Akademik

- связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Связная группа Ли пелупроста тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли полупроста. Связная группа Ли Gназ. п р о с т о й, если ее алгебра Ли проста, т. е. если Gне содержит нетривиальных связных нормальных делителей, отличных от G. Связная группа Ли является полупростой тогда и только тогда, когда она разлагается в локально прямое произведение простых неабелевых нормальных делителей.

Классификация Ли п. г. сводится к локальной классификации, т. е. к классификации Ли полупростых алгебр, а также к глобальной классификации групп Ли G, отвечающих заданной полупростой алгебре Ли

В случае групп Ли над полем комплексных чисел основной результат локальной классификации состоит в том, что всякая односвязная простая неабедева комплексная группа Ли изоморфна одной из групп (универсальная накрывающая группы (см. Классическая группа).или же одной из особых комплексных групп Ли (см. Ли особая алгебра). Глобальная классификация групп Ли, отвечающих полупростой алгебре Ли над выглядит следующим образом. Пусть - подалгебра Картана в - система корней алгебры относительно Каждой Ли п. г. Gс алгеброй Ли соответствует решетка являющаяся ядром экспоненциального отображения ехр: В частности, если G односвязна, то Г (С) совпадает с решеткой порожденной элементами _ (см. Ли полупростая алгебра), а если G - группа без центра (присоединенная группа), то Г (G) есть решетка

В общем случае Для любой аддитивной подгруппы удовлетворяющей условию С существует единственная с точностью до изоморфизма связная группа Ли Gс алгеброй Ли такая, что Г(G)=М. При этом центр группы Gизоморфен Г ₁/Г(G), а фундаментальная группа

Факторгруппа (центр односвязной группы Ли с алгеброй Ли ) конечна и для различных типов простых алгебр Ли имеет следующий вид:

Порядок группы Г ₁/Г ₀ совпадает с числом вершин расширенной диаграммы простых корней алгебры при отбрасывании к-рых получается диаграмма простых корней. Аналогичная классификация имеет место для компактных вещественных Ли п. г., каждая из к-рых вкладывается в единственную комплексную Ли п. г. в качестве максимальной компактной подгруппы (см. Ли компактная группа).

Глобальная классификация некомпактных вещественных Ли п. г. может быть проведена аналогично, но более сложным образом. В частности, центр односвязной группы Ли, отвечающей полупростой алгебре Ли над можно вычислить следующим способом. Пусть - Картана разложение, где - максимальная компактная в подалгебра, а - ее ортогональное дополнение относительно формы Киллинга, - соответствующий инволютивный автоморфизм, продолженный в - подалгебра Картана в содержащая подалгебру Картана - автоморфизм алгебры совпадающий с на корнях относительно и продолженный на корневые векторы соответствующим образом, - разложение Картана вещественной формы отвечающей Тогда (см. [3], где эта группа вычислена для всех типов простых алгебр над ).

Всякая комплексная Ли п. г. Gобладает единственной структурой аффинной алгебраич. группы, согласованной с заданной на ней аналитич. структурой, причем любой аналитич. омоморфизм группы G в алгебраич. группу является рациональным. Соответствующая алгебра регулярных функций на G совпадает с алгеброй голоморфных представляющих функций.

С другой стороны, некомпактная вещественная Ли п. г. не всегда допускает точное линейное представление - простейшим примером является односвязная группа Ли, соответствующая алгебре Ли Если - полупростая алгебра Ли над то в центре односвязной группы G₀, отвечающей существует наименьшая подгруппа называемая линеаризатором, такая, что изоморфна линейной Ли п. г. Если - компактная вещественная форма алгебры то

(см. [3], где эта группа вычислена для всех типов простых алгебр Ли ).

Лит.:[1] Адамс Д ж., Лекции по группам Ли, пер. с англ., М., 1979; [2] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [3] С и р о т а А. И., Солодовников А. С., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 3, о. 87 - 144. А. Л. Опищик.