) и правило modus ponens, к-рые образуют импликативное положительное натуральное исчисление высказываний, эквивалентное исчислению, основанному на аксиомах Лукасевича (этот результат получен польским логиком С. Яськовским в 1934).

Присоединение к импликативной П. л. высказываний аксиомы (А⊃В) ⊃ ((А⊃В) ⊃ А), или соответствующего ей правила reductio ad absurdum, дает минимальную логику Колмогорова, а аналогичное добавление к аксиомам 1.2) – 1.10) – минимальную логику Иоганссона. [Различие обеих логик существенно, поскольку в интуиционистских исчислениях связки & и / не определяются (см. Определимость) в терминах ⊃ и ].

Очевидно, что утверждения, содержащие отрицание, неформализуемы и недоказуемы в П. л. Напротив, все утверждения П. л. имеют силу в интуиционистской и классич. логике. Поэтому положит. исчисления обычно рассматривают как "частичные системы" (как подсистемы) более сильных логич. исчислений, получающихся из исчислений П. л. путем последоват. добавления соответств. аксиом (см. об этом в ст. Отрицание).

Иногда рассматривают и др. (частичные) системы. Напр., исчисление, соответствующее логике, основанной на единств. логич. операции – с р а в н е н и и (эквивалентности), может состоять всего из одной аксиомы: ((A≡B)≡((B≡C)≡(A≡C))) и обладает следующей особенностью: каждая формула этого исчисления, имеющая четное число вхождений каждой ее переменной, является теоремой. Указанное исчисление является "частичным" по отношению к классической (но не интуиционистской!) логике.

П. Бернайс исследовал систему натурального вывода с двумя логич. операциями: ⊃ и &, в к-рой предполагается своего рода иерархия смыслов понятия предложения, а именно А⊃В есть предложение в др. смысле, чем его составляющие А и В. Возможна двойственная система с ⊃ и /, a также система только с & и /, в к-рой, как показал X. Кёрри, определима импликация, если предполагать дистрибутивность & и /.

Идея П. л., принципиально отличной от рассмотренных выше частичных систем, принадлежит голл. математику Г. Ф. К. Гриссу, предложившему программу интуиционистской математики без отрицания (1944). Вообще говоря, уже интуиционистскую логику можно было бы назвать положительной, правда не в том смысле, что она не использует отрицания, а в том, что она стремится придать понятию отрицания положит. смысл на основе т.н. п р и н ц и п а п о з и т и в н о с т и (А. Гейтинг): каждое матем. или логич. предложение должно быть результатом построения (конструкции). В соответствии с этим принято считать, что отрицат. предложения (предложения о несуществовании) в интуиционистской математике вводятся только путем построения противоречия, используя правило доказательства от противного (reductio ad absurdum), т.е. в общем случае А будет интерпретироваться след. образом: допустив А, мы вывели противоречие. Но именно против reductio ad absurdum как правила, не соответствующего "позитивной" программе Бpayэра, и направлена критика Грисса. Это несоответствие состоит, по его мнению, в том, что reductio ad absurdum требует введения не реализуемых (не осуществимых) допущений. Напр., допустив х = 2 для дробных значений х, мы, конечно, приходим к противоречию, ибо для каждого такого х первый член уравнения отличен от второго (пример Грисса). Но полагать осуществление (считать осуществленными) построения и доказательства и выводить отсюда противоречие – это в общем случае, по мнению Грисса, не согласуется ни с очевидностью, ни с конструктивной интуицией, на основе к-рой строятся матем. объекты. В строгом смысле, допущения тоже должны быть "позитивными", и их можно разрешать только в тех случаях, когда установлено существование объектов (матем. сущностей), удовлетворяющих этим допущениям. Соответственно имеют смысл только такие системы аксиом, для к-рых заведомо установлено существование модели (интерпретации). Отказ от reductio ad absurdum ведет к отказу от всех рассуждений посредством отрицания (ибо, строго говоря, это единств. правило "введения" отрицания в интуиционистской логике). Вместо отрицания, – в качестве основного (наряду с т о ж д е с т в о м) понятия "интуиционизма без отрицания", – Грисс вводит понятие различия. По существу это введение обусловлено двумя фундаментальными актами нашей мыслительной деятельности: отождествлением и различением объектов; актами, к-рые протекают всецело на интуитивном уровне (в плане т.н. наличного бытия, "обстояния") или в конечном счете сводятся к таковому. Поэтому даже истолковывая термин "различный" как "нетождественный", мы не вводим отрицание в собств. смысле слова, как это имеет место в случае принятия неосуществимых допущений.

В этой связи и термину "противоречие" можно придать очень узкий смысл, понимая под этим, напр., возможность вывести 1=2 (т.е. утверждение о тождестве заведомо различных объектов) в конечное (практически осуществимое) число шагов. Для констатации указанного противоречия не требуется понятия отрицания, но если бы мы захотели его определить как A=dfA⊃1=2, не принимая больше никаких аксиом и правил для отрицания (II. Феврие), знак получил бы вполне "положительный" (в духе интуиционизма) смысл (такое отрицание можно было бы назвать м и н и м а л ь и ы м). Однако с т. зр. Грисса, гл. вопрос: р е а л и з у е м о или н е р е а л и з у е м о А (в смысле приведенного выше примера), и поэтому указанное определение только по видимости осмысленно [что, кажется, ограждает позицию Грисса от той критики, к-рая содержится (со ссылкой на П. Гилмора) в кн.: А. Френкель, И. Бар-Хиллел, Основания теории множеств, М., 1966, гл. 4, § 4].

Отказ от отрицания в свою очередь влечет ряд следствий для интуиционистской теории множеств ("видов"). В частности, Грисс отказывается от "пустых" (см. Пустое) множеств. Соответственно теоретико-множеств. произведение определяется только для таких множеств, к-рые имеют хотя бы один общий элемент. Истолкование логич. операций в П. л. Грисса определяется смыслом соответств. теоретико-множеств. операций, поскольку первые для него являются производными от вторых.

Лит.: Черч Α., Введение в матем. логику, пер. с англ., т.1, M., 1960, § 26; Гейтинг Α., Интуиционизм, пер. с англ., M., 1965, с. 149–51; Griss G. F. G., Negatieloze intuitionistische wiskunde, "Verslagen Ned. Akad. Wetenschappen", 1944, v. 53, No 5, p. 261–68; его же, La mathématique intuitioniste sans négation, "Nieuw arch. wiskunde", 1955, No 3; Destouches-Février P., Esquisse d'une mathématique intuitioniste positive, "Compt. rendus des séances de l'Acad. des sciences", 1947, t. 225, No 25; Rasiowa H. and Sikorski R., The mathematics of metamathematics, Warsz., 1963, p. 460–88.