Akademik

проблема обращения абелевых интеграловI рода произвольного поля алгебраических функций. Иначе говоря, проблема обращения абелевых интегралов I рода на компактной римановой поверхности Fрода соответствующей данному алгебраич. уравнению F(z, w)=0.
Пусть - базис абелевых дифференциалов I рода на F. Обращение одного абелева интеграла, напр. т. е. представление всевозможных рациональных функций от w₁, в частности представление функции w₁ = w₁(z₁) как функций от z₁, имеет смысл только при р=1 - в этом случае речь идет об обращении эллиптического интеграла, к-рое приводит к двоя-копериодическим эллиптическим функциям. Напр., обращение нормального интеграла I рода в нормальной форме Лежандра

приводит к Якоби эллиптической функции w₁=sn z₁. Как заметил еще К. Якоби (С. Jacobi, 1832), проблема обращения при р>1 должна рассматриваться для всех абелевых интегралов I рода в совокупности, так как должны получиться функции с 2рпериодами. В общем случае при рациональная постановка Я. п. о, состоит в следующем: пусть дана система равенств

в к-рой нижние пределы интегрирования c₁, с ₂, . . ., c _р - фиксированные точки на F; w₁, . . . , w_p - текущие точки на F; z=(z₁, . . ., z_p) - данные произвольные комплексные числа. Требуется указать, при каких условиях и как можно обратить систему (1), т. е. получить представление всевозможных симметрических рациональных функций от w_k, k=1, 2, . . ., р, как функций от z=(z_l, . . ., z_p).
Вследствие зависимости от формы путей, соединяющих на Fточки c_k и w_k, абелевы интегралы в (1), как функции от верхних пределов w_k, многозначны: при изменении формы пути они могут получить приращение в виде целочисленной линейной комбинации периодов. Отсюда вытекает, что (1) является в сущности системой сравнений по модулю периодов дифференциалов Получаемые при решении Я. п. о. функции от комплексных переменных z = (z₁, . . ., z_p )не должны изменять своих значений при прибавлении к аргументу любой целочисленной комбинации периодов дифференциалов Это будут, следовательно, специальные абелевы функции с 2рнезависимыми периодами.
Для случая p =1,т. е. для эллиптического интеграла, построение эллиптич. функций, решающих проблему обращения, достигается при помощи сравнительно простых тета-функций Якоби от одного комплексного переменного z, причем мероморфные эллиптич. функции строятся в виде отношений целых тета-функций. Решение общей Я. п. о. также возможно при помощи тета-функций 1-го порядка от ркомплексных переменных с полуцелыми характеристиками Н.
Матрица периодов Wбазисных абелевых дифференциалов имеет вид

причем римановы соотношения (см. Абелева функция )между периодами обеспечивают равномерную сходимость на компактах пространства представляющих тета-функции рядов, построенных по матрице W. При помощи тета-функции с нулевой характеристикой строится суперпозиция

где

- вектор абелевых интегралов, w=(w₁, . . . , w_p) - система точек на F;Ф (w)наз. Римана тета-функцией. Для данной системы чисел либо в нормальном случае функция Ф(w) имеет на Fединственную систему нулей либо в исключительном случае тождественно обращается в нуль. Эти нули и дают решение Я. п. о. Исключительные точки г, для к-рых составляют в множество низшей размерности.
Явные выражения специальных абелевых функций, решающих Я. п. о. в полном объеме, строятся при помощи отношений тета-функций вида в к-рых тета-функция с нулевой характеристикой служит общим знаменателем. При прибавлении к аргументу периодов тета-функции умножаются на определенные мультипликаторы. Для отношений тета-функций, вследствие сокращений, нетривиальным мультипликатором может быть только -1. Следовательно, квадраты отношений не изменяются при прибавлении к аргументу периодов и получаются абелевы функции с 2рпериодами.
К Я. п. о. примыкает важная проблема построения для данной системы тета-функций с общей матрицей W, удовлетворяющей условиям сходимости, соответствующего ей поля алгебраич. функций и соответствующей римановой поверхности. Для того чтобы такое построение было возможно, различные элементы a_jk матрицы W, число к-рых равно р(р+1)/2, должны удовлетворять ( р-2)(р-3)/2 дополнительным соотношениям, и исследование этих соотношений при р>3 представляет собой весьма трудную задачу (см. [1], [3]-[5])

Лит.:[1] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; [2] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Clebsch A., Gordan P., Theorie der Abelschen Funktionen, [Wurzburg], 1967; [4] Соnfоrtо F., Abelsche Funktionen und algebraische Geometric, В., 1950; [5] Мамфорд Д., лМатематика