Akademik

правило, согласно к-рому в случае, если два выражения p и q равны,. во всяком истинном высказывании, содержащем p или q, можно одно из них заменить на другое, не нарушая истинности этого высказывания. Выражение "р и q равны" следует понимать в том смысле, что p и q связаны между собой отношением типа равенства. Это отношение должно быть p е ф л е к с и в н ы м (т.е. должно быть верно, что р = р), симметричным (из p = q должно следовать q = p) и т р а н з и т и в н ы м (из р = q и q = r должно следовать р = r). Кроме того, оно должно обладать свойствами монотонности, т.е. если p входит как составная часть (как компонент) в нек-рое выражение А(р) и p=q, то A(p) = A(q), где через A(q) обозначено выражение, получающееся из А(р) заменой нек-рого вхождения p на q. П. з. р. р. и выражает эту монотонность отношения типа равенства.

Когда речь идет о двух объектах p и q, то обычно предполагается, что p и q – различные объекты. В таком случае высказывание "р равно q" означает, что к различным объектам p и q применяется абстракция отождествления. При этом два объекта, к-рые считаются равными в одном случае, могут не быть равными в другом. Напр., формулы А ⊃ А и А / А равны, если, рассматривая их как формулы классич. алгебры логики, равенство понимать в смысле совпадения их истинностных значений или если считать две формулы U и B равными в том случае, когда в классич. исчислении высказываний выводима формула U ≡ B (где ≡ есть знак операции эквиваленции). Но если считать две формулы равными тогда, когда они графически совпадают друг с другом, то формулы А ⊃ Α и А / А не будут равны. Не будут эти формулы равными и в том случае, когда под равенством формул понимают выводимость их эквиваленции в интуиционистском исчислении высказываний.

П. з. р. р. издавна употребляется в математике при тождеств, преобразованиях. Оно, по существу, содержится у Лейбница в его определении равенства. Именно Лейбниц определяет равенство посредством аксиомы (x = y) ≡ (A (x) ⊃ A (y)) (знак ⊃ означает "влечет"). Если в этой формуле рассматривать А как предикатную переменную, то средствами предикатов исчисления (включая правило подстановки вместо предикатных переменных) из этой аксиомы получается рефлексивность, симметричность и транзитивность равенства. Сама же эта аксиома выражает монотонность равенства.

Обычно в дедуктивных теориях употребляется более слабое определение равенства, чем то, к-рое было предложено Лейбницем. В определении Лейбница на место предикатной переменной подставляются произвольные предикаты, но определение произвольного предиката представляет большие трудности. Поэтому в теориях, где все предикаты строятся, исходя из нек-рых элементарных предикатов, монотонность обычно требуется только для последних, а остальные предикаты стараются определить так, чтобы монотонность имела место и для них. Теории, в к-рых все предикаты обладают св-вом монотонности, наз. э к с т е н с и о н а л ь н ы м и. Теории, в к-рых допускаются предикаты, не обладающие этим св-вом, наз. и н т е н с и о н а л ь н ы м и. Впрочем, изменяя определение равенства, интенсиональную теорию удается превратить в экстенсиональную (при этом надо указывать по отношению к какому виду равенства теория является интенсиональной, а по отношению к какому – экстенсиональной).

П. з. р. р. получило дальнейшее развитие в математич. логике (в частности, у Джевонса, см. Принцип замещения). Если в классич. или интуиционистской логике считать две формулы U и B равными в том случае, когда доказуема формула U ≡ B, то П. з. р. р., к-рое принимает в этом случае вид правила замены эквивалентными, справедливо как в классич., так и в интуиционистской логике.

П. з. р. р. применяется в общем случае и к равенству по определению; если p равно q по определению, то в выражении, содержащем р, можно заменить p на q. При этом следует иметь в виду, что результат замены определяемого выражения определяющим его выражением дает не просто выражение, равное или эквивалентное первому, а раскрывает смысл первого выражения. С П. з. р. р. связаны нек-рые логич. ошибки и парадоксы в тех случаях, когда это правило применяется без учета тех отношений, в к-рых равные объекты могут быть отличны друг от друга. Так, выражение "4" и "6–2" обозначает одно и то же число, и в этом смысле 4=6–2. Однако из этого не следует, будто все, что можно утверждать о выражении "4", можно утверждать о выражении "6–2" (напр., что выражение "4" содержит знак "–") (см. также Взаимозаменимости отношение).

Лит.: Жегалкин И., Трансфинитные числа, М., 1907, гл. 1; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. в, 7; Карнап Р., Значение и необходимость, пер. [с англ.], М., 1959; Lеibnitz G. W., Opera philosophica..., В., 1840; Jevons W. S., The substitution of similars, the true principle of reasoning..., L., 1869.