Akademik

- одна из возможных мер характеризации точности воспроизведения сообщений, передаваемых по каналу связи (см. также Сообщений точность воспроизведения). Пусть для передачи сообщения x, вырабатываемого источником сообщений и принимающего Мразличных возможных значений 1,. . ., М с распределением вероятностей р _m=Р{x=m}, m=l, , . . , M, используется нек-рый канал связи. Тогда для фиксированных методов кодирования и декодирования (см. также Информации передача).О. д. в. Р _{е, т}, m=1, . . ., М, определяется равенством

где - декодированное сообщение на выходе канала. Средней О. д. в. Р _е наз. величина

Особый интерес представляет изучение оптимальной О. д. в. , определяемой равенством

где нижняя грань берется по всевозможным методам кодирования и декодирования. Ввиду трудностей получения точного выражения для , связанных с тем обстоятельством, что в общем случае неизвестны оптимальные методы кодирования, интерес представляет изучение асимптотич. поведения при возрастании длительности передачи по каналу. Точнее, рассматривается следующая ситуация. Пусть для передачи используется отрезок длины N канала связи с дискретным временем и R=(ln M)/N. Требуется изучить асимптотич. поведение при и R=const (это означает, что длительность передачи возрастает, а ее скорость остается постоянной). Если рассматриваемый отрезок канала является отрезком однородного канала без памяти с дискретным временем и конечными пространствами Y и значений компонент сигналов на входе и выходе, то известны следующие верхние и нижние оценки :

(1)

где a(N) и b(N).стремятся к нулю с ростом N,aфункции E_r(R).и E_sp(R).определяются следующим образом:

(2)

(3) где

Здесь - произвольное распределение вероятностей на ,

,- компоненты сигналов на входе и выходе рассматриваемого канала без памяти. Известно, что E_r(R).и E_sp,(R), определяемые формулами (2) и (3), являются положительными, выпуклыми вниз, монотонно убывающими функциями от Rпри , где С - канала пропускная способность, причем E_r(R)=E_sp(R). при , здесь R_cr - величина, определяемая переходной матрицей канала и называемая критической скоростью для данного канала без памяти. Таким образом, для значений , главные члены верхней и нижней оценок (1) для асимптотически совпадают, откуда следует, что для этого диапазона изменения Rизвестно точное значение функции надежности канала Е(R), определяемой равенством

Для значении , точное значение E(R).для произвольных каналов без памяти неизвестно (1983), хотя оценки (1) и могут быть улучшены. Экспоненциальный характер убывания доказан для весьма широкого класса каналов.

Лит.:[1] Галлагер Р., Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974; 12] Файнстейн А., Основы теории информации, пер. о англ., М., I960.

Р. Л. Добрушин, В. В. Прелов.

НАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ - наилучшая рациональная аппроксимация степенного ряда. Пусть

(1)

- произвольный степенной ряд (формальный или сходящийся), - целые числа, R _п, _т - класс всех, рациональных функций вида р/q, где ри q - многочлены от . Аппроксимацией Паде типа ( п, т).ряда (1) (функции f) наз. рациональная функция , имеющая максимально возможный в классе R_n,m порядок касания с рядом (1) в точке z=0. Точнее, функция p _{п, т} определяется условием

где s(j) - индекс первого из отличных от нуля коэффициентов ряда

Функцию p _{п, т} можно определить также как отношение p _{п, т=}p/qлюбых многочленов , удовлетворяющих соотношениям

(2)

При фиксированных п, т существует единственная П. а. p _{п, т} ряда (1). Таблица наз. таблицей Паде ряда (1). Последовательности вида наз. строками таблицы Паде (нулевая строка совпадает с последовательностью многочленов Тейлора для f); - столбцами таблицы Паде; - диагоналями таблицы Паде. Наиболее важный частный случай f=0 - главная диагональ.

Вычисление функции p _{п, т} сводится к решению системы линейных уравнений, коэффициенты к-рых выражаются через коэффициенты f_k, k=0, l,. . ., n+m, заданного ряда. Если отличен от нуля определитель Ганкеля

то знаменатель q _{п, т} функции p _{п, т} определяется по формуле

(нормировка q _{п, т}(0)=1; явная формула может быть написана и для числителя функции p _{п, т}). При этом

Последнее соотношение иногда принимают за определение П. а.; в этом случае П. а. могут не существовать для нек-рых (n, т). Для обозначения П. а. типа ( п, т).заданного ряда f часто употребляется символ [n/m] = [n/m]_f.

Для эффективного вычисления П. а. удобнее пользоваться не явными формулами, а рекурентными соотношениями, существующими в таблице Паде. Разработано большое количество алгоритмов для машинного вычисления П. а.; эти вопросы имеют особенно важное значение в связи с приложениями (см. [17], [18]).

Впервые общую задачу об интерполяции заданных значений функции в n+m+1 различных точках посредством рациональной функции класса R _{п, т} рассмотрел О. Коши [1]; К. Якоби [2] распространил результаты О. Коши на случай кратных узлов интерполяции. Случай одного (n+m+1 )-кратного узла интерполяции соответствует П. а. Понятие П. а. сформировалось в кон. 19 в. в рамках классич. теории непрерывных дробей (Г. Фробениус [3], А. Паде [4]). Фундаментальные результаты о диагональных П. а. были получены П. Л. Чебышевым, А. А. Марковым, Т. Стильтьесом (Т. Stieltjes) в терминах непрерывных дробей; ими были обнаружены и исследованы связи диагональных П. а. с ортогональными многочленами, квадратурными формулами, проблемой моментов и другими вопросами классич. анализа (см. [7] - [9]). Начало изучению строк таблицы Паде было положено работами о радиусах мероморфности функции, заданной степенным рядом, и о сходимости строк таблицы Паде в кругах мероморфности (см. [5], [6]).

С нач. 20 в. П. а. становятся самостоятельным объектом анализа и составляют важную главу теории рациональных приближений аналитич. ций. Используя для своего построения локальные данные (коэффициенты степенного ряда), они позволяют изучать глобальные свойства соответствующей аналитич. ции (аналитич. продолжение, характер и расположение особенностей и т. п.) и вычислять значение функции за пределами круга сходимости степенного ряда.

Наряду с классическими П. а. рассматриваются различные их обобщения: общие процессы интерполяции посредством рациональных функций со свободными полюсами (многоточечные аппроксимации Паде); рациональные аппроксимации рядов по заданной системе многочленов (напр., по ортогональным многочленам); совместные П. а. (аппроксимации Паде - Эрмита); рациональные аппроксимации (типа П. а.) степенных рядов от нескольких переменных и др.

Лит.:[1] Саuсhу A.-L., Cours d'analyse de I'Ecole royale polyteclmique, pt. 1- Analyse algebrique, P., 1821; [2] Jacobi C. G. J., "J. reine und angew. Math.", 1846, Bd SO, S. 127-56; [3] Frоbenius G., там же, 1881, Bd 90, S. 1 - 17; [4] Pade H., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1892, t. 9, p. 1-93; [5] Hadamard J., "J. math, pures et appl.", 1892, t. 8, p. 101-86; [6] Mоntessus deBalloreB.de, "Bull. Soc. math. France", 1902, t. 3(1, p. 28-36; [7] Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 3, М.- Л., 1948; [8] Марков А. А., Избр. труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, М.- Л., 1948; [9] Стилтьес Т., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар.- К.. 1936; [10] Wall H. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y,- L., 1948; [11] Perron O., Die Lehre von den Kettenbruchen, 3 Aufl., Bd 2, Stuttg., 1957; [12] The Fade approximant in theoretical physics, N. Y.- L., 1970; [13] Pade approximants and their applications, L.-N. Y., 1973; [14]

Pade approximants method and its applications to mechanics, В.- Hdlb.- N. Y., 1976; [15] В a k e r G. A., Essentials of Fade approximants, N. Y.- San Franc.- L., 1975; [16] Fade and rational approximation, N. Y.- [a. o.], 1977; [17] Gilewicz J., Approximants dc Pade, В.- Hdlb.- N. Y., 1978; [18] Pade approximation and its applications, В.- Hdlb.- N. Y., 1979.

В. А. Рахманов.