Akademik

КЛАСС

КЛАСС: (в логике и математике) — 1) понятие, присущее всем элементам некоторой совокупности объектов; 2) совокупность выделенных по некоторому признаку объектов, мыслимая как целое.
Понятие К. (множества) обычно относят к числу простейших, неопределяемых понятий, которое может быть лишь пояснено с помощью примеров. Напр., множествами считаются совокупность всех жителей Москвы; совокупность всех натуральных чисел 1, 2, 3,...; совокупность книг домашней библиотеки; и т.д. При этом каждый отдельный житель Москвы, каждое натуральное число, конкретная книга и т.д. является элементом соответствующего множества. На основе такого интуитивного понимания различают конечные и бесконечные, материальные и абстрактные, и многие др. виды множеств в зависимости от того, каковы численность и природа объектов, образующих рассматриваемую совокупность.
Несмотря на интуитивную очевидность такого «агрегатного» представления о множествах, оно не является во всех отношениях удовлетворительным. В его рамках возникает ряд трудностей принципиального характера. Как заметил еще Б. Рассел, в этом случае нельзя понять, что представляет собой пустое множество: это множество не имеет ни одного элемента и, следовательно, его нельзя рассматривать в качестве агрегата, совокупности к.-л. объектов. Применительно к одноэлементным множествам теряет смысл и различие между элементом множества и самим множеством. Кроме того, в рамках агрегатной т.зр. любое множество можно считать состоящим из любого количества элементов. Как считает У. Куайн, если мы имеем, напр., груду камней, то «груда в действительности является конкретным предметом, столь же конкретным, как и камни, образующие груду, но класс камней в груде нельзя отождествлять с этой грудой. В самом деле, если бы это было так, то и другой класс можно было бы отождествить с этой же грудой, а именно класс молекул в данной груде камней с самой грудой. Но по существу эти классы следует различать. В самом деле, мы говорим, что один из них имеет, например, сто элементов, в то время как другой — триллионы элементов». Наконец, о неадекватности агрегатной т.зр. свидетельствуют и парадоксы классической теории множеств. К их числу относится, в частности, известный парадокс Рассела, во многом определивший теоретический кризис в логике и математике в нач. 20 в.
Впоследствии сформировалась логическая т.зр. на множества, в рамках которой парадоксы теории множеств получают достаточно простое объяснение. Для этого, однако, потребовалось тщательно проанализировать и уточнить многие содержательные представления, лежащие в основе самой логики. Как отмечал известный математик и логик Г. Вейль, «на понятие множества... имеются две противоположные точки зрения: множество либо рассматривается как набор вещей (Г. Кантор), либо считается синонимом свойства (атрибута, предиката) вещи. В последнем случае «х есть элемент множества у», символически «х е у», не означает ничего иного, кроме того, что «х обладает свойством у».
Согласно логической т.зр., множества суть понятия, абстрактные свойства, присущие материальным (эмпирическим, пространственно-временным) объектам. Любому понятию-множеству X соответствует определенная бесконечная совокупность материальных объектов. Эта совокупность есть объем понятия-множества X. Следовательно, принадлежность материального объектах некоторому множеству Х означает, что данному объекту присуще понятие X. Иначе говоря, теоретико-множественное отношение принадлежности (е) при ближайшем рассмотрении оказывается не чем иным, как давно известным в логике отношением п р и с у щ н о с т и (—), связывающим понятия с материальными объектами. Логическая т.зр. в конечном счете согласуется с интуитивным пониманием множеств, поскольку в ее рамках получают логическое истолкование не только отношение принадлежности, но и все остальные основополагающие отношения и понятия классической теории множеств — отношение дополнения (КЛАСС), включения (с), объединения (U), пересечения (П), а также понятие пустого множества (и) и универсального множества (U).
С учетом всех полученных к кон. 20 в. научных результатов можно констатировать, что в рамках логического понимания К., с одной стороны, не имеют места затруднения типа парадокса Рассела, а с другой — полностью учитывается конструктивное, практически значимое содержание классической теории множеств.

КЛАСС: (от лат. classis — разряд, группа) в логике, понятие, выражающее совокупность (множество) предметов, удовлетворяющих к.-л. условию (условиям) или свойству (свойствам, признакам) (иногда различают понятия «К.» и «множество», что бывает связано со спец. вопросами теории множеств); про такие предметы говорят, что они являются элементами данного К. Предполагается, что в связи с каждым свойством можно рассматривать К. предметов, им обладающих (напр.,свойству «быть чётным числом» соответствует К. всех чётных чисел). К., соответствующий некоторому свойству, может состоять из любого конечного числа предметов; он может быть бесконечным (напр., упомянутый К. всех чётных чисел) или пустым (т. е. вовсе не содержать элементов). К., состоящий только из одного элемента, наз. единичным, или сингулярным. Пустому К. противополагается универс. К., уточняющий круг исследуемых предметов и состоящий из всех объектов подлежащей рассмотрению предметной области. Изучение свойств операций над К. и отношений между К. производится в логике классов.

Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретич. логики, пер. с нем., М., 1947; Т a p с к и й А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. е англ., М., 1948; Кузичев А. С., Диаграммы Венна, М., 1968; Мендельсон Э., Введение в математич. логику, пер. с англ., М., 1971.

КЛАСС: КЛАСС – в логистике сумма отдельных предметов, которым свойственно нечто, обозначенное одним именем (см. ИМЯ). В естественно-научной систематике – единица (категория) системы, которая следует после отдела (или рода), но стоит выше отряда: млекопитающие образуют класс отдела позвоночных, охватывающий отряды грызунов, копытных, приматов и т. д. В социологии классы – «наследственные прочные образования, одни другим подчиняющие или одни другим подчиненные, положение индивидов в которых определяется, как правило, правом рождения. Высший класс по своему образу жизни и общему положению является идеалом для низшего класса даже в те периоды, когда изменившееся соотношение классовых сил уже сильно расшатывает внутреннюю власть высшего класса» (Ф.Оппенгеймер). В марксизме теория классов признает только два класса: класс имущих, буржуазии, класс капиталистов, «эксплуататоров», с одной стороны, и класс неимущих, пролетариев, «эксплуатируемых» – с другой. Между обоими классами постоянно существует классовая борьба. Все общественные, экономические и духовные особенности, присущие народу, не больше чем результаты соответствующего уровня классовой борьбы. По закону диалектического развития (см. ДИАЛЕКТИКА), классовая борьба должна привести к диктатуре пролетариата, а уже она, по этой утопии, – к бесклассовому обществу и вместе с тем к наибольшему счастью наибольшего числа людей (см. ЭВДЕМОНИЗМ).

КЛАСС: (от лат. classis – группа) – совокупность предметов (называемых э л е м е н т а м и класса), удовлетворяющих к.-л. условию или признаку. Примером К. может быть совокупность всех предметов, удовлетворяющих условию "быть положительным числом"; соответствующий этому условию К. состоит из всех объектов, каждый из к-рых имеет признак, указанный в этом условии (из всех положительных чисел). К. можно рассматривать как совокупность тех предметов, на к-рые распространяется нек-рое понятие (т. е. как объем понятия). Можно также понимать К. в том смысле, что всякая функция-высказывание, заданная нек-рой формулой Р(х) логики предикатов, содержащей лишь одну свободную переменную x (значениями к-рой являются объекты нек-рой предметной области), определяет нек-рый К.; этот К. состоит из предметов, каждый из к-рых удовлетворяет данной функции-высказыванию, т.е. отличается тем, что при замене переменной x в выражении Р(х) обозначением этого предмета выражение Р(х) обращается в истинное предложение. Вхождение в К. его элементов записывается обычно формулой a^∈ А (где А есть нек-рый К., а а – любой его элемент). Два К. считаются тождественными (совпадающими), если они имеют одни и те же элементы. С т. зр. "численности" своих элементов К. бывают конечными и бесконечными.

Примером конечного класса, т.е. К., состоящего из конечного числа элементов, может быть К. жителей г. Москвы в определ. момент времени. Примером бесконечного К. может быть упомянутый выше К. всех положительных чисел. Иногда численность элементов в К. является неопределенной; таков, напр., К. всех травоядных животных; этот К. содержит неопределенно большое число элементов, т.к. травоядные животные не только существовали в прошлом и существуют в наст. время, но и будут существовать в будущем. К., состоящий только из одного элемента, называется единичным, или сингулярным, К. В логике и математике рассматривается также т. н. пустой, или нулевой. К., т.е. К., не содержащий ни одного элемента. Пустой К. соответствует таким функциям, к-рые не удовлетворяются ни одним предметом данной области. Сингулярный К. и нулевой К. Аристотель не вводил при построении своей силлогистич. системы.

Над К. можно производить различ. операции: с л о ж е н и я (объединения) К., п е р е с е ч е н и я К. и др. Два К. наз. и с к л ю ч а ю щ и м и друг друга, если они не имеют общих элементов; понятия, объемами к-рых являются исключающие друг друга К., наз. внеположными. Отношению логического подчинения одного понятия другому соответствует отношение включения К. в К.; если класс А включен в класс В, то, значит, понятие, объемом к-рого является класс А, логически подчинено понятию, объемом к-рого является класс В.

Любые два класса A и B могут находиться между собой в одном из следующих отношений: (1) либо быть тождественными, (2) либо A будет частью (подклассом) класса B, причем в B будут также элементы, к-рых нет в A, (3) либо, наоборот, B будет подклассом A, причем в A окажутся элементы, к-рых нет в B, (4) либо A и B будут частично совпадать, т.е. у них будет нек-рая общая часть, но при этом в классе A будут элементы, к-рых нет в B, и в классе B будут элементы, к-рых нет в A, (5) либо, наконец, А и B будут исключать друг друга. Франц. ученый Ж. Д. Жергонн (1771–1859) построил аристотелеву силлогистику на основе этих отношений (т. н. пяти отношений Жергонна). Позднее (1955) Фэрис, выразив систему Жергонна в совр. аксиоматич. форме, показал, что она не совпадает с силлогич. системой Аристотеля в интерпретации Лукасевича. Подробнее о теории К. и ее логич. значении см. Логика классов.

С понятием К. (множества) связаны трудности, о к-рых см. Множество, Множеств теория, Парадокс, Типов теория.

Лит.: Горский Д. П., Некоторые вопросы объема понятия, в кн.: Вопр. логики. [Сб. ], М., 1955, с. 285–326; Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, гл. 4; Чёрч Α., Введение в математическую логику, [т. ] 1, пер. с англ., М., 1960, § 04; Поварнин С. И., Логика, Пг., 1916, с. 29–36,41; Gergonne J.-D., Essai de dialectique rationelle,"Ann. de math, pures et appliquées", 1816–17, t. 7, p. 189–228; Faris Ι. Α., The Gergonne relations, "J. symb. logic", 1955, v. 20, No 3.

П. Попов. Москва.