Akademik

    СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ — созданная Э. Бэтом формальная разрешающая процедура для формул логики высказываний и логики предикатов.

    Семантическая таблица состоит из двух (сопряженных) столбцов: в левом столбце пишутся формулы, соответствующие высказываниям, принимаемым за истинные, ав правом — принимаемым за ложные. Рассуждение осуществляется “от противного” (см. Доказательство косвенное). Если необходимо выяснить, следует ли формула В из формул А, ..., Ац, то в левом столбце таблицы пишут формулы А,..., А„, а в правом — формулу В. Если устанавливается общезначимость формулы D, то в правом столбце таблицы пишут эту формулу. Если хотят установить, является ли формула противоречивой, то эту формулу пишут в левом столбце таблицы.

    Правила редукции, позволяющие переходить от формул, содержащих я логических терминов, к формулам, содержащим меньше чем я логических терминов, являются правилами построения таблицы. Для формул языка логик“ предикатов, содержащих знаки отрицания, конъюнкции, нестрогой дизъюнкции, материальной импликации, кванторы общности и существования, используются следующие правила редукции.

    -Л. Если формула -ι А имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в правом столбце той же таблицы (подтаблицы) пишем А.

    -ιΠρ. Если формула -ι А имеется в правом столбце, то в левом столбце пишем А

    дЛ. Если формула ΑλΒ имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В. лПр. Если формула АлВ находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицу этого столбца и в левой под-таблице правого столбца пишем Л, а в правой таблице того же столбца — В.

    vJI. Если формула А^В находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы и в левой из них (левого столбца) пишем ^4, а в правой (того же столбца) — А

    νΠρ, Если формула А^В находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А к В. зЛ. Если формула Аэ5 находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы и в правой подтаблице левого столбца пишем формулу В, а в левой подтаблице правого столбца пишем А

    зПр. Если формула AziB находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в левом столбце той же таблицы пишем формулу Л, а в правом — В.

    УЛ. Если формула VoA(a) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце помещаем формулу Α(β), где β — произвольная индивидная переменная или константа, Α(β) есть результат правильной подстановки β вместо a в А(а). Эвристический совет: в качестве β нужно взять индивидную константу, которая уже встречается в подтаблице, или переменную, которая имеет свободные вхождения в какую-то из формул подтаблицы; если таковых нет, то вводится произвольная индивидная константа.

    νΠρ. Если формула VoA(a) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу 4(β), где β — новая индивидная константа, т. е. константа, не встречающаяся еще ни в левом, ни в правом столбцах, а /4(β) есть результат правильной подстановки β в А(а) вместо а.

    ЭЛ. Если формула ЭоА(а) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу Аф), где β — новая индивидная константа; Α(β) — результат правильной подстановки индивидной константы β вА(а) вместо о.

    ЗПр. Если формула 3αΑ(α) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу Аф), где β — произвольная индивидная переменная или константа, а ^(β) — то же, что и в пояснении к правилу УЛ. Эвристический совет тот же, что описан при формулировке правила УЛ.

    Альтернативная подтаблица (а если таковых нет, то таблица) является замкнутой, если некоторая формула входит в ее левый и правый столбцы. Таблица является замкнутой, если замкнуты все ее альтернативные подтаблицы.

    Метод исследования рассуждений посредством логики предикатов, заданной семантическими таблицами, заключается в следующем. На первом шаге переводим на язык логики предикатов посылки и заключение рассуждения. Напр., рассуждение “Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать логику Ни один из сыновей Крокса не может понимать логику Сумасшедшие не допускаются к голосованию. Следовательно, никто из сыновей Крокса не допускается к голосованию” на язык логики предикатов переводится так: первой, второй и третьей посылками являются соответственно формулы: ^/x(P(x)z>Q(x)), VxWx, a)^-iQ(x)), νχ(-ιΡ(χ) 3-i5'(x)), а заключением— формула Vx(J?(x, a) z>-TS(x)). Второй шаг состоит в построении семантической таблицы, в левый столбец которой пишем формулы, соответствующие посылкам, а в правый — формулу, соответствующую заключению. Далее применяются правила редукции.

    Из рассмотренной таблицы видно, что все ее подтаблицы замкнуты, следовательно, и сама семантическая таблица замкнута. Можно сделать вывод, что анализируемое рассуждение является правильным. В силу неразрешимости логики предикатов возможны три результата: таблица оказывается замкнутой (в этом случае исследуемое рассуждение является правильным, а если анализировалось отдельное высказывание — это высказывание является логически истинным); все возможные правила применены, а таблица не замкнулась (рассуждение является неправильным, а если анализировалось отдельное высказывание — это высказывание не является логически истинным); процесс построения таблицы оказывается бесконечным (в этом случае задача не решена).

    Описанная техника, с определенными модификациями, применяется для других логических систем, напр. для систем модальной логики.

    Лит.: Бет Э. Метод семантических таблиц.— В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967; КрипкеС. Семантический анализ модальной логики I. Нормальные модальные исчисления высказываний.— В кн.: ФейсР. Модальная логика. М., 1974; Целее Ю. В. Логика. М., 1996.

    Ю. В. Целее