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Lie-Algebra

 

[nach M. S. Lie], liesche Algebra, ein hyperkomplexes System (Algebra) L_R, für das die Multiplikation nicht assoziativ ist. Stattdessen sollen folgende Gesetzmäßigkeiten gelten (das Produkt von a und b aus L_R werde mit [a, b] bezeichnet):

 

1) Für alle a, b ∈ L_R gilt [a, b] = — [b, a].

 

2) Jacobi-Identität:

 

Beispiel: Definiert man im Ring der zweireihigen quadratischen Matrizen M₍₂₎ (ℝ) über den reellen Zahlen, in dem die Matrizenmultiplikation mit a · b bezeichnet sei, das Produkt [a, b] als a · b — b · a, so wird M₍₂₎ (ℝ) mit dieser Multiplikation eine Lie-Algebra, die besonders im Zusammenhang mit Lie-Gruppen wichtig ist.

 

Literatur:

 

V. S. Varadarajan: Lie groups. Lie algebras, and their representations (Neuausg. New York 1984);

 D. H. Sattinger u. O. L. Weaver: Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics (New York ²1993).