Akademik

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность F, у к-рой гауссова кривизна является заданной функцией единичного вектора внешней нормали . Поставлена Г. Минковским [1], к-рому принадлежит обобщенное решение проблемы в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности F, даже если - аналитич. функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере S непрерывная положительная функция удовлетворяет условию

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность F, для к-рой является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью .

Регулярное решение М. п. дано А. В. Погореловым в 1971 (см. [2]), им же рассмотрены нек-рые вопросы геометрии и теории дифференциальных уравнений, примыкающие к этой проблеме. Именно он доказал, что если принадлежит классу то получаемая поверхность Fпринадлежит классу а в случае аналитичности поверхность Fтакже оказывается аналитической.

Естественное обобщение М. п. состоит в решении вопроса о существовании выпуклой гиперповерхности с заданной элементарной симметрич. функцией главных кривизн любого данного порядка В частности, при это - проблема Кристоффеля о восстановлении поверхности по средней кривизне. Необходимое условие разрешимости этой обобщенной М. п. аналогично (*) имеет вид

Однако это условие недостаточно (А. Д. Александров, 1938, см. [3]). Вот примеры достаточных условий:

При этом регулярность Fта же, что и в М. п. Эти результаты с помощью аппроксимаций оказываются справедливыми и для функций , обладающих свойствами неотрицательности, симметрии и вогнутости.

Лит.:[1] Мinkоwsкi H., "Math. Ann.", 1903, Bd 57, S. 447-95; [2] Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971; [3] Буземан Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964.

М. И. Войцеховгкий.