Akademik

- отображение когда закон соответствия Азадается с помощью интеграла. И. о. наз. иногда интегральным преобразованием. Так, напр., для интегрального оператора Урысона (см. Урысона уравнение): закон соответствия Аопределяется интегралом (или оператор порождается интегралом)

причем D- заданное измеримое множество конечной меры Лебега в конечномерном пространстве; P(t,t, и), t,- заданная измеримая функция.

Предполагается, что функции Ри j удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование интеграла в (1) в смысле Лебега. Если функция P(t,t, u) нелинейна относительно и, то (1) является примером нелинейного И. о. Если же P(t, т, u)=K(t, т) и, тогда (1) принимает вид

Оператор, порождаемый интегралом (2), или просто оператор (2), наз. линейным И. о., а функция К- ядром И. о.

Ядро Кназ. ядром Фредгольма, если оператор (2), соответствующий ядру К, действует вполне непрерывно из заданного функционального пространства Ев нек-рое другое функциональное пространство Е ₁. В этом случае сам оператор (2) наз. интегральным оператором Фредгольма из Ев Е ₁.

Линейные И. о. часто рассматриваются в функциональных пространствах: С(D)- непрерывных на ограниченном замкнутом множество Dфункций и L_p(D)- суммируемых на Dсо степенью рфункций. В этом случае оператор (2)-оператор Фредгольма в С(D)(т. е. из C(D)в C(D)), если Кнепрерывно на DD(такое ядро наз. непрерывны м). Он является оператором Фродгольма в L₂(D)(из L₂(D)в L₂(D)), если ядро Кизмеримо на DD и

Такое ядро наз. L₂ -я дром.

Сопряженный оператор к оператору (2) в комплексном функциональном пространстве L₂(D)с ядром, удовлетворяющим условию (3), есть И. о.

где черта означает переход к комплексно сопряженному значению. Если ядро Кэрмитово (симметрично) (то есть =K(t, т)), то соответствующий оператор

Фредгольма (2) совпадает со своим сопряженным (4). Операторы, обладающие этим свойством, наз. самосопряженными. Оператор Фредгольма с симметричным ядром наз. интегральным оператором Гильберта - Шмидта.

Пусть |t-t| обозначает расстояние между точками tи t n-мерного евклидова пространства, В(t,t) - ограниченная измеримая функция на DD, тогда ядро вида

наз. ядром типа потенциала, а И. о. (2) с таким ядром - И. о. типа потенциала; ядро (5) наз. также полярным ядром, или ядром со слабой особенностью, а соответствующий оператор (2) - И. о. со слабой особенностью.

Если функция B(t, т) непрерывна на DD, то И. о. со слабой особенностью вполне непрерывен в пространстве C(D), а если B(t,t) - измеримая ограниченная функция на DD, то он вполне непрерывен в пространстве L₂(D).

Если ядро Ки го-мерное множество Dтаковы, что интеграл (2) не существует в смысле Лебега, но существует в смысле главного значения по Коши, то он наз. го-м ерным сингулярным интегралом. Оператор, к-рый им порождается, наз. m-мерным сингулярным И. о., или одномерным (при т=1 )и многомерным (при m>1) сингулярным И. о.

Если линия Dлежит на плоскости комплексного переменного t, то равенство

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, порождает непрерывный И. о.в пространстве функций, удовлетворяющих усшовию Гёльдера, если D- простая замкнутая гладкая линия; и в пространстве L_p(D),если D- ляпуновская линия. Оператор (6) наз. сингулярным оператором Коши.

Пусть на действительной оси заданы две измеримые по Лебегу функции j и g. Если для почти всех существует интеграл

то можно определить функцию

которая наз. сверткой g и j. Если зафиксировать функцию g, то интеграл (7) определяет оператор

который наз. И. о. (или интегральным преобразованием) свертки с ядром g. Если

то оператор (8) непрерывен из

При соответствующих предположениях И. о. свертки применяется как на полупрямой, так и на конечном отрезке.

Кроме указанных выше И. о., исследованы конкретные классы И. о., напр, интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Бесселя, Меллина, Гильберта и др.

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959; [2] Интегральные уравнения, М., 1968 (Справочная матем. б-ка); [3] Красносельский М. А. и др., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., 1966; [4] Диткин В. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961 (Справочная матем. б-ка); [5] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения..., 3 изд., М., 1968; [6] Михлин С. Г., Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М., 1962; [7] Титчмарш Э. Ч., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; [8] Эдвардc Р., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969.

Б. В. Хведелидзе.