Akademik

логический (теоретико-множественный) принцип, лежащий в основе определений через абстракцию. Согласно П. а., любое отношение типа равенства, определенное на нек-ром множестве объектов, может служить для распределения (разбиения) объектов этого множества по попарно непересекающимся классам, наз. к л а с с а м и а б с т р а к ц и и (или классами разбиения, или классами эквивалентности) этого отношения, и таким, что любые два объекта разбиваемого множества принадлежат к одному и тому же классу абстракции в том (и только в том) случае, когда они находятся в указанном отношении; одновременно каждый элемент множества принадлежит к к.-л. классу абстракции (напр., множество всех живущих на земле людей отношением "х имеет одинаковый возраст с y" разбивается на непересекающиеся классы "живущих людей одинакового возраста"). В соответствии с т.н. аксиомой "существования классов" (аксиомой "свертывания"), позволяющей отождествлять классы и свойства (признаки), всякое, определенное для элементов разбиваемого множества, отношение типа равенства "выделяет" определенный вид признаков, характеризующих соответств. классы абстракции. Наоборот, всякое разбиение множества по известному виду признаков его элементов на классы абстракции (классы эквивалентных, или равных, по отношению к данному признаку элементов) "выделяет" нек-рое отношение типа равенства, а именно такое, в к-ром находятся любые два члена одного и того же класса абстракции.

П. а. рассматривают обычно как одну из теорем об абстракции в классич. теории множеств, поскольку его формулировка сводится к утверждению о существовании множеств (классов), – абстрактных объектов, обладающих определ. свойствами. Однако посредством П. а. достигается и обратный процесс – избавление от абстракции, у д а л е н и е ее. Ведь, согласно осн. положению этой теории, класс абстракции может быть отождествлен со свойством, общим всем членам (предметам) данного класса. Но свойство это, в свою очередь, можно отождествить (и мы действительно на практике часто его отождествляем) с любым "конкретным" предметом (членом) этого класса (носителем свойства). Такое отождествление представляется даже более естественным, чем отождествление класса и свойства, в силу заведомо принимаемого, – по смыслу самого П. а., – quot;и н т е р в а л а а б с т р а к ц и и", согласно к-рому др. свойства этого предмета нас попросту не интересуют: они являются п о с т о р о н н и м и в данном анализе и п р а к т и ч е с к и их нет, если смотреть, так сказать, "изнутри" принятого интервала абстракции. Т.о., с т. зр. целей, определяющих выбор соответств. отношения типа равенства или соответств. свойства, каждый "конкретный" предмет, – элемент разбиваемого множества, при данном разбиении используется только в качестве "абстрактного" предмета, или, что то же – в качестве представителя (и заместителя) определенного (своего) класса абстракции. В этой своеобразной диалектике "абстрактного" и "конкретного", позволяющей вводить абстракции с одновременным указанием средств их удаления, состоит основное гносеологич. содержание П. а.

Лит.: Кутюра Л., Филос. принципы математики, пер. с франц., СПБ, 1913, с. 45–46; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.–Л., 1948, с. 22–25; Шиханович Ю. Α., Введение в совр. математику, М., 1965, гл. 6, § 3, 4; Ajdukiewiсz K., Logika pragmatyczna, Warsz., 1965, s. 237–40.