1. Употребляется при обозначении места, предмета, возле которого что-то находится. Сад при доме. Местечко при впадении притока в реку. Запыленные цветы при дороге клонились к земле (Тендряков).
2. При обозначении предмета, лица, учреждения, при которых имеется что-то вспомогательное. Общежитие при институте. Водокачка при железнодорожной станции. На курсы при Академии связи (Симонов).
3. При обозначении лица, в присутствии которого что-либо происходит. Отвечать при свидетелях. Чичиков никак не хотел заговорить с Ноздревым при зяте (Гоголь).
4. При указании события, с которым совпадает во времени какое-либо действие. Вручить подарок при расставании. При въезде на двор навстречу им выбежала девочка лет шести (Григорович).
5. При обозначении предмета, места, в пределах которого что-либо находится. Кухня при каждой квартире. При шкатулке были разные безделки... (Гончаров).
6. При обозначении лица, имеющего в наличии что-либо. Держать документы при себе. Наган был при нем... (Гайдар).
7. При обозначении предмета, имеющегося в наличии при ком-либо. Быть при деньгах. В то время все ходили еще при всех орденах (Казакевич).
8. В значении «посредством, благодаря, несмотря на». При содействии друзей. При всем желании не мог сделать. ...Комнатная атмосфера освежалась только при помощи топки печей (Салтыков-Щедрин).
Пунктуация и управление в русском языке. Д.Э. Розенталь.