Akademik

бог знает как
БОГ ЗНАЕТ КАК obs
[AdvP; Invar; adv (intensif); fixed WO]
=====
to a great degree:
- greatly;
- extremely;
- utterly.
     ♦ Наконец почувствовал он себя лучше и обрадовался бог знает как, когда увидел возможность выйти на свежий воздух (Гоголь 3). At last he felt better and was greatly overjoyed when he realized that he could...go out for a breath of fresh air (3a).

Большой русско-английский фразеологический словарь. — М.: ACT-ПРЕСС КНИГА. . 2004.