Akademik

        определение, в котором определяемое вводится через некрое его отношение ко всем объектам класса, одним из элементов которого мыслится и само определяемое. В Н. о. часть (элемент) определяется через целое (множество), мыслимое раньше всех его частей, что порождает ситуацию «порочного круга», которая может (хотя и не всегда) приводить к противоречиям. Напр., Н. о. «множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя», приводит к т. н. парадоксу Рассела. Непредикативное образование понятий свойственно и др. известным парадоксам. Некорректность Н. о. побудила А. Пуанкаре, Б. Рассела (крому принадлежит термин «Н. о.»), Г. Вейля, а вслед за ними и др. учёных считать Н. о. принципиально недопустимыми в науке. Однако ввиду трудностей, связанных с абс. устранением Н. о., последние широко используются в классич. математич. анализе, не говоря уже о гуманитарных дисциплинах. При возможности эффективного исключения определяемого объекта и, т. о., выхода из порочного круга непредикативность является только кажущейся. Вообще, если все объекты класса, подразумеваемого в определяющем (следовательно, и самый класс), даны или могут быть получены независимо от Н. о. к.-л. из них, то Н. о. по существу безвредно. В этом случае непредикативный процесс введения определяемого не может повлиять на смысл определяющего. Напр., в предположении, что данные историч. источников объективно информируют о всех учениках платоновской Академии, понятие об Аристотеле без осложнений можно ввести посредством Н. о., сказав, что это самый мудрый ученик Платона (известно, что и Платон называл Аристотеля «умом» Академии).

        Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 44—45.

определение, посредством к-рого создается, или вводится в рассмотрение предмет, являющийся одним из значений неопределенного имени ("переменной"), участвующего в определяющем выражении. Некорректность Н. о. состоит в том, что предмет, вводимый посредством такого определения, своим появлением может изменить смысл определяющего выражения, а тем самым и самого определяемого предмета. В тех случаях, когда эта возможность не реализуется (что бывает, если все вхождения упомянутого неопредел. имени несущественны, т.е. устранимы логич. средствами), этой некорректностью можно пренебречь, – но в таких случаях не возникает и проблемы Н. о. Если же хоть одно вхождение этого неопредел. имени неустранимо, то создаваемый определением объект сам участвует в своем определении в качестве одного из значений смысла этого имени – и определение порочно, поскольку оно не дает редукции определяемого объекта к ранее известным объектам и понятиям. С т. зр. теории определений, эти порочные Н. о. следует считать столь же недопустимыми, как и круги в доказательствах. Впервые на Н. о. в матем. анализе указал Пуанкаре. Он же ввел и сам термин "Н. о.". Наиболее известные примеры Н. о. встречаются при "наивных" классич. попытках обоснования аксиоматич. теории множеств. Напр., доказательство существования объединения ("теоретико-множеств. суммы") произвольного множества множеств является непредикативным (так как при этом определяется множество и слово "множество" входит, и притом дважды, в определяющее выражение). В целях избежания связанных с этим трудностей были предложены различные средства (модификации наивной теории множеств), в частности типов теория Рассела. Однако и в этом случае определение объединения множества множеств оказывается непредикативным, так как объединение может (и даже должно) принадлежать тому же типу, что и объединяемые множества. Между тем при теоретико-множественном обосновании математического анализа одна из важнейших теорем теории пределов, – а именно, теорема Вейерштрасса о существовании предела у огранич. последовательности действит. чисел – оказывается основанной именно на этом Н. о. (ибо этот предел определяется обычно через объединение тех множеств, с к-рыми отождествляются элементы рассматриваемой последовательности). Непредикативным оказывается также идущее от Г. Фреге теоретико-множеств. определение понятия натурального числа.

Если определяемый объект существует независимо от рассматриваемого определения, то последнее не следует считать Н. о. Напр., определение нуля как наименьшего натурального числа не является непредикативным. Но при определении очень больших натуральных чисел, напр. 10¹², имеется опасность употребления (в скрытом виде) определяемого понятия в определяющем выражении (через оборот "триллион шагов" или "конечное число шагов"; слово "триллион" следует считать неопредел. именем до тех пор, пока определение этого объекта не будет закончено, а его единственность – доказана). В таком случае определения этих чисел следует считать Н. о.

Один из осн. приемов избавления от Н. о. состоит в том, что предмет, вводимый посредством Н. о., искусственно отличается от всех значений, подразумеваемых неопредел. именами из определяющего выражения. При построении математики на теоретико-множеств. основе этот прием приводит к ограничению теории множеств возможностями р а з в е т в л е н н о й теории типов. В результате, напр., каждое действит. число получает нек-рый тип; предел огранич. последовательности действит. чисел хотя и существует (коль скоро сама последовательность допускает имя, к-рому можно приписать тип, – в противном случае о ней просто нельзя говорить), но имеет более высокий тип, чем элементы этой последовательности, а о множестве всех действит. чисел просто нельзя говорить, ибо ему нельзя приписать никакого типа. Впрочем, Хао Вану удалась остроумная попытка построения матем. анализа без теоретико-множеств. Н. о., но с сохранением теоремы Вейерштрасса. В наст. время разрабатываются и др. методы обоснования теории множеств, свободные от Н. о.

За пределами математики Н. о. особенно легко могут возникнуть в этике, гносеологии и семантике, так как мн. понятия, встречающиеся в этих науках, без определений не имели бы никакого смысла, а круги в определениях этих наук – не редкость. Конечно, и в этих науках следует тщательно избегать Н. о., считая бессмысленными и бездоказательными основанные на них рассуждения. Часто оказывается, что Н. о. можно преодолеть, так как в определяющих выражениях встречаются лишь частные случаи тех понятий, к-рые ими вводятся, так что нек-рая редукция посредством Н. о. все же достигается. В таких случаях, как заметил впервые И. Бар-Хиллел, иногда удается заменить Н. о. определениями того же типа, что и рекурсивные. О Н. о. см. также ст. Множество.