на что и на чем.
1. на что (объектное значение, реже пространственное — на вопрос куда?, с вин. пад.). Вешать картину на гвоздь. Вешать пиджак на спинку стула. Вешать часы на стену. Мать по праздникам до блеска начищала медный поднос и вешала его на стену около самовара (Горбатов).
2. на чем (объектное значение, чаще пространственное — на вопрос где, с предл. пад.). Вешать портрет на колечках, на шнурке, на ушках (прикрепленных к самому портрету; допустим и вин. пад.). Вешать белье на чердаке, на балконе, на дворе. Ключи от церкви отец носит вместе с ключами от мельницы... а вечером, когда ложится спать, вешает на стене (Ф. Наседкин). См. также повесить.
Пунктуация и управление в русском языке. Д.Э. Розенталь.