Akademik

- резонансное поглощение эл.-магн. энергии электронными проводниками (полупроводниками, металлами), помещёнными в пост. магн. поле, на частотах, равных или кратных циклотронной частоте носителей заряда (электронов и дырок). Ц. р. (по старой терминологии-диамагнитный резонанс) предсказан Я. Г. Дорфманом в 1951 и P. Б. Динглем в 1952, экспериментально обнаружен Ч. Киттелем (Ch. Kittel) с сотрудниками в 1953.

Явление Ц. р. может быть объяснено на основе законов классич. физики. Носители заряда в пост. магн. поле H. движутся по спирали с осью вдоль H. В плоскости, перпендикулярной H, движение является периодическим с циклотронной частотой:

где е- заряд, т _с - эфф. величина, наз. циклотронной массой носителей заряда. Очевидно, с той же частотой w_c, поворачивается вектор скорости частицы u. Если при этом частица находится в периодич. электрич. поле E(t )с частотой w. то энергия, поглощаемая ею в единицу времени, равная eEu, также оказывается периодич. ф-цией времени с разностной угл. частотой (w_c - w). С той же частотой (w _с - w) меняются радиус спирали и кинетич. энергия носителя. При w = w _с. носитель движется по раскручивающейся спирали и поглощаемая мощность возрастает. Рассеяние носителей заряда в твёрдом теле ограничивает это возрастание: при w = w _с поглощаемая мощность имеет максимум, если рассеяние является достаточно слабым. Последнее условие сводится к требованию, чтобы носитель успевал сделать много оборотов по спирали за время т релаксации импульса носителя (время между двумя актами рассеяния). Это приводит к условию наблюдения Ц. р.:

Описанная картина Ц. р. пригодна для достаточно слабого магн. поля H, в к-ром можно пренебречь квантованием кинетич. энергии поперечного (относительно H )движения носителей (см. Ландау уровни). Квантование отсутствует, если

где T- абс. темп-pa. Ц. р. в таких полях наз. классическим.

В противоположном случае (), в т. н. квантующем магн. поле (см. Гальваномагнитные явления), адекватным является описание Ц. р. на квантовом языке. В полях H, для к-рых , носители заряда находятся на нулевом уровне Ландау (в случае невырожденных носителей). Под действием электрич. поля эл.-магн. волны E(t )носители переходят с нулевого уровня Ландау на первый,

что приводит к поглощению эл.-магн. энергии, к-рое имеет максимум на частоте, при к-рой энергия кванта излучения равна расстоянию между соседними уровнями Ландау: . Максимум отчётливо выражен, если уширение уровней Ландау, обусловленное временем релаксации т, мало по сравнению с расстоянием между ними: (см. ниже).

Циклотронный резонанс в полупроводниках

Ц. р.- важный метод исследования полупроводников. Он даёт возможность определить закон дисперсии (энергетич. спектр) носителей заряда ( р) ( р - квазиимпульс носителей), знак заряда носителей, эфф. массу, концентрацию, времена жизни; позволяет изучить механизм рассеяния носителей заряда, разогрев носителей переменным полем и др. (см. ниже). Преимуществом Ц. р. по сравнению с др. методами является его избирательность - возможность подбором частоты выделить определ. группу носителей в полупроводнике.

Ц. р. в полупроводниках наблюдается на частотах 10¹⁰-10¹² Гц в полях 1 -100 кЭ. T. к. концентрация носителей заряда мала (обычно не превосходит 10¹⁴- 10¹⁵ см ^-3 ), то эл.-магн. волны проникают в образец на большую глубину, значительно превосходящую диаметры орбит электронов (порядка мкм). T. о., носители движутся в однородном электрич. поле, и Ц. р., как правило, наблюдается только при w = w _с

Определение эффективной массы носителей. В простейшем случае изотропного квадратичного закона дисперсии носителей изоэнергетич. поверхность (p) = -сфера (см. Зонная теория). Определение частоты w _с позволяет найти скалярную эффективную массу носителей т, к-рая совпадает с циклотронной массой т _с. В случае более сложных законов дисперсии эфф. масса отличается от циклотронной массы. Для эллипсоидальных изоэнергетич. поверхностей т _с зависит только от направления H, что позволяет определить гл. значения тензора эфф. масс. Напр., для электронов в Ge (кубич. симметрия) изоэнергетич. поверхность - совокупность 4 сфероидов (двухосных эллипсоидов), оси вращения к-рых направлены вдоль диагоналей куба. т. е. кристаллографич. осей [111]. В этом случае циклотронная частота

где w _| = |е| Н/т _| с;q - угол между полем H. и осью [111]; m_||, m _| -продольная и поперечная эфф. массы. Если H лежит в плоскости (110), то 2 из 4 сфероидов имеют одинаковый угол q, т. е. одинаковые w_c, и при произвольном q для электронов наблюдается 3 пика Ц. р. (рис. 1).

Рис. 1. Циклотронный резонанс в Ge при w_c/2p = 24 ГГц, T=4,2 К; H направлено в плоскости (110) под углом 60⁰ к кри сталлографической оси [110].

Поворачивая кристалл в поле H, можно определить зависимость m _с(q) (рис. 2). Выбрав 2 значения для двух q, можно определить m_|| и m _| .

Для изоэнергетич. поверхностей более сложной формы, чем эллипсоидальная, w _с оказывается зависящей не только от ориентации поля H. но и от проекции р _H квазиимпульса носителей на направление H. В этом случае возникает разброс w_c, и максимум поглощения наблюдается при нек-ром ср. значении ^-w_c. Разброс по величине р _H имеет место для тяжёлых дырок в Ge и Si и электронов в InSb.

Рис. 2. Зависимость циклотронной массы электронов в Ge для магнитного поля H, лежащего в плоскости (110) кристалла, от угла q между H и осью [110], лежащей в той же плоскости (m₀ - масса свободного электрона); T=4,2 K.

Рис. 3. Зависимость циклотронных масс дырок в Ge при T=4,2 К для поля H, лежащего в плоскости (110) кристалла от угла q между H и осью [110].

На рис. 3 показана зависимость т _с(q)для лёгких (скалярная эфф. масса) и тяжёлых дырок в Ge. Для последних изоэнергетич. поверхности имеют сложную форму. Для анизотропного закона дисперсии Ц. р. возможен и при E(t)||H. Для неквадратичного закона дисперсии т _с может
зависеть и от энергии носителя.

В классич. случае т _с не зависит от величины H. В квантующем поле это справедливо только для сферич. или эллипсоидальной изоэнергетич. поверхностей. Для более сложных изоэнергетич. поверхностей спектр Ц. р. усложняется и т _с может оказаться зависящей от H. Для вырожденных энергетич. зон возникает сложный неэквидистантный спектр уровней Ландау, вид к-рого существенно зависит не только от направления H, но и от величины р _H.

Определение знака заряда носителей. В классич. Ц. р. вблизи резонанса |w -w _с|t<=1 мощность P(w), поглощаемая в единице объёма полупроводника в плоскополяризованном поле E(t), равна

Здесь E₀- амплитуда электрич. поля, п( )-концентрация носителей. Ф-ла (5) относится к случаю скалярной эфф. массы. В случае круговой поляризации волны в зависимости от знака заряда носителя интенсивное поглощение испытывает волна с правым или левым направлением вращения. На этом основан метод определения знака заряда носителей.

Форма и ширина линии. В случае классич. Ц. р. полуширина dw_c линии Ц. р., обусловленная рассеянием, зависит от ср. энергии носителей :

При низких темп-pax существенно рассеяние на примесных атомах и акустич. фононах. Связь полуширины линии Ц. р. в единицах магн. поля dH с обратным временем релаксации т ^-1 выражается соотношением

где H_p - значение H, отвечающее точному резонансу. В слабых электрич. полях (при отсутствии вырождения носителей) ср. энергия носителей определяется распределением Больцмана: =(3/2)kT. В области низких T для легированного полупроводника d Н не зависит от темп-ры (рис. 4), что соответствует рассеянию на нейтральных примесях. В области высоких темп-р dHT ^3/2, что отвечает рассеянию на акустич. фононах. Линия классич. Ц. р. в слабых электрич. полях практически всегда имеет лоренцеву форму. Площадь, огибаемая контуром спектральной линии Ц. р., содержит информацию о концентрации носителей и, следовательно, об их времени жизни, если носители не являются равновесными.

В случае сложных неэллипсоидальных изоэнергетич. поверхностей наряду с уширением линии Ц. р. из-за процессов рассеяния (однородное уширение) возникает также т. н. неоднородное уширение. связанное с зависимостью т _с от р _H и и с возникающим из-за этого разбросом w_c (см. выше).

Ширина линии квантового Ц. р. Под действием электрич. поля E(t) | H возникает суперпозиция состояний нулевого и первого уровней Ландау. Это приводит к появлению плотности тока в образце j(t) | H. Процессы затухания (релаксации) этого тока и определяют ширину линии Ц. р. Если эту релаксацию можно описать с помощью нек-рого эфф. времени релаксации, то выражение для поглощаемой мощности (5) сохраняет силу. При этом под энергией следует понимать кинетич. энергию движения носителей вдоль H, а под п() - концентрацию носителей на нулевом уровне Ландау. Время т можно ввести для упругого рассеяния на примесных центрах и для рассеяния на акустич. фононах в двух предельных случаях - квазиупругого рассеяния, если энергия акустич. фонона ( )^1/2<<kT, и неупругого рассеяния в случае >>kT(s- скорость звука). В этом случае т ^-1 представляет собой полусумму обратных времён жизни носителя в состояниях нулевого и первого уровней Ландау. Существ. вклад в ширину линии квантового Ц. р. может давать уширение, связанное с изменением энергетич. спектра носителей вследствие взаимодействия с рассеивателями.

В двумерных системах - инверсионных слоях и квантовых ямах - в полях H. перпендикулярных плоскости слоя, носители вследствие их высокой концентрации вырождены. Вид линии Ц. р. в этих случаях зависит не только от величины уширений, но и от положения уровня Ферми относительно уровней Ландау.

Гармоники Ц. р. В ряде случаев в спектрах Ц. р. помимо резонансного поглощения на осн. частоте w _с наблюдаются также максимумы поглощения на частотах пw _с (п - целое число). В слабых полях ( ) гармоники возникают при сложной (неэллипсоидальной) форме изоэнергетич. поверхностей. В этом случае носители заряда в плоскости, перпендикулярной H, движутся по сложной замкнутой кривой. Скорость электрона u. в этой плоскости не является уже простой гармонич. ф-цией времени t, её разложение в ряд Фурье содержит наряду с частотой w_c кратные частоты пw _с. Соответственно поглощаемая мощность P = euE. имеет на этих частотах максимумы. Гармоники Ц. р. для тяжёлых дырок наблюдались в p-Geи p-Si. При этом набор гармоник зависит от ориентации H относительно кристаллографич. осей.

В квантующем магн. поле и в слабом электрич. поле E(t) | H переходы носителей происходят только между соседними уровнями Ландау. Однако при одновременном воздействии поля E(t )и поля рассеивателей оказываются разрешёнными переходы между любыми уровнями Ландау. Это означает, что при возникают переходы с нулевого уровня Ландау на уровни с n >1 (хотя вероятность таких переходов значительно меньше, чем переходов на примесях и ак, устич. фононах), такие переходы происходят на частотах пw _с и приводят к появлению гармоник (если же носители рассеиваются на оптич. фононах, то имеет место циклотрон-фононный резонанс).

Разогрев носителей. T. к. высокочастотная проводимость (для плоскополяризованной волны) на частоте w _с велика (она равна половине статич. проводимости), то в условиях Ц. р. возможен разогрев носителей перем. полем. Этот метод используется для изучения рассеяния на примесях и акустич. фононах. Осн. источником информации при этом является соотношение . При малой мощности W излучения ср. энергия носителей близка к равновесной. Если же W велико, то , а значит, и dw_c, начинают зависеть от W.

При рассеянии на заряж. примесях т() - возрастающая ф-ция, для акустич. фононов - убывающая, для нейтральных примесей т слабо зависит от . Поэтому в первом случае (а также при межэлектронном рассеянии )с ростом линия сужается, во втором - расширяется, в третьем- полуширина dw _с остаётся неизменной. С ростом акустич. рассеяние становится преобладающим.

При разогреве в пост. электрич. поле E зависимость т(E )определяется характером рассеяния. При умеренных значениях E рассеяние обусловлено вынужденным взаимодействием с акустич. фононами (т ^-1E^0,5), в сильных - спонтанной эмиссией фононов (т ^-1E^0,8.) (см. Горячие электроны). Такие же зависимости наблюдаются и от амплитуды высокочастотного поля E₀ в условиях Ц. p. T. к. WE²₀, то dw_cW^0,25 в умеренном и dw_cW^0,4. в сильном высокочастотных полях.

Разогрев носителей в высокочастотном поле имеет два важных преимущества - отсутствие контактов в сильных электрич. полях и возможность избирательного нагрева определ. группы носителей, напр. электронов одной долины зоны проводимости в многодолинных, полупроводниках.

Экспериментальные методы. Существуют 2 осн. способа наблюдения Ц. р. Первый состоит в измерении поглощения эл.-магн. мощности. Второй способ использует то обстоятельство, что поглощение излучения приводит к возрастанию энергии носителей. Это, в свою очередь, приводит к изменению проводимости s полупроводника на пост. токе. Зависимость изменения Ds от w или от H воспроизводит линию Ц. р. Этот способ имеет то преимущество, что детектором является сам образец. Кроме того, обычно этот способ оказывается более чувствительным, чем измерение поглощения. Однако в тех редких случаях, когда в пределах резонансной линии возникает смена механизма рассеяния ( а), смена механизма рекомбинации носителей ( б )или изменение типа проводимости ( в), то кривая Ds(w) или Ds(H) в случаях ( а )и ( б )становится двугорбой, а в случае ( в) ф-ция Ds(H )напоминает закон дисперсии показателя преломления.

В спектрометрах Ц. р. в качестве генераторов эл.-магн. излучения в сантиметровом диапазоне длин волн используются клистроны, генераторы Ганна (см. Ганна диод )и лавинно-пролётные диоды, в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах - лампы обратной волны, в субмиллиметровом и ИК-диапазонах - лазеры. Источниками магн. поля, как правило, служат сверхпроводящие соленоиды (H~100 кЭ). Свободные носители заряда в полупроводниках при низких темп-pax создаются подсветкой. Для увеличения чувствительности применяются модуляц. методы регистрации (изменение концентрации свободных носителей при изменении интенсивности света). В связи с низкой добротностью линий Ц. р. обычно применяется развёртка спектров вариацией поля H.

Циклотронный резонанс в металлах

Исследование Ц. р. в металлах имеет большое значение для теории металлов. Он позволяет определить форму и размеры ферми-поверхности. времена свободного пробега носителей, электрон-фононное взаимодействие и др.

В металлах эл.-магн. волны почти полностью отражаются от поверхности образца, проникая в металл на небольшую глубину скин-слоя d~10^-5 см (см. Скин-эффект). В хороших металлах, где число электронов - 1/атом, d~10^-5-10^-6 см; в полуметаллах (напр., у Bi) d ~ 10 ^-4 см. Радиус ларморовской орбиты электронов r, обратно пропорциональный полю H, сравним с d лишь в сильных полях Н~ 10⁶-10⁷ Э (для полуметаллов Н~10⁴ Э). В обычных же магн. полях эл.-магн. поле взаимодействует с электронами лишь на малом участке их орбиты. В результате электроны проводимости движутся в сильно неоднородном эл.-магн. поле, поскольку, как правило, диаметр их орбиты 2r>> d. Если магн. поле параллельно поверхности образца, то среди электронов есть такие, к-рые, хотя и движутся большую часть времени в глубине металла, где электрич. поля нет, однако на короткое время заходят в скин-слой, где взаимодействуют с волной (рис. 5).

Рис. 5. Траектории электронов: а, б-в однородном постоянном магнитном поле H при действии перемен ного электрического поля E | H; магнитное поле H направлено параллельно поверхности металла; в- зеркально, отражающихся от поверхности металла.

Механизм передачи энергии от волны носителям в этом случае аналогичен работе циклотрона, резонанс возникает, если электрон будет попадать в скин-слой каждый раз при одной и той же фазе электрич. поля, что возможно при w= пw _с = пеН/т _с с. Это условие отвечает резонансам, периодически повторяющимся при изменении 1/H. Электрон возвращается в ускоряющий слой через один или неск. периодов перем. поля T=2p/w, каждый раз получая энергию от поля.

В случае поля H, наклонного относительно поверхности образца, электроны, проходя по направлению поля H. за один оборот путь порядка r, проводят в слое d время, равное (2p/w) (d/r) <= 2pw. При этом периодичность движения в поле H на их взаимодействие с перем. полем не влияет, и Ц. р. отсутствует (рис. 6, а).

Приведённое описание является исчерпывающим только в случае электронов с квадратичным законом дисперсии, когда т _с, а следовательно, и w _с одинаковы для всех электронов. В случае более сложных законов дисперсии w_c как и в случае полупроводников, может зависеть от и р _H. При этом для Ц. р. существенны только электроны с энергией (- ферми-энергия). Из электронов с разл. p_H, образующими непрерывный спектр циклотронных частот w_c, осн. роль в Ц. р. играют: 1) электроны вблизи экстремальных значений p_H^extr на ферми-поверХности , где w_c(p_H )медленнее всего меняется, а плотность состояний электронов, как ф-ция w _с, обращается в бесконечность; 2) электроны вблизи особых точек - граница спектра w _с (р _H ^гр).

Измерение частот Ц. р. позволяет непосредственно определить экстремальные и граничные значения т _с. Полуширина резонансной линии определяет время свободного пробега т, к-рое в условиях Ц. р. (d<<r, wт >> 1) может быть введено в металлах. Возможность введения т связана с тем. что основную роль в Ц. р. играет малая часть электронов вблизи экстремальных и граничных значений р _H и с малой проекцией скорости на нормаль к поверхности металла. Возможен лишь "уход" из этих состояний во все остальные ("приходом" электронов в эту узкую область значений р _H из-за случайных столкновений можно пренебречь). В результате т при Ц. р. может существенно отличаться от статич. т. Так, напр.. в статич. случае однократное столкновение электрона с фононом слабо рассеивает электрон и малосущественно; существенным становится лишь число столкновений порядка (Q _Д/T)², где Q _Д - Дебая температура,t _эф~T ^-5. При Ц. р. уже однократное столкновение с фононом может вывести электрон из ускоряющего слоя или из "резонансного" р _H, т. е. оказаться существенным, что обусловливает т ^рез _эф~Т ^-3.

Исследование Ц. р. в пластинках тоньше длины свободного пробега электронов позволяет выяснить, какая из электронных орбит последней помещается в пластинке и даёт Ц. р. (радиус орбиты пропорционален 1/Н, следовательно, номеру и резонансной гармоники). При большом n это (с относит. точностью ~n^-1) определяет диаметр поверхности Ферми в соответствующем направлении. Ц. р. может дать также информацию и об открытых траекториях электронов, если их направление параллельно поверхности образца (см. Ферми-поверхность).

Поверхностный импеданс в условиях Ц. р. Комплексная проводимость. В металлах характеристики Ц. р. удобно выражать через поверхностный импеданс:

где R - активное, X -реактивное сопротивления. Резонансное значение полного поверхностного импеданса Z связано с временем свободного пробега электрона т и частотой излучения w следующими ф-лами: 1) в случае квадратичного закона дисперсии:

2) для произвольного закона дисперсии при максимальной т _с и минимальной w_c:

3) в случае минимальной т _с:

При Ц. р. ток при заданной напряжённости электрич. поля максимален, что соответствует минимумам R и X. Полуширина резонансной линии Dw_c~2pn/wт. Отсюда и из ф-л (1) - (3) следует, что вещественная и мнимая части дZ/дH при Ц. р. максимальны.

Комплексная проводимость s в простейшем случае квадратичного изотропного закона дисперсии носителей и взаимноперпендикулярных E и H равна

Здесь s₀ -статич. проводимость кристалла в отсутствие магн. поля. T. о., s_b отличается от s₀ лишь заменой 1/т на 1/т + i(wbw_c). Это естественно, т. к. действие H на электронный газ эквивалентно вращению его как целого с частотой w _с.

Магнитные поверхностные уровни. В металлах в тех же условиях, что и Ц. р., может наблюдаться близкое к нему по природе явление-осцилляции поверхностей проводимости из-за квантовых переходов между магнитными поверхностными уровнями. Они возникают, если электроны могут зеркально отражаться от поверхности образца, совершая тем самым периодич. движение, к-рое квантовано, и разрешёнными оказываются такие орбиты, для к-рых поток магн. поля через сегмент, образуемый дугой траектории и поверхностью образца, равен ( п+1/4)ch/e.

Лит.: Дорфман Я. Г., Парамагнитный и диамагнитный резонанс электронов проводимости, "ДАН СССР", 1951, т. 81, № 5, с. 765; Dingle R. В., Some magnetic properties of metals. Diamag-netic resonance, "Proc. Roy. Soc. London. Series A. Math, and Phys. Sci.", 1952, v. 212, № A1108, p. 38; Азбель M. Я., Канер Э. А., Теория циклотронного резонанса в металлах. "ЖЭТФ", 1956, т. 30, в. 4, с. 811; 1957, т. 32, в. 4, с. 896; Лазукин В. H., Циклотронный резонанс, "УФН", 1956, т. 59, №3, с. 553; Абрикосов А. А., Введение в теорию нормальных металлов, M.. 1972; Зеегер К., Физика полупроводников, пер. с англ., M., 1977; Цидильков-ский И. M., Зонная структура полупроводников, M., 1978; Аш-крофт Н., Мермин H., Физика твердого тела, пер. с англ., т. 1-2. M.. 1979. Ю. А. Гурвич. E. M. Гершензон.